Théorème de finitude pour un morphisme propre

XIV. éorème de finitude pour un morphisme propre ; dimension cohomologique des
schémas algébriques affines
M. Artin
version: 9f5025b 2017-03-15 15:35:39 +0100
Table des matières
1. éorème de finitude pour un morphisme propre................... 1
2. Une variante de la dimension...................................... 7
3. Dimension cohomologique des schémas algébriques affines.......... 9
4. Démonstration du théorème 3.1.................................... 11
Cet exposé contient deux théorèmes importants qui se démontrent en utilisant le théo- 145
rème de changement de base pour un morphisme propre.
1. éorème de finitude pour un morphisme propre
Théorème 1.1. — Soit   un morphisme propre et de présentation finie. Soit un
anneau noethérien à gauche qui est une -algèbre pour convenable. Soit un faisceau
d’ensembles (resp. de groupes, resp. de -modules) constructible sur . Alors le faisceau ∗
(resp. 1∗, resp. 𝑞∗pour chaque ) est également constructible.
En particulier, on a :
Corollaire 1.2. — Soit un schéma propre sur le spectre d’un corps séparablement clos , et
soit un faisceau abélien de torsion constructible sur . Alors les groupes 𝑞sont finis
pour chaque .
Remarque 1.3. — Le théorème est faux pour les faisceaux abéliens si l’on omet la condition
que soit propre, comme on voit en prenant  ,, 1
𝑘, l’espace affine,
et l’inclusion de dans 1
𝑘, ou le morphisme structural   . Cependant, on
conjecture(1) qu’il est vrai si est premier aux caractéristiques résiduelles de et est 146
« excellent » EGA IV 7.8. On peut le démontrer, lorsqu’on dispose du théorème de résolution
des singularités (par exemple en caractéristique nulle) pour un schéma excellent d’égales
caractéristiques (XIX 5.1).
(1)N.D.E. : Ofer Gabber a présenté la généralisation suivante de ⁇lors des conférences en l’honneur de Luc Illusie
et de Pierre Deligne en 2005. Soit 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌 un morphisme de type fini de schémas noethériens quasi-excellents
(EGA IV 7.8), et soit 𝐹un faisceau constructible de 𝐙/𝑛-modules sur 𝑋ét avec 𝑛inversible sur 𝑌. Alors, les faisceaux
𝑅𝑖𝑓∗𝐹sur 𝑌ét sont constructibles et nuls sauf pour un nombre fini de 𝑖. Il y a des assertions analogues pour faisceaux
constructibles d’ensembles resp. de groupes d’ordre inversible sur 𝑌.
Avant le résultat de Gabber, le théorème ⁇était connu dans le cas suivant. Soit 𝑆un schéma régulier de dimension
≤ 1 et soit 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌 un morphisme de 𝑆-schémas de type fini et 𝐹un faisceau de 𝐴-modules à gauche sur 𝑋ét.
Alors, les faisceaux 𝑅𝑖𝑓∗𝐹sont constructibles (SGA 4 1/2 Finitude 1.1).
1

2
Démonstration de 1.1. L’assertion est locale sur et on peut donc prendre affine. Alors
est limite des spectres d’anneaux de type fini sur , et les données du théorème sont
telles qu’on peut les obtenir, par changement de base   0, d’un morphisme propre
000avec 0de type fini sur et un faisceau constructible 0sur 0, cf. EGA IV
8 et IX 2.7.4. Or, puisque l’image inverse d’un faisceau constructible est encore constructible
(IX 2.4 (iii)), on est ramené, en appliquant XII 5.1 au morphisme de changement de base
0, à démontrer la constructibilité de 0,∗0(resp. de 𝑞0,∗0), d’où le
Lemme 1.4. — Il suffit de vérifier 1.1 avec de type fini sur .
Lemme 1.5. — L’assertion ensembliste de 1.1 est vraie, c’est-à-dire ∗est un faisceau
constructible d’ensembles si l’est.
Démonstration. On peut supposer noethérien (1.4). Soit  𝑖𝑖,∗𝑖une injec-
tion avec 𝑖𝑖fini et 𝑖constant et constructible sur 𝑖(IX 2.14). On a ∗ ∗
et par suite (IX 2.9 (ii)) il suffit de traiter le cas  . Or ∗𝑖𝑖∗𝑖, et un produit
fini de faisceaux constructibles sur est constructible (IX 2.6 (ibis)). En remplaçant par
𝑖, on est ramené au cas où  𝑋est un faisceau constant constructible, à valeur . Or
en vertu de XII 5.1 (i), la fibre ∗𝑠est isomorphe à 𝐶(𝑠), où   0𝑠, donc elle147
est finie. D’après IX 2.13 (iii) il suffit de démontrer que la fonction « nombre d’éléments de
la fibre de ∗» est constructible sur . Or cee fonction est 𝐶, où est la fonc-
tion « nombre de composantes connexes dans la fibre géométrique », et est constructible
(EGA IV 9.7.9), d’où le résultat.
Lemme 1.6. — Soit un schéma noethérien,   propre, un faisceau de groupes
(resp. de -modules) constructible sur ,un entier égal à ou (resp. un entier ). Soient
𝑖    des sous-schémas de tels que   𝑖𝑖et soient 𝑖,𝑖 𝑖 𝑖les
« restrictions » des données aux 𝑖. Alors si pour tout ,𝑞𝑖,∗𝑖est constructible, il en est de
même de 𝑞∗.
Démonstration. La restriction de 𝑞∗à𝑖est isomorphe à 𝑞𝑖,∗𝑖d’après XII 5.1, et le
lemme suit de IX 2.8.
On procède maintenant par des raisonnements analogues à ceux de XII 8 :
Lemme 1.7. — Soient noethérien,
𝑓
𝜋
oo
𝑓
un diagramme commutatif de morphismes propres, et   un ouvert tel que l’ouvert
 𝑋s’envoie isomorphiquement sur . Soit   le schéma fermé réduit et
soient 0    et les morphismes canoniques. Supposons le théorème 1.1
vrai(2) pour ,0et . Alors il est également vrai pour .
(2)N.D.E. : L’hypothèse sur 𝑅𝑞𝜋∗ne figure que pour 𝑞 = 0 dans la démonstration. Dans ce cas, on sait déjà la
constructibilité par (1.5).

3
Démonstration. Traitons d’abord le cas d’un faisceau de -modules sur . On a la suite 148
exacte !∗  ∗∗ 
et compte tenu de la suite exacte de cohomologie correspondante pour les 𝑞∗, et de IX
2.6, on voit qu’il suffit de vérifier la constructibilité des 𝑞∗pour les membres extrêmes
(notons que ∗∗est constructible d’après IX 2.4 (iii) et IX 2.14 (i), donc !∗l’est aussi
(IX 2.6). Puisque est une immersion fermée,
𝑞∗∗∗𝑞0,∗∗
(VIII 5.6), d’où la constructibilité dans ce cas d’après l’hypothèse sur 0. De plus, désignant
par  le morphisme d’inclusion et  ∗, on a
()!∗ ∗!∗
comme on vérifie en définissant d’abord une flèche , et prouvant qu’elle est inversible fibre
par fibre en utilisant XII 5.1. En chaque point géométrique de , la restriction de !∗à
la fibre 𝑦de sur est nulle, et par suite XII 5.1 la fibre de 𝑞∗!∗en est nulle
pour chaque . Puisque d’autre part induit un isomorphisme au-dessus de , on
a𝑞∗!∗si . De la suite spectrale de Leray
𝑝,𝑞
2𝑝∗𝑞∗!∗𝑛∗!∗
et on déduit des isomorphismes
𝑞∗!∗𝑞∗!∗
pour . Puisque !∗est constructible (même raisonnement que pour !∗) le membre
de gauche l’est aussi, d’où la constructibilité de 𝑞∗!∗et donc de 𝑞∗.149
Supposons maintenant que soit un faisceau de groupes constructible sur . Rempla-
çons par . Il suffit ainsi de démontrer que si 
est surjectif et si 1.1 est vrai pour et pour , il l’est également pour . Soit d’abord un
faisceau de groupes constructible sur . Alors ∗est constructible sur (1.5) et on a une
injection 1∗∗ 1∗. Le membre de droite est constructible par hypothèse, et
par suite le membre de gauche l’est aussi (IX 2.9 (ii)). Or, puisque est surjectif, on a une
injection  ∗∗ . Le faisceau  ∗est constructible, donc et 1∗sont
aussi constructibles, comme on a vu ci-dessus. On est ainsi ramené au lemme suivant :
Lemme 1.8. — Soient noethérien,      un morphisme propre, et 𝑢 une in-
jection de faisceaux de groupes constructibles sur . Si 1∗est constructible, 1∗l’est
aussi.
Démonstration. Soit    qui est un faisceau constructible d’espaces homogènes sous
(appliquer IX 2.6). Considérons la suite exacte
()∗𝛿 1∗𝑢1 1∗
Pour démontrer que 1∗est constructible, il suffit par récurrence noethérienne et 1.6 de
démontrer que si , il existe un ouvert non-vide de sur lequel 1∗soit construc-
tible. On peut donc supposer 1∗localement constant, donc puisque la constructibilité
est une notion locale pour la topologie étale, on peut supposer que est irréductible et

4
1∗est constant (et constructible), à valeur   1𝑛. Soit 𝑖  le
sous-faisceau de 1∗image inverse de la section 𝑖par 1. On a, puisque dans un topos150
« les sommes sont universelles », 1∗ 𝑖𝑖, et il suffit donc de démontrer que chaque
𝑖est constructible sur un ′convenable étale sur et non-vide.
Rappelons que 1∗est le faisceau associé au préfaisceau 1, où 1′ 
1𝑆′. Par suite on peut supposer (en remplaçant par un ′non-vide étale sur
) que 𝑖est le faisceau « vide » (donc constructible), ou qu’il existe un élément  1
qui induit une section de 𝑖. Dans ce dernier cas, soit
∗𝛼𝛿 1∗𝛼1∗𝛼
la suite exacte déduite de « en tordant à l’aide de ». On a
1∗𝛼1∗  1∗𝛼1∗
et la section de 1∗𝛼correspondant à est la section unité. Donc le sous-faisceau 𝛼
𝑖de
1∗𝛼correspondant à 𝑖est l’image inverse de la section unité de 1∗𝛼, i.e. , 𝛼
𝑖est
l’image de ∗𝛼par . Puisque ∗est constructible (1.5) il en est de même de 𝛼
𝑖, donc de
𝑖(appliquer IX 2.6), d’où le lemme.
Lemme 1.9. — Soit noethérien et
𝑓
𝜋
oo
𝑓
un diagramme commutatif de morphismes propres. Si le théorème 1.1 est vrai pour et , il151
l’est également pour .
Démonstration. Dans le cas d’un faisceau de -modules constructible, on utilise la suite
spectrale de Leray 𝑝,𝑞
2𝑝∗𝑞∗ 𝑛∗
Par hypothèse, on trouve que 𝑝,𝑞
2est constructible pour chaque ,, et par suite l’aboutis-
sement l’est aussi, comme il résulte alors de IX 2.6.
Soit un faisceau de groupes constructible. On la suite exacte (XII 3.2)
()1∗∗ 1∗ ∗1∗
où les membres extrêmes sont constructibles d’après l’hypothèse et 1.5. On procède comme
dans la démonstration de 1.8 : Il suffit par récurrence noethérienne et 1.6 de supposer ,
et de démontrer la constructibilité sur un ouvert non-vide convenable. On peut donc suppo-
ser ∗1∗ localement constant, et (par localisation étale) même constant et construc-
tible (IX 2.4 (i)) à valeur 1𝑛. Soit 𝑖le sous-faisceau de 1∗image inverse
de 𝑖, de sorte que 1∗ 𝑖𝑖. Il suffit de démontrer que chacun des faisceaux 𝑖
induit un faisceau constructible sur un ′étale connexe et non-vide convenable. Si 𝑖

5
n’est pas le « faisceau vide », on se ramène au cas où il existe un élément   1
qui induit une section de 𝑖. Soit
1∗∗𝛼1∗𝛼∗1∗𝛼
la suite exacte déduite de en tordant à l’aide de . La section de 1∗𝛼correspon-
dant à est la section unité, et par suite le sous-faisceau 𝛼
𝑖de 1∗𝛼correspondant à
𝑖est l’image inverse de la section unité de ∗1∗𝛼, d’où 𝛼
𝑖1∗∗𝛼, qui est 152
bien un faisceau constructible, C.Q.F.D.
Lemme 1.10. — Il suffit de vérifier 1.1 dans le cas où est de type fini sur , et est
projectif et de dimension relative .
Démonstration. Supposons d’abord que soit projectif et procédons par récurrence sur la
dimension relative de , qu’on peut supposer finie, quie à remplacer par un ouvert affine.
Si est de dimension relative  , avec , on peut trouver, localement sur , un
morphisme fini     𝑛
𝑆, et on se ramène par 1.9 et IX 2.14 (i) au cas où est le
morphisme structural de 𝑛
𝑆. Considérons le diagramme commutatif de morphismes
𝜋
xx
𝑎
&&
𝑓
𝑛
𝑆
𝑓
&&
1
𝑆
𝑏
xx
déjà envisagé dans la démonstration de XII 8.3, où est déduit de 𝑛
𝑆en faisant éclater le
sous-schéma fermé  𝑛−2
𝑆. La dimension relative de est , celle de est , et
par suite le théorème est vrai pour et par l’hypothèse de récurrence, donc pour par
(1.9). De plus, la dimension de est , celle de 0 est . Il résulte donc de
1.7 que 1.1 est vrai pour , donc pour tout morphisme projectif. Soit maintenant propre
arbitraire, et procédons par récurrence noethérienne sur : on peut supposer le théorème
vrai pour chaque sous-schéma fermé distinct de et que . Soit
𝑓
𝜋
oo
𝑓
un diagramme du type donné par le lemme de Chow XII 7.1. En appliquant 1.7 à ce dia- 153
gramme, on déduit 1.1 pour , d’où le lemme.