Energie potentielle

Chapitre 8 OSPH La conservation de l’énergie 38
8. L’énergie potentielle
Si l’énergie cinétique d’un système est attribuable au mouvement, l’énergie potentielle est
attribuable à la position de cet objet.
Pour soulever une gomme du sol jusqu’à une certaine hauteur, il faut soit la ramasser avec la
main, soit la projeter avec une énergie cinétique initiale suffisante. Si la gomme revient à son
point de départ, elle a la même grandeur de vitesse que lorsqu’elle a été lancée. L’énergie
cinétique initiale est en quel que sorte emmagasinée puis restituée à nouveau sous forme
d’énergie cinétique. La gomme, lorsqu’elle est à une certaine hauteur, possède donc quelque
chose qu’elle n’a pas au sol, l’énergie potentielle.
On peut définir l’énergie potentielle en fonction du travail extérieur. Si l’objet est déplacé à
vitesse constante, le travail extérieur accroît l’énergie potentielle.
)()( iEfEEW pppEXT 
Comme seule la différence d’énergie potentielle intervient, on peut choisir l’endroit où
0
p
E
.
L’énergie potentielle d’un objet est le travail extérieur fournit à l’objet pour l’amener, à
vitesse constante, d’un point de référence à énergie potentielle nulle, au point considéré.
8.1. Les forces conservatives
Nous avons montré que le travail effectué sur un corps par la force de gravité,
)( ifg yymgW
,
ou le travail effectué par la force de rappel d'un ressort,
)(
2
122 ifres xxkW 
,
dépend uniquement des positions initiale et finale et non du trajet parcouru.
Par contre, le travail effectué par la force de frottement, par exemple sur un bloc qui glisse sur
un sol rugueux dépend de la longueur du parcours et pas seulement des bornes. La force de
gravité et la force exercée par un ressort idéal sont appelées forces conservatives, alors que la
force de frottement est une force non conservative.
Les expressions de
g
W
et de
res
W
montrent également que
si le point final coïncide avec le point initial, alors
0
g
W
et
0
res
W
. Autrement dit, le travail effectué sur un
parcours fermé est nul.
Par exemple, si l'on considère un bloc qui, après avoir été
projeté vers le haut d'un plan incliné sans frottement,
revient à son point de départ (figure), le travail effectué par
la force de gravité sur le bloc pendant son déplacement
vers le haut est
mghWg
et pendant son déplacement
vers le bas,
mghWg
. Le travail sur l'ensemble du trajet
est
0
g
W
.
h
h
s
s
V
V
2
1
f
f
Montée
Descente

Chapitre 8 OSPH La conservation de l’énergie 39
Si le plan incliné est rugueux, le travail effectué par la force de frottement pendant le
déplacement vers le haut est
fsWf
et pendant le déplacement vers le bas,
fsWf
. Le
travail pour l'ensemble du trajet est alors
fsWf2
.
Ainsi: lorsqu'une particule est en mouvement sous l'action d'une force
conservative entre A et B (figure), le travail effectué sur la particule par
la force conservative est le même pour le trajet 1 et pour le trajet 2:
)2()1( BABA WW  
Le travail effectué par une force conservative est indépendant de la trajectoire.
Si l'on inverse le sens du parcours sur la trajectoire 2 à la figure, la force ne change pas mais
chaque déplacement infinitésimal est dirigé dans le sens opposé. Le signe du travail va donc
changer :
)2()2( ABBA WW  
On peut alors écrire :
0
)2()1(   ABBA WW
Le travail effectué par une force conservative sur une trajectoire fermée quelconque est nul.
Pour que le travail effectué par une force conservative ne dépende pas de la trajectoire, la
force doit dépendre uniquement de la position, et non de la vitesse ni du temps. La force
magnétique sur une charge en mouvement et la résistance d'un fluide dépendent de la vitesse,
et sont donc des forces non conservatives. La force exercée par une main peut varier dans le
temps; ce n'est donc pas non plus une force conservative.
8.2. L’énergie potentielle et les forces conservatives
Puisque
0 c E
dans la définition de l'énergie potentielle de la première équation, le travail
total effectué sur la particule par la force extérieure (
EXT
W
) et par la force intérieure
conservative (
c
W
) est nul. Autrement dit,
0 cEXT WW
. On peut donc définir la variation
d'énergie potentielle en fonction du travail effectué par la force conservative :
cp WE 
Cette équation est préférable à la précédente parce qu'elle ne fait pas intervenir d'agent
extérieur. Elle n'exige pas non plus que la particule se déplace à vitesse constante.
La variation d'énergie potentielle lorsqu'une particule se déplace du point A au point B est
égale au travail effectué par la force conservative correspondante, précédé du signe moins. On
ne peut définir l'énergie potentielle que pour une force conservative, car le travail effectué
par une telle force est le seul qui ne dépende pas de la trajectoire.

Chapitre 8 OSPH La conservation de l’énergie 40
8.3. Les fonctions énergie potentielle
Energie potentielle de pesanteur :
Le travail de la force de pesanteur est :
)( ifg yymgW
si bien que
gp WE 
, en
choisissant
0
p
E
pour y=0, on a :
mgyEp
Energie potentielle du ressort :
Le travail de la force du ressort est :
)(
2
122 ifres xxkW 
si bien que
resp WE 
, en
choisissant
0
p
E
pour x=0 la position du repos du
ressort, on a :
2
2
1kxEp
Exemples :
Un homme de 75 kg monte, à vitesse constante, un escalier de 3 m de haut.
a) Quel est son gain d’énergie potentielle ?
b) Sachant qu’un gramme de graisse libère environ 37'700 J, quelle est la perte de poids
associée à cet exercice ?
Quelle est la quantité de travail nécessaire pour faire passer l’allongement d’un ressort de
0,33 m à 0,50 m ? (
mNk 12
).
8.4. La conservation de l’énergie mécanique
Dans le cas d’une particule soumise uniquement à des forces conservatives, on peut combiner
le théorème d’énergie cinétique et la définition de l’énergie potentielle :
cnet EW 
cp WE 
comme :
cnet WW 
, on a que
pc EE 
on peut écrire la relation ainsi :
))1()2(()1()2( ppcc EEEE 
en regroupant les termes de même situation :
)2()2()1()1( pcpc EEEE 
on peut écrire, à l’aide de l’énergie mécanique :
)2()1( mm EE 
car
pcm EEE 
Le principe de conservation de l'énergie mécanique permet souvent d'aborder les problèmes
de façon plus simple que ne le fait l'application directe des lois de Newton. Il offre plusieurs
avantages. Premièrement, alors que la force est un vecteur, le travail et l'énergie sont des
scalaires, plus faciles à manier. Deuxièmement, on ne doit considérer que les états initial et
final d'un système, ce qui évite de devoir tenir compte de l'évolution du système dans le
temps. Troisièmement, la notion d'énergie est utile, même lorsque la deuxième loi de Newton
L’énergie potentielle d’un ressort est une
fonction parabolique du déplacement x à partir
de la position d’équilibre.

Chapitre 8 OSPH La conservation de l’énergie 41
n'est pas facilement applicable. Par exemple, en physique et en chimie modernes, on peut
mesurer les énergies des atomes et des molécules mais non les forces mises en jeu.
8.5. La pesanteur
L’énergie mécanique :
mgymvEm 2
2
1
Le principe de conservation permet de poser l’équation :
ffii mgymvmgymv  22 2
1
2
1
où i représente la position initiale et f la position finale.
Exemple : un pendule de masse 𝑚= 0,5 kg, dont la longueur du fil est de 3 m est lâché
lorsque la suspente forme un angle avec la verticale de 10°. Calculer sa vitesse maximale (au
bas de la trajectoire)
8.6. Le ressort
L’énergie mécanique :
22 2
1
2
1kxmvEm
Le principe de conservation permet de poser l’équation :
2222 2
1
2
1
2
1
2
1ffii kxmvkxmv 
Exemples :
1. On comprime un ressort de constante
k=50 N/m, de 3 cm. On place un chariot
de m=120 g au bout du ressort. En lâchant le tout, le chariot est catapulté. Calculer la
vitesse atteinte par le chariot.
2. On pose un objet de 𝑚= 0,1 kg sur un ressort de rigidité 𝑘=12 Nm
. On presse sur
le ressort sur une distance de 5 cm supplémentaire et on lâche le tout. Le bloc est
catapulté. Calculer la hauteur maximale attente par ce bloc.
Pour appliquer le principe de conservation de l’énergie mécanique, il faut :
 s’assurer qu’aucun travail ne sera effectué par des forces non conservatives
 plusieurs particules peuvent contribuer à l’énergie cinétique, il peut y avoir plusieurs type
d’énergie potentielle (on somme les énergies)
 il faut préciser la position de référence où
0
p
E
 lorsque plusieurs corps sont reliés par une corde, la corde transfert l’énergie mécanique
d’un corps à l’autre. Il faut appliquer le principe de conservation à l’ensemble du système
et non à chaque corps séparément.

Chapitre 8 OSPH La conservation de l’énergie 42
8.7. L’énergie mécanique et les forces non conservatives
Si des forces non conservatives entrent en jeu, on peut utiliser le théorème de variation de
l’énergie cinétique :
ccncnet EWWW  .
et comme
cp WE 
, on peut écrire :
ccnp EWE  .
.
(1) (2) (2) (1)
p p n c c c
E E W E E   
d’où on tire :
pccn EEW  .
et le théorème de variation de l’énergie mécanique :
mcn EW  .
Exemple :
On comprime un ressort de constante
k=500 N/m, de 3 cm. On place un bloc de
120 g au bout du ressort. En lâchant le tout, le
bloc est catapulté. Le coefficient de
frottement entre le bloc et le sol est
0,7
c
.
Calculer la distance parcourue par le bloc.
8.8. Energie potentielle de gravitation
L’expression
p
E mgy
n’est valable qu’au voisinage de la Terre, lorsque la force de
gravitation peut-être supposée constante. Si la particule considérée s’éloigne notablement de
la surface de la Terre, ou si l’on suppose un mouvement dans le système Solaire, on utilisera
l’expression de l’énergie potentielle de gravitation :
r
Mm
GEp
Cette définition suppose que le zéro de l’énergie potentielle est choisi à r=. Le signe moins
signifie qu’un agent extérieur doit effectuer un travail sur les particules pour augmenter la
distance qui les sépare. Cette équation est valable non seulement pour des particules
ponctuelles, mais aussi pour des sphères de masse uniformément répartie. Dans ce cas, r
désigne la distance séparant les centres des sphères.
L’énergie mécanique
En supposant que l’une des masses est beaucoup plus grande que l’autre, (
mM 
)
r
Mm
GmvEm 2
2
1
Exemple
Calculer l’énergie mécanique de la navette spatiale (m=104 tonnes) qui gravite autour de la
Terre à une altitude de 300 km.