Poly`edres réguliers et semi-réguliers, Polytopes réguliers en

Rapport de Stage de Magist`ere
sous la direction de
Enrico Rogora
Universit´e de la Sapienza
Poly`edres r´eguliers et semi-r´eguliers,
Polytopes r´eguliers en dimension quatre
Juillet-Septembre 2004 C´edric Milliet

Table des mati`eres
Introduction 1
1 Polygones r´eguliers et semi-r´eguliers 3
1.1 D´efinitions, propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Classification des polygones semi-r´eguliers . . . . . . . . . . . . . 4
2 Poly`edres r´eguliers et semi-r´eguliers 5
2.1 D´efinitions, propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Le groupe d’isom´etries I(P)..................... 8
2.3 Symbole {p, q}d’un poly`edre r´egulier . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Classification des poly`edres r´eguliers . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 Groupes finis de rotations de R3.................. 13
2.6 Classification des poly`edres semi-r´eguliers . . . . . . . . . . . . . 14
3 Polytopes r´eguliers de dimension quatre 18
3.1 D´efinitions, propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Symbole {p, q, r}d’un polytope r´egulier . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Classification des polytopes r´eguliers . . . . . . . . . . . . . . . . 20
R´ef´erences 21
1

Introduction
Ceci est le rapport d’un stage de deuxi`eme ann´ee de magist`ere, effectu´e `a
Rome au Laboratoire de Math´ematiques de l’Universit´e La Sapienza, sous la
direction de Enrico Rogora.
Il a pour but d’´enum´erer les polytopes r´eguliers, semi-r´eguliers en dimension
trois, et r´eguliers en dimension quatre. Le cas de la dimension quatre ´etant
particuli`erement difficile `a visualiser, le rapport s’attache tout d’abord `a
´etudier des petites dimensions, dans l’optique d’en g´en´eraliser les r´esultats aux
dimensions sup´erieures.
Le premier chapitre ´ebauche une ´etude rapide de la dimension deux, en
choisissant des d´efinitions, notations et propositions qui ne profitent pas de la
sp´ecificit´e de la dimension deux.
Le chapitre deux pr´esente d’abord l’´etude des poly`edres r´eguliers. La
d´efinition alg´ebrique que l’on choisit pour la r´egularit´e met en valeur le lien
important qui existe entre un poly`edre r´egulier et son groupe de sym´etrie.
C’est en ´enum´erant certains groupes finis d’isom´etries de l’espace (ceux en-
gendr´es par trois r´eflexions) que l’on parvient ensuite `a la construction des
poly`edres r´eguliers. On introduit enfin la m´ethode de construction de Wythoff
des poly`edres semi-r´eguliers, dont on d´eduit une classification.
Apr`es avoir introduit la d´efinition de polytope qui g´en´eralise en dimension
quelconque les notions de point, segment, polygone et poly`edre, le chapitre trois,
enfin, ´etend les r´esultats des chapitres pr´ec´edents au cas de la dimension quatre.
2

1 Polygones r´eguliers et semi-r´eguliers
1.1 D´efinitions, propri´et´es
D´efinition — On appelle polygone Pdu plan euclidien R2toute intersection
non vide et compacte d’un nombre fini de demi-espaces ferm´es. Soit TRi
une ´ecriture minimale de Po`u Riest un demi-plan de fronti`ere la droite Di.
On appelle cˆot´e de Ptout segment Di∩P, et sommet toute extr´emit´e d’un cˆot´e.
Remarque — Avec cette d´efinition, un polygone sera toujours convexe. Mais on
peut d´efinir un polygone non convexe comme ´etant une union finie de polygones.
Remarque — Un ensemble de trois points ou plus sur un cercle d´efinit un
unique polygone dont les sommets sont exactement ces points (il suffit de
prendre l’enveloppe convexe de ces points).
D´efinition — Soit Pun polygone, on d´efinit le groupe I(P) des isom´etries
conservant P. On note R(P) le sous-groupe de ses rotations.
Remarque — I(P) est l’ensemble des isom´etries fixant les sommets de P.
D´efinition — Un polygone est dit r´egulier si tout ses cˆot´es ont mˆemes
longueur et si tous les angles entre deux cˆot´es adjacents sont ´egaux.
On note {p}le polygone r´egulier `a pcˆot´es, unique `a similitude pr`es. L’angle
entre deux cˆot´es, appel´e angle di`edre, mesure π−2π
p. Son groupe d’isom´etries
I({p}) est le groupe di´edral Dpd’ordre 2pengendr´e par deux r´eflexions.
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ZZZZZZZZB
B
B
B
B
B
B
B
B
B
Figure 1 —Le pentagone {5}et le polygone ´etoil´e {5
2}
Remarque — Cette notation s’´etend aux polygones non convexes, dit ´etoil´es
{p
d}avec pet dpremiers entre eux.
Pour ´etendre en dimension quelconque la notion de polygone r´egulier, on
pr´eferera la d´efinition ´equivalente qui suit :
3

Proposition — Un polygone Pest r´egulier si et seulement si son groupe
d’isom´etries I(P) agit transitivement sur les couples (A, AB) form´es d’un
sommet Aet d’un cˆot´e AB contenant ce sommet.
Cette d´efinition a aussi l’avantage de rester valable pour les polygones non
convexes, et ceux poss´edant une infinit´e de cˆot´es.
1.2 Classification des polygones semi-r´eguliers
D´efinition — Un polygone est dit semi-r´egulier si son groupe d’isom´etries
I(P) agit transitivement sur ses sommets.
Proposition — Les polygones semi-r´eguliers sont soit r´eguliers, soit des poly-
gones `a 2nsommets de cˆot´es cons´ecutifs L1L2...L2nde longeurs respectives `1,
`2... v´erifiant `1=`3=`5... =`2n−1, et `2=`4=`6... =`2n, et dont les angles
entre deux cˆot´es adjacents sont ´egaux `a π/n.
T
T
T
TTTTTT
Figure 2 —Un polygone semi-r´egulier
D´emonstration — Soit Pun polygone semi r´egulier.
(a) Si Pn’a pas d’axe de sym´etrie, I(P) est le groupe cyclique d’ordre p.
Par action transitive de I(P) sur les sommets, Pest le polygone r´egulier {p}.
Ce qui est absurde car {p}a un axe de sym´etrie.
(b) Si Pa un axe de sym´etrie, I(P) est le groupe di´edral d’ordre 2n, engendr´e
par deux r´eflexions de droites s´ecantes en O. Les axes de sym´etries d´ecoupent
le cercle circonscrit en arcs ´egaux. Choisissons en un. Toujours par transitivit´e
de l’action de groupe sur les sommets, il n’y a qu’un sommet Ssur cet arc de
cercle. S’il est au milieu ou au bord de l’arc, le polygone est r´egulier. Sinon,
les deux droites qui d´elimitent l’arc envoient Ssur deux sommets formant ainsi
deux segments de longeurs diff´erentes. Les nrotations assurent le fait que les
longeurs de segments adjacents soient altern´ees.
R´eciproquement, soit deux segments L1et L2de longeurs respectives `1
et `2, faisant un angle π/n. Soit Dnle groupe di´edral d’ordre 2nde centre
l’intersection des m´ediatrices de L1et L2. L’image de L1et L2par Dnest une
suite de segments de longeurs altern´ees formant un poly`edre semi-r´egulier. 
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