Chapitre 3 Les orbites stellaires

Chapitre 3
Les orbites stellaires
Une des méthodes permettant de construire des modèles de galaxies
consiste à établir une bibliothèque d’orbites variées, puis à les superposer en
les pondérant par une densité de probabilité propre à chaque famille d’orbites.
C’est ce qu’on appelle la “Méthode de Schwarzschild” (de Martin Schwarz-
schild, fils de Karl Schwarzschild qui a donné son nom au rayon des trous
noirs). Il est donc important de voir comment on calcule des orbites dans
différents potentiels et quelles sont leurs caractéristiques.
Dans ce qui suit on suppose que le potentiel gravifique Φ(x)est indépen-
dant du temps et qu’il résulte de l’équation de Poisson ∇2Φ = 4πG ρ.
Précisons alors la signification d’une :
– trajectoire : toute solution des équations du mouvement ¨ x=−∇Φ(x)
définit sur un intervalle de temps fini. C’est donc l’ensemble :
{x(t)|x(t0) = x0, t ∈[t0, t1]}(3.1)
– orbite : trajectoire définie sur un intervalle de temps infini. C’est donc
l’ensemble :
{x(t)|x(t0) = x0, t ∈]− ∞,∞[}(3.2)
La dimension Dd’une orbite peut valoir :
–D= 0 : pour une orbite se réduisant à un point,
–D= 1 : pour une orbite périodique,
–D= 2 ou 3: pour une orbite quasi-périodique,
– pour des orbites avec des structures compliquées, on peut avoir des
dimensions Dfractionnaires (par exemple, les fractales), ou même des
distributions de D.
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Poincaré avait remarqué que les orbites périodiques forment l’ossature
de système dynamique. Ces orbites s’apparentent ainsi à des résumés de
la dynamique du système. Ceci permet une description économique de la
dynamique du système dans son ensemble.
Point fixe →stable →typiquement des orbites périodiques
stables dans le voisinage du point
→instable →typiquement des orbites périodiques
instables et des orbites chaotiques
dans le voisinage du point
Orbite périodique →stable →orbites quasi périodiques
avec la même forme générale
→instable →orbites chaotiques dans le voisinage
Une illustration de cela est donné par les disques des galaxies "expli-
qués" par les orbites périodiques circulaires. Ce qui permet la construction
de modèles dits en anneaux.
La marche à suivre pour le calcul d’une orbite dans un potentiel simple
est la suivante :
1. Etablir que le moment cinétique est conservé, et utiliser ce fait pour
réduire le problème au mouvement dans un plan.
2. Séparer l’équation du mouvement vectorielle en deux équations sca-
laires.
3. Considérer non plus le temps comme la variable indépendante, mais
l’angle azimutal.
4. Multiplier par la dérivée du rayon réciproque par rapport à l’angle,
puis intégrer, ce qui donne une équation pour le carré de la dérivée du
rayon réciproque par rapport à l’angle. La constante d’intégration est
proportionnelle à l’énergie par unité de masse divisée par le carré du
moment cinétique.
5. Résoudre l’équation différentielle pour le rayon réciproque en fonction
de l’angle.
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3.1 Les systèmes sphériques
Dans de tels systèmes le potentiel Φ(r)ne dépend plus que de la coordon-
née radiale. Ceci permet une conservation détaillée de l’énergie et du moment
cinétique L. Les équations du mouvement impliquant dL/dt=0⇒x∧˙ x=
cte, le mouvement d’une particule du système sphérique est plan. Dans un
tel plan de l’espace on peut envisager :
1. des orbites périodiques axiales ;
2. des orbites périodiques circulaires ;
3. des orbites quasi-périodiques qui sont des développements autour des
orbites périodiques : elles forment des orbites en forme de rosette ;
4. des orbites périodiques résonantes. Nommons Ωla pulsation de rotation
de l’orbite périodique circulaire et κla pulsation d’oscillation autour
de l’orbite périodique circulaire. Si le rapport Ω/κ est rationnel (i.e.,
qu’il vaut n/m où net msont des nombres naturels non-nuls), alors
on aura une orbite résonante.
L’équation différentielle vectorielle s’écrit :
d2
dt2r=−∇Φ(r) = F=F(r)er(3.3)
Avec le moment cinétique définit par L≡r∧v, on trouve immédiatement
la conservation du moment cinétique :
d
dtL=d dtr∧dr dt=dr dt∧dr dt+r∧d2r dt2= 0 (3.4)
L’orbite est limitée à un plan perpendiculaire au moment cinétique. En co-
ordonnées polaires r,ψ, l’intensité du moment cinétique est :
L=r2dψ
dt(3.5)
Rappelons que l’accélération en coordonnées polaires s’écrit :
d2
dt2r= (¨r−r˙
ψ2)er+ (2 ˙r˙ ψ+r¨ ψ)eψ
Il s’ensuit que les deux équations scalaires du mouvement sont :
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¨r−r˙ ψ2=F(r)(3.6)
2 ˙r˙ ψ+r¨ ψ= 0 (3.7)
Passant de tàψpour la variable indépendante, on a, en tenant compte de
l’Equ. (3.5) :
d
dt=L r2
d
dψ(3.8)
et en passant à la variable dépendante u≡1/r, on a :
1
r2
d
dψr=−d dψu(3.9)
L’équation radiale du mouvement, Equ. (3.6), devient alors :
d2u
dψ2+u=−F(u) L2u2= + ∇Φ L2u2=1 L2u2
dΦ
dr(1/u)(3.10)
Remarquons que :
dΦ
dr=dΦ du
du
dr=−1 r2
dΦ
du=−u2dΦ du
et multiplions l’équation précédente par du/dψ:
du
dψ
d2u
dψ2+du dψu=−1 L2
dΦ
du
du
dψ=−1 L2
dΦ
dψ
Or, le membre de gauche de cette équation peut s’écrire 1
2
d
dψ[(du/dψ)2+u2],
si bien qu’en intégrant l’équation du mouvement radial sur ψ, on obtient :
du
dψ2
+u2+2Φ
L2= cte ≡2E L2(3.11)
où Eest l’énergie totale qui s’écrit, en réintroduisant les coordonnées initiales
dans l’équation ci-dessus, sous la forme familière :
E=1
2"dr dt2
+r2dψ
dt2#+ Φ(r)(3.12)
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Il est également possible de trouver l’Equ. (3.11) en écrivant l’hamiltonien
par unité de masse.
Pour une orbite liée, on a du/dψ= 0 et udoit satisfaire l’équation :
u2+2[Φ(1/u)−E]
L2= 0 (3.13)
qui est une équation quadratique pour un potentiel képlerien (Φ(1/u)∝
u) et comporte donc deux solutions : l’une représente le péricentre, l’autre
l’apocentre. Pour d’autres potentiels, on aura en général aussi un péricentre et
un apocentre, mais tels que, par exemple, deux apocentres successifs n’auront
pas lieu au même azimut ψ: l’orbite aura une forme de rosette, au lieu d’une
courbe fermée comme l’ellipse képlerienne.
La période radiale Trpeut se calculer en isolant ˙rde l’Equ. (3.12),
après y avoir introduit L=r2˙ ψ, ce qui donne :
dr
dt=±r2[E−Φ(r)] −L2 r2(3.14)
(les signes +et −sont liés au fait que l’étoile s’éloigne, respectivement s’ap-
proche du centre). Si r1et r2désignent respectivement le rayon du péricentre
et celui de l’apocentre, la période radiale vaut alors :
Tr= 2 Zr2
r1
dr
p2[E−Φ(r)] −L2/r2(3.15)
En se souvenant que dψ
dr=dψ dt
dt
dr, on peut alors écrire l’intervalle d’azimut ∆ψ
parcouru au cours d’une oscillation radiale entière (péricentre–apocentre–
péricentre) de l’étoile :
∆ψ= 2 Zr2
r1
dψ
drdr= 2 Zr2
r1
L
r2
dt
drdr= 2LZr2
r1
dr
r2p2[E−Φ(r)] −L2/r2
(3.16)
L’intervalle ∆ψvaut 2πdans le cas d’une orbite képlerienne, mais peut dif-
férer de cette valeur si l’orbite n’est pas fermée (rosette).
La période azimutale Tψvaut :
Tψ=2π
|∆ψ|Tr(3.17)
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