Les fonctions trigonométriques
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Les fonctions trigonométriques 2nde Lycée Paul-Valéry (34) 23 mai 2009 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 1 / 33 Les fonctions trigonométriques 1 Repérage sur le cercle trigonométrique Le cercle trigonométrique Enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique 2 Le radian 3 Fonctions sinus et cosinus Repérage cartésien Le sinus et le cosinus 4 Corrections des exercices Repérage sur le cercle trigonométrique Le radian Fonction sinus et cosinus Le sinus et le cosinus 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 2 / 33 Les fonctions trigonométriques 1 Repérage sur le cercle trigonométrique Le cercle trigonométrique Enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique 2 Le radian 3 Fonctions sinus et cosinus Repérage cartésien Le sinus et le cosinus 4 Corrections des exercices Repérage sur le cercle trigonométrique Le radian Fonction sinus et cosinus Le sinus et le cosinus 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 3 / 33 Le cercle trigonométrique Définition (Le cercle trigonométrique) Le cercle trigonométrique est un cercle 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 4 / 33 Le cercle trigonométrique Définition (Le cercle trigonométrique) Le cercle trigonométrique est un cercle de centre O, 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) O Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 4 / 33 Le cercle trigonométrique Définition (Le cercle trigonométrique) Le cercle trigonométrique est un cercle de centre O, O 1 de rayon 1, 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 4 / 33 Le cercle trigonométrique Définition (Le cercle trigonométrique) Le cercle trigonométrique est un cercle + de centre O, O 1 de rayon 1, orienté dans le sens positif. 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 4 / 33 Les fonctions trigonométriques 1 Repérage sur le cercle trigonométrique Le cercle trigonométrique Enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique 2 Le radian 3 Fonctions sinus et cosinus Repérage cartésien Le sinus et le cosinus 4 Corrections des exercices Repérage sur le cercle trigonométrique Le radian Fonction sinus et cosinus Le sinus et le cosinus 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 5 / 33 Enroulement de la droite des réels Définition (Repérage) Soit M un point du cercle trigonométrique. Ce point peut-être repéré en : 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 6 / 33 Enroulement de la droite des réels Définition (Repérage) Soit M un point du cercle trigonométrique. Ce point peut-être repéré en : 1 fixant un point A sur le cercle, O 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques M A 23 mai 2009 6 / 33 Enroulement de la droite des réels Définition (Repérage) Soit M un point du cercle trigonométrique. Ce point peut-être repéré en : 1 2 fixant un point A sur le cercle, définissant l’axe des réels d’origine A, 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques O M A 23 mai 2009 6 / 33 Enroulement de la droite des réels Définition (Repérage) Soit M un point du cercle trigonométrique. Ce point peut-être repéré en : x 1 fixant un point A sur le cercle, 2 définissant l’axe des réels d’origine A, 3 en « enroulant » l’axe des réels autour du cercle. 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques O M A 23 mai 2009 6 / 33 Enroulement de la droite des réels Définition (Repérage) Soit M un point du cercle trigonométrique. Ce point peut-être repéré en : x 1 fixant un point A sur le cercle, 2 définissant l’axe des réels d’origine A, 3 en « enroulant » l’axe des réels autour du cercle. O M A Les réels de cet axe viennent en coïncidence avec les points du cercle. Ici, le réel x est associé au point M. 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 6 / 33 Enroulement de la droite des réels Propriété Animation GeoGebra 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 7 / 33 Enroulement de la droite des réels Propriété Animation GeoGebra On a : 1 Tout réel de l’axe correspond à un point du cercle, 2 Tout point du cercle est associé à une infinité de réels de l’axe. 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 7 / 33 Enroulement de la droite des réels Exercice no 1 Exercice Correction 13π 2 Une ficelle de longueur est attachée en A sur le cercle trigonométrique. On l’enroule autour du cercle dans le sens positif. 1 Combien fait-on de tours entiers ? 2 Où se trouve son autre extrémité sur le cercle ? 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 8 / 33 Enroulement de la droite des réels Exercice no 2 Exercice Correction Le point A est l’origine. Pour chacun des points B, A0 et B 0 du cercle trigonométrique, préciser la valeur correspondante du réel x comprise entre 0 et 2π. B A0 O A B0 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 9 / 33 Les fonctions trigonométriques 1 Repérage sur le cercle trigonométrique Le cercle trigonométrique Enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique 2 Le radian 3 Fonctions sinus et cosinus Repérage cartésien Le sinus et le cosinus 4 Corrections des exercices Repérage sur le cercle trigonométrique Le radian Fonction sinus et cosinus Le sinus et le cosinus 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 10 / 33 Le radian Définition Le radian est une unité de mesure d’angle tel que pour tout point M(x ) mesure x rad. sur le cercle trigonométrique avec x ≥ 0, l’angle AOM M(x ) O 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) x A Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 11 / 33 Le radian Correspondance entre radian et degré Propriété Les mesures d’angles en degrés et en radians sont proportionnelles. Il faut retenir que π rad correspond à 180˚. 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 12 / 33 Le radian Exercice no 1 Exercice Correction Écrire en radians : 30˚ ; 45˚ ; 60˚ ; 90˚ ; les angles d’un triangle équilatéral. 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 13 / 33 Le radian Valeurs remarquables Propriété Plaçons certaines valeurs sur le cercle trigonométrique. B A0 (π) 2 O B0 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) ¡π¢ A(0) ³ 3π 2 ´ Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 14 / 33 Le radian Valeurs remarquables Propriété Plaçons certaines valeurs sur le cercle trigonométrique. B ¡π¢ 2 M1 A0 (π) O B0 A(0) ³ 3π 2 ´ à1 ? Donner une mesure en radian de AOM 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 14 / 33 Le radian Valeurs remarquables Propriété Plaçons certaines valeurs sur le cercle trigonométrique. B A0 (π) ¡π¢ 2 O 1 2 B0 ³ 3π 2 A(0) ´ Quelle est la nature de ce triangle ? 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 14 / 33 Le radian Valeurs remarquables Propriété Plaçons certaines valeurs sur le cercle trigonométrique. B A0 (π) ¡π¢ 2 M3 O 1 2 B0 ³ 3π 2 A(0) ´ à3 . En déduire une mesure en radian de AOM 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 14 / 33 Le radian Valeurs remarquables Propriété Plaçons certaines valeurs sur le cercle trigonométrique. B ¡π¢ 2 1 2 A0 (π) O B0 A(0) ³ 3π 2 ´ Quelle est la nature de ce triangle ? 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 14 / 33 Le radian Valeurs remarquables Propriété Plaçons certaines valeurs sur le cercle trigonométrique. B ¡π¢ 2 1 2 A0 (π) M2 O B0 A(0) ³ 3π 2 ´ à2 . En déduire une mesure en radian de AOM 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 14 / 33 Le radian Valeurs remarquables Propriété Plaçons certaines valeurs sur le cercle trigonométrique. B ¡π¢ 2 M3 ¡π¢ 3 1 2 A0 (π) 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) ¡π¢ 4 M2 O 1 2 B0 M1 ³ 3π 2 ¡π¢ 6 A(0) ´ Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 14 / 33 Le radian Exercice no 2 Exercice Correction Placer sur un cercle trigonométrique les points A(0), B ¡π¢ et E 3 . ¡π¢ 2 ,C ¡π¢ 4 ,D ¡π¢ 6 1 Déterminer la transformation permettant à partir de C de placer le ¡ ¢ point C 0 π + π4 . 2 Déterminer la transformation permettant à partir de D de placer le ¡ ¢ point D 0 −π 6 . 3 Déterminer la transformation permettant à partir de E de placer le ¡ ¢ point E 0 π2 + π3 . 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 15 / 33 Les fonctions trigonométriques 1 Repérage sur le cercle trigonométrique Le cercle trigonométrique Enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique 2 Le radian 3 Fonctions sinus et cosinus Repérage cartésien Le sinus et le cosinus 4 Corrections des exercices Repérage sur le cercle trigonométrique Le radian Fonction sinus et cosinus Le sinus et le cosinus 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 16 / 33 Les fonctions trigonométriques 1 Repérage sur le cercle trigonométrique Le cercle trigonométrique Enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique 2 Le radian 3 Fonctions sinus et cosinus Repérage cartésien Le sinus et le cosinus 4 Corrections des exercices Repérage sur le cercle trigonométrique Le radian Fonction sinus et cosinus Le sinus et le cosinus 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 17 / 33 Fonction sinus et cosinus Repérage cartésien Propriété Soit A(0) ³et B π2 deux points d’un cercle trigonométrique de centre O. # » # »´ Le repère O; OA, OB est un repère orthonormal. ¡ ¢ B O 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques A 23 mai 2009 18 / 33 Fonction sinus et cosinus Repérage cartésien Remarque À tout point M du cercle repéré par le réel t, on peut lui ³associer un ´couple #» # » (x ;y ) représentant les coordonnées de M dans le repère O; OA, OB . B M(t) y O 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) x Les fonctions trigonométriques A 23 mai 2009 19 / 33 Les fonctions trigonométriques 1 Repérage sur le cercle trigonométrique Le cercle trigonométrique Enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique 2 Le radian 3 Fonctions sinus et cosinus Repérage cartésien Le sinus et le cosinus 4 Corrections des exercices Repérage sur le cercle trigonométrique Le radian Fonction sinus et cosinus Le sinus et le cosinus 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 20 / 33 Fonction sinus et cosinus Le sinus et le cosinus Définition ³ # » # »´ Soit M(t) un point du cercle trigonométrique et O; OA, OB le repère définie précédemment. On appelle cosinus du réel t, noté cos(t), l’abscisse du point M, On appelle sinus du réel t, noté sin(t), l’ordonnée du point M, B sin(t) O 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) M(t) cos(t) A Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 21 / 33 Fonction sinus et cosinus Valeurs remarquables Théorème Certaines valeurs sont à connaître. t (rad) 0 sin(t) 0 cos(t) 1 π 6 1 2 p 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) 3 2 π π p p 4 2 2 3 p 2 2 Les fonctions trigonométriques π 2 3 2 1 1 2 0 23 mai 2009 22 / 33 Fonction sinus et cosinus Exercice Exercice Correction 1 2 3 Placer¡sur le cercle trigonométrique les points A(0), M1 ¢ π et M3 3 . ¡π¢ 6 , M2 ¡π¢ 4 Utilisez l’un¡ de¢ces points pour placer N1 π + π6 et en ¡ 7π ¢ 7π déduire cos 6 et sin 6 . ¡ ¢ Utilisez l’un de ces points pour placer N2 − π3 et en déduire cos ¡ −π ¢ et sin 3 . 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) ¡ Les fonctions trigonométriques ¢ 23 mai 2009 ¡ −π ¢ 3 23 / 33 Fonction sinus et cosinus 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 24 / 33 Les fonctions trigonométriques 1 Repérage sur le cercle trigonométrique Le cercle trigonométrique Enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique 2 Le radian 3 Fonctions sinus et cosinus Repérage cartésien Le sinus et le cosinus 4 Corrections des exercices Repérage sur le cercle trigonométrique Le radian Fonction sinus et cosinus Le sinus et le cosinus 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 25 / 33 Les fonctions trigonométriques 1 Repérage sur le cercle trigonométrique Le cercle trigonométrique Enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique 2 Le radian 3 Fonctions sinus et cosinus Repérage cartésien Le sinus et le cosinus 4 Corrections des exercices Repérage sur le cercle trigonométrique Le radian Fonction sinus et cosinus Le sinus et le cosinus 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 26 / 33 Exercice no 1 Correction Exercice Retour 13π 2 On imagine une ficelle de longueur attachée en A sur le cercle trigonométrique. On l’enroule autour du cercle dans le sens positif. 1 Combien fait-on de tours entiers ? 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 27 / 33 Exercice no 1 Correction Exercice Retour 13π 2 On imagine une ficelle de longueur attachée en A sur le cercle trigonométrique. On l’enroule autour du cercle dans le sens positif. 1 Combien fait-on de tours entiers ? La longueur d’un tour est 2π × r = 2π. 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 27 / 33 Exercice no 1 Correction Exercice Retour 13π 2 On imagine une ficelle de longueur attachée en A sur le cercle trigonométrique. On l’enroule autour du cercle dans le sens positif. 1 Combien fait-on de tours entiers ? La longueur d’un tour est 2π × r = 2π. Comme 132π = 6, 5π et que 3 × 2π < 6, 5π < 4 × 2π, on en déduit que la ficelle décrit trois tours complets. 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 27 / 33 Exercice no 1 Correction Exercice Retour 13π 2 On imagine une ficelle de longueur attachée en A sur le cercle trigonométrique. On l’enroule autour du cercle dans le sens positif. 1 Combien fait-on de tours entiers ? La longueur d’un tour est 2π × r = 2π. Comme 132π = 6, 5π et que 3 × 2π < 6, 5π < 4 × 2π, on en déduit que la ficelle décrit trois tours complets. 2 Où se trouve son autre extrémité sur le cercle ? 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 27 / 33 Exercice no 1 Correction Exercice Retour 13π 2 On imagine une ficelle de longueur attachée en A sur le cercle trigonométrique. On l’enroule autour du cercle dans le sens positif. 1 Combien fait-on de tours entiers ? La longueur d’un tour est 2π × r = 2π. Comme 132π = 6, 5π et que 3 × 2π < 6, 5π < 4 × 2π, on en déduit que la ficelle décrit trois tours complets. 2 Où se trouve son autre extrémité sur le cercle ? On a 132π − 6π = π2 . Après les 3 tours complets, la ficelle décrit encore un quart de tour. La seconde extrémité se trouve en B. 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques B O A 23 mai 2009 27 / 33 Exercice no 2 Correction Exercice Retour Le point A est l’origine. Pour chacun des points B, A0 et B 0 du cercle trigonométrique, préciser la valeur correspondante du réel x comprise entre 0 et 2π. B A0 (π) 2 O B0 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) ¡π¢ A(0) ³ 3π 2 ´ Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 28 / 33 Les fonctions trigonométriques 1 Repérage sur le cercle trigonométrique Le cercle trigonométrique Enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique 2 Le radian 3 Fonctions sinus et cosinus Repérage cartésien Le sinus et le cosinus 4 Corrections des exercices Repérage sur le cercle trigonométrique Le radian Fonction sinus et cosinus Le sinus et le cosinus 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 29 / 33 Exercice no 1 Correction Exercice Retour Écrire en radians : 30˚ ; 45˚ ; 60˚ ; 90˚ ; les angles d’un triangle équilatéral. 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 30 / 33 Exercice no 1 Correction Exercice Retour Écrire en radians : 30˚ ; 45˚ ; 60˚ ; 90˚ ; les angles d’un triangle équilatéral. Degré 30 45 60 90 π π π Radian π6 4 3 2 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 30 / 33 Exercice no 2 Correction Exercice Retour 1 Déterminer la transformation permettant à partir de C de placer le ¡ ¢ π 0 point C π + 4 . O 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques A(0) 23 mai 2009 31 / 33 Exercice no 2 Correction Exercice Retour 1 Déterminer la transformation permettant à partir de C de placer le ¡ ¢ π 0 point C π + 4 . C +π O C 0 π + π4 ¡ 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) ¡π¢ 4 + π4 A(0) ¢ Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 31 / 33 Exercice no 2 Correction Exercice Retour 1 Déterminer la transformation permettant à partir de C de placer le ¢ ¡ π 0 point C π + 4 . C +π O C 0 π + π4 ¡ ¡π¢ 4 + π4 A(0) ¢ C 0 est l’image de C par une symétrie de centre O. 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 31 / 33 Exercice no 2 Correction Exercice Retour 2 Déterminer la transformation permettant à partir de D de placer le ¡ ¢ 0 −π point D 6 . O 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques A(0) 23 mai 2009 31 / 33 Exercice no 2 Correction Exercice Retour 2 Déterminer la transformation permettant à partir de D de placer le ¡ ¢ 0 −π point D 6 . D O ¡π¢ 6 + π6 A(0) − π6 ¡ ¢ 0 −π D 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 6 23 mai 2009 31 / 33 Exercice no 2 Correction Exercice Retour 2 Déterminer la transformation permettant à partir de D de placer le ¡ ¢ 0 −π point D 6 . D O ¡π¢ 6 + π6 A(0) − π6 ¡ ¢ 0 −π D 6 D 0 est l’image de D par une symétrie d’axe (OA). 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 31 / 33 Exercice no 2 Correction Exercice Retour 3 Déterminer la transformation permettant à partir de E de placer le ¡ ¢ π 0 π point E 2 + 3 . O 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques A(0) 23 mai 2009 31 / 33 Exercice no 2 Correction Exercice Retour 3 Déterminer la transformation permettant à partir de E de placer le ¡ ¢ π 0 π point E 2 + 3 . E 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) ¡ 0 π 2 + π2 ¢ π +3 E ¡π¢ 3 + π3 O Les fonctions trigonométriques A(0) 23 mai 2009 31 / 33 Exercice no 2 Correction Exercice Retour 3 Déterminer la transformation permettant à partir de E de placer le ¢ ¡ π 0 π point E 2 + 3 . E ¡ 0 π 2 + π2 ¢ π +3 E ¡π¢ 3 + π3 O A(0) E 0 est l’image de E par une rotation de centre O et d’angle 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques π 2 rad. 23 mai 2009 31 / 33 Les fonctions trigonométriques 1 Repérage sur le cercle trigonométrique Le cercle trigonométrique Enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique 2 Le radian 3 Fonctions sinus et cosinus Repérage cartésien Le sinus et le cosinus 4 Corrections des exercices Repérage sur le cercle trigonométrique Le radian Fonction sinus et cosinus Le sinus et le cosinus 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) Les fonctions trigonométriques 23 mai 2009 32 / 33 Exercice Correction Exercice Retour 1 2 3 Placer¡sur le cercle trigonométrique les points A(0), M1 ¢ π et M3 3 . ¡π¢ 6 , M2 ¡π¢ 4 Utilisez l’un¡ de¢ces points pour placer N1 π + π6 et en ¡ 7π ¢ 7π déduire cos 6 et sin 6 . ¡ ¢ Utilisez l’un de ces points pour placer N2 − π3 et en déduire cos ¡ −π ¢ et sin 3 . 2nde (Lycée Paul-Valéry (34)) ¡ Les fonctions trigonométriques ¢ 23 mai 2009 ¡ −π ¢ 3 33 / 33
