th´eorie de morse et homologie de floer premi`ere partie : th

Mich`ele Audin et Mihai Damian
TH´ EORIE DE MORSE
ET HOMOLOGIE DE FLOER
PREMI` ERE PARTIE : TH´ EORIE DE
MORSE

Mich`ele Audin et Mihai Damian
Institut de Recherche Math´ematique Avanc´ee, Universit´eLouisPasteuretCNRS,
7rueRen´eDescartes, 67084 Strasbourg cedex, France.
E-mail : [email protected]
Url : http://www-irma.u-strasbg.fr/~maudin
Version du 9 d´ecembre 2004, c’est celle distribu´ee aux ´etudiants le 6 d´ecembre 2004, `atroisfautes de
frappe manifestes pr`es.

TH´ EORIE DE MORSE
ET HOMOLOGIE DE FLOER
PREMI` ERE PARTIE : TH´ EORIE DEMORSE
Mich`ele Audin et Mihai Damian
R´esum´e. Ce sont des notes pour un cours de dea sur la th´eorie de Morse et le complexe des points
critiques d’une fonction de Morse.
La deuxi`eme partie portera sur l’homologie de Floer, une th´eorie analogue... mais dans laquelle la
fonction utilis´ee est une fonction sur un espace de lacets, sur une vari´et´ededimension infinie, ce qui
rend les choses un peu plus compliqu´ees.

TABLE DES MATI ` ERES
Introduction.................................................................................... 7
I. Rappels sur les vari´et´es.................................................................... 9
I.1. D´efinitions................................................................................. 9
I.2. Points critiques, valeurs critiques et th´eor`emedeSard..................................... 12
II. Fonctions de Morse........................................................................ 15
II.1. D´efinition desfonctions de Morse......................................................... 15
II.2.Existence et multitude desfonctions de Morse............................................ 16
II.3.Lelemme de Morse, indice d’un pointcritique............................................ 18
II.4. Exemples de fonctions de Morse. . . . ...................................................... 21
III. Pseudo-gradients......................................................................... 25
III.1. Gradients, pseudo-gradients et cartes de Morse. . . . ...................................... 25
III.2. La condition de Smale................................................................... 34
III.3. Appendice : classification des vari´et´es de dimension1.................................... 42
IV. Le complexe des points critiques....................................................... 45
IV.1. D´efinition du complexe. ................................................................. 45
IV.2. Espace des liaisons entre deux points critiques, ou des «trajectoires bris´ees. . . . ......... 48
IV.3. L’homologie du complexe ne d´epend ni de la fonction ni du champ de vecteurs. . . . . . . . . . 54
V. Homologie de Morse, applications....................................................... 61
V.1. Homologie. . . . . . . ......................................................................... 61
V.2. La formule de Kunneth. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
V.3. La «dualit´edePoincar´e»................................................................ 63
V.4. Caract´eristique d’Euler, polynˆome de Poincar´e........................................... 64
V.5. Homologie et connexit´e................................................................... 66
V.6. Fonctorialit´edel’homologiedeMorse.................................................... 68
V.7. Suite exacte longue. . . . . .................................................................. 73
V.8. Applications. . . . .......................................................................... 75
V.9. Appendice. Un peu d’alg`ebre homologique................................................ 77
Bibliographie................................................................................... 81