Exercice 5 - college

CORRECTION DU BREVET BLANC AVRIL 2014
 Exercice 1
4pts
On donne le programme de calcul suivant :
a)





Choisir un nombre
Lui ajouter 1
Calculer le carré du résultat obtenu
Soustraire le carré du nombre choisi au départ
Soustraire enfin 1 au résultat final
Montrer que l’on obtient 20 si on choisit 10 comme nombre de départ.
Les opérations sont : (10 + 1)² – 10² – 1 = 11² – 10² – 1 = 121 – 100 – 1 = 20
b) Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi au départ est –3
(–3 + 1)² – (–3)² – 1 = (–2)² – (–3)² – 1 = 4 – 9 – 1 = – 6
c)
Quelle conjecture peut-on faire ?
Il semble que l’on obtient le double du nombre de départ : 20 a pour image 40 et –3 a pour image –6
d) Prouver le en prenant  comme nombre de départ.
En prenant  comme nbr de départ : ( + 1)² – ² – 1 en développant on obtient
² + 2 + 1 – ² – 1 = 2 après réduction
 Exercice 2 Voici quatre affirmations :
4pts
1
: 18 est un nombre décimal. C’est vrai car
= 0,125 en écriture décimale.
8
: 72 a exactement cinq diviseurs.
C’est faux car ses diviseurs sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ….. il y en a plus de 5.
: si n est un entier, alors (n – 1)(n + 1) + 1 est toujours égal au carré d’un nombre entier.
En développant on obtient n² – 1² + 1 = n² – 1 + 1 = n² qui est le carré du nombre entier n.
C’est donc vrai.
: Deux nombres impairs sont toujours premiers entre eux. C’est faux car, par exemple 15 et 25 sont
impairs et ne sont pas premiers entre eux car ils sont divisibles par 5
 Exercice 3
On rappelle dans cet exercice les 3 identités remarquables:
2pts
(a + b)² = a² +2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b² (a + b)(a – b) = a² – b²
On donne les expressions numériques suivantes :
A = (3 2 + 5)² et B = ( 7 + 3)( 7 – 3)
a) Ecrire A sous la forme a + b 2 où a et b sont des nombres entiers. Indiquer toutes les étapes du calcul.
En développant comme (a + b)² : A = (3 2)² + 2
3 2
5 + 5² = 9
2 + 30 2 + 25 = 43 + 30 2
b) Prouver que B est un nombre entier relatif. Indiquer toutes les étapes du calcul.
En développant comme (a + b)(a – b): B = ( 7)² – 3² = 7 – 9 = –2
 Exercice 4
5pts
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée. Une réponse correcte
rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,5point, l'absence de réponse ne retire aucun point. Indiquer sur la copie, le
numéro de la question et la réponse
Réponse A
1. 54 est égal à
2. La valeur approchée arrondie au
centième de 100 – 25 est
3. L’expression développée et réduite
de (7 – 3)(7 + 3) est
Réponse B
Réponse C
Réponse D
20
125
625
–15
75
8,66
8,67
40
49 – 9²
(7 – 3)²
14 – 3²
3
7
13
21
11
3
–1
1
3
7
9
5
5 5
4. Le PGCD de 5 082 et 4 641 est
2
5. Pour la fonction f() = 3² – 5, f( ) =
3
–
–
 Exercice 5
4pts
On a dessiné et codé quatre figures géométriques. Dans chaque cas, préciser si le triangle ABC est rectangle ou non ?
Une démonstration rédigée n’est pas attendue. Pour justifier vos réponses, on se contentera de citer une propriété ou
d’effectuer un calcul.
figure 2
figure 1
C
4,25 cm
2 cm
A
B
3,75 cm
4,25² = 18,0625
2² + 3,75² = 4 + 14,0625 = 18,0625
Comme BC² = AB² + AC², le triangle ABC est
rectangle en A d'après le théorème réciproque
de Pythagore
Le triangle est inscrit dans le cercle mais s'il était
rectangle, l'un de ses côté serait un diamètre du
cercle. Comme ce n'est pas le cas, ce triangle
n'est pas rectangle
figure 3
figure 4
Les points A, B et D sont alignés
C
C
49 °
A
A
D
B
B
La somme des angles d'un triangle est 180° donc

C = 180° – (49° + 36°) = 180 – 85° = 95°.
Ce triangle n'ayant pas d'angle droit n'est pas
rectangle
CD est une médiane qui mesure la moitié du
côté opposé donc ce triangle est rectangle en C
 Exercice 6
36 °
4pts
Un cycliste se trouve sur la montée d’une côte matérialisée par [BC]. On donne :
AH = 100m
C
BH = 400m
ABC = 10°
La figure n'est pas à l'échelle
D
100 m
A
400 m
H
a)
Calculer l'angle BCA
Dans le triangle ABC, 
BCA = 180 – (90° + 10°) = 80°
B
b) Calculer le dénivelé AC arrondi au mètre
Dans le triangle BCA rectangle en A, on connait l'angle
B , son côté adjacent AB et on cherche le
côté opposé. On exprime la tangent de 
B :
AC
tan
B =
d'où AC = AB tan
B = 500 tan10° ≈ 88,1634…. soit 88m arrondi au mètre
AB
c)
Calculer la longueur BC arrondie au mètre
Le triangle ABC est rectangle en A donc d’après le théorème de Pythagore,
BC² = AB² + AC² d’où
BC² = 500² + 88² = 257 744 d’où BC ≈ 508m arrondi au mètre
d.
Le cycliste fait une pause au point D, déterminer la distance au mètre près qu’il lui reste à parcourir afin d’arriver au
bout de cette côte et atteindre le point C.
Il y a une situation de Thales. On a (AC) et (DH) perpendiculaires à (AB) donc (AC) // (DH).
Les droites (CD) et (AH) sont sécantes en B et (AC) // (DH) donc d’après le théorème de Thales
BD BH DH
BD 400
=
=
seuls les 2 premiers quotients sont utiles
=
, on en déduit à l’aide de l’égalité
BC BA AC
508 500
508 400
des produits en croix que BD =
= 406,4 soit 406m arrodi au mètre.
500
Il lui reste donc 508 – 406 = 102m à parcourir
 Exercice 7
7pts dont 1 pt de bonus
Soit la figure ci-contre, qui n’est pas en vraie grandeur.
On sait que ABD est un triangle isocèle en A et que ABD = 75°.
C est un cercle de centre O est de diamètre [BM] circonscrit au triangle ABD.
a) Quelle est la nature du triangle BMD ? Justifier votre réponse.
A
M
C
Le triangle BDM est inscrit dans un cercle de diamètre [BM], il
est donc rectangle en D
O
b)
Calculer l'angle BAD
Dans le triangle BAD, isocèle en A, les 2 angles à la base sont
égaux donc l'angle 
A mesure 180° – 2 75° = 30°
c)
Citer un angle inscrit qui intercepte le même arc de cercle que
75 °
B
D

l’angle BMD.

L'angle 
BAD intercepte le même arc que BMD
d) Justifier que l’angle BMD = 30° .
 et 
Les angles BMD
BAD sont inscrits et interceptent le même arc 
BD donc ils sont égaux à 30°
On donne BD=5,6 cm et BM= 11,2 cm.
e) Calculer DM. On arrondira le résultat au mm.
Dans le triangle BDM, rectangle en D, d'après le théorème de Pythagore, BM² = BD² + DM²
Donc DM² = BM² – BD² = 11,2² – 5,6² = 94,08 d'où BM = 94,08 = 9,699..≈ 9,7 cm arrondi au mm
f)
Construire cette figure en vraie grandeur.
On commence par un cercle de centre O et de rayon 11,2 : 2 = 5,6cm on trace le diamètre [BM]
Au compas on place le point D à 5,6cm de B et le point A en traçant un angle 
DBA = 75°
 Exercice 8
6pts dont 1 pt de bonus
On donne ci-dessous les représentations graphiques de trois fonctions f, g et h
a) Lire les coordonnées du point A A(5;1)
b)
Parmi ces trois représentations, quelle est celle illustrant
une fonction linéaire ?
C'est la fonction f car c'est une droite qui
passe par l'origine du repère
c)
Justifier que f() = 2
On peut remarquer que la droite f passe par le
point de coordonnées (3;6). f() est de la forme
a et 3 a pour image 6 donc le coefficient est 2
d)
On donne h() = –0,4 + 3. Prouver que le point A
appartient à la droite représentant la fonction h
Les coordonnées de A sont (5;1) Or l'image de
5 par h est h(5) = –0,4 5 + 3 = –2 + 3 = 1
donc A appartient à la droite représentant h()
car ses coordonnées vérifient l'équation de h.
e.
Lire l’image du nombre 1 par la fonction g.
On prend le point d'abscisse 1 et on lit son ordonnée sur g, c'est 6
f.
Donner les antécédents de 0 par la fonction g
On prend l'ordonnée 0 et on lit toutes les abscisses des points de g qui ont 0 en ordonnée. Il y a –1, 2 et 4
 Exercice 9
4pts dont 1 pt de bonus
Deux classes de 3ème ont répondu à la question suivante :
« Combien de livres avez-vous empruntés durant ces 2 trimestres ? »
Les deux classes ont communiqué les réponses de deux façons différentes :
Voici la série brute de données des 3A : 1 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 7 ; 7 ; 7
Voici la synthèse des 3B : effectif total : 25 ; Moyenne : 4 ; Étendue : 8 ; Médiane : 5
a)
Comparer les nombres moyens de livres empruntés dans chaque classe.
8+6 5+7 3
=4
21
Pour la 3B, la moyenne est 4 donc les 2 classes ont la même moyenne de livres empruntés
Le calcul de la moyenne est nécessaire pour la 3A :
b)
1+2
4+3
On considère un élève comme « grand lecteur » si celui-ci emprunte 5 livres ou plus. Quelle est la classe qui possède le
plus de « grands lecteurs » ? Justifier votre réponse.
Dans la 3A, il y a 8 "grands lecteurs" (en les comptant)
En 3B, la médiane est 5 ce qui signifie qu'il y a autant d'élèves qui ont emprunté plus de 5 livres que
d'élèves qui en ont emprunté moins. L'effectif étant de 25, la médiane est la 13è donnée et il y a au
moins 13 élèves(du 13è au 25è) qui ont emprunté 5 livres ou plus. Donc la 3B contient le plus de
"grands lecteurs"
c)
Dans quelle classe se trouve l’élève ayant emprunté le plus de livres ? Justifier votre réponse.
En 3A, le plus grand nombre de livres emprunté est 7.
En 3B, l'étendue étant de 8, c'est la différence entre la plus grande donnée et la plus petite. Si la plus
petite est 0 (livres empruntés) , la plus grande sera 8 (livres empruntés) donc c'est en 3B qu'il y a
l'élève qui a emprunté le plus de livres.
d)
Déterminer le 1er quartile de la série brute des 3A, rappeler ce que cela signifie.
Le 1er quartile est la donnée pour laquelle au moins 25% de l'effectif lui est inférieur.
25% de 21 = 5,25, c'est donc la 6ème donnée. Q1 = 3