Sur la Formule de Picard-Lefschetz

Advanced Studies in Pure Mathematics 36, 2002
Algebraic Geometry 2000, Azumino
pp.249-268
Sur la Formule de Picard-Lefschetz
Luc lllusie
Introduction. La formule de Picard-Lefschetz
ISGA 7 XVj exprime
la variation locale pour une singularit6 quadratique ordinaire. En coho-
mologie 6tale, sa d6monstration, dans le cas de dimension relative im-
paire, requiert un argument transcendant (loc. cit. 3.3). Nous donnons
ici, dans ce m6me cas, une d6monstration purement alg6brique. L'id6e
est de d6duire le calcul de Ia variation de la forme explicite donn6e
par
Rapoport-Zink [RZ] pour le logarithme de la monodromie d'une famille
semi-stable,
de r6duction i deux branches. On se rambne A, ce cas par
ramification et 6clatement. La m6thode, inspir6e d'un calcul de Steen-
brink dans [S],
s'applique plus g6n6ralement
], certaines singularit6s ho-
mogdnes.
Dans toute la suite, on fixe un trait strictement local S : Spec A.
On note s : Spec k Ie point ferm6,
p I'exposant caracttiristique du corps
k, que I'on suppose alg6briquement clos,
4 : Spec K le point g6n6rique,
u la valuation de A, m I'id6al maximal de A. On choisit une cl6ture
alg6brique R de K, on note 7le nor-*lis6 de A dans K, S: Spec 7,
4 : Spec K le point g6n6rique de S, 5, identifi6 naturellement i s,
le point ferm6, 1 : Gal(R lK) le groupe d'inertie, P c I le groupe
d'inertie sauvage,
pro-pSylow de 1. On fixe un nombre premier t f p,
on note ts : I -- Z^l)(E) le caractdre mod6r6 /-adique, donn6 par
tg(o): (o(rt/t^)ltt/t")- pour
u(t)
: 1. On pose
A :ZllZ (" 2 1).
1. R6duction semi-stable h deux branches
1.1-.
Soit f : X --,9 un morphisme semi-stable (i.e. tel que locale-
ment
pour
la topologie
6tale, X soit lisse sur
S[r1,
... ,r,]l(q.'.r,*t),
of u(t) : 1). Le sch6ma X est donc r6gulier, la fibre g6n6rique
X, est
Received
April 9, 2001.
2000 Mathematics Subject Classificat'ion: 14805, 14D05, 14F20. Key-
words: Picard-Lefschetz, 6tale cohomology, vanishing cycles, monodromy,
variation, semistable reduction, weight filtration, monodromy filtration, or-
dinary quadratic singularity, homogeneous singularity, perverse
sheaf.

L. Illusie
lisse, et Ia fibre sp6ciale D : X" est un cliviseur t\ croisernenrs
nor-
rnattx clans
X. On suppose
que D: DoI D1, oir D6 et D1 sont lisses
srrr s et se coupent transversaleruent
suivant C : Do O Dr. On note
n la dirnension relative cle X sur ,S, cpr'on snppose constante ; clouc
rz
: ditn Do : dim D1, et dirn
C : n - l.
On s'int6resse au conrplexe
cles cycles
proches
ISGA 7 XIII 2]
(1.1.1) \!.f :: R{/r(A) € D+ (D x" ?,
A) ,
d6fini
par Vf : i*Rj*A, oit i : D ---
X : X x5 S et j, Xr- Xsopt
les immersions
uaturelles, et D(D x "'ry,
1\)
: D(D, LVD est la cat6gorie
d6riv6e des Af/]-modules continrs sur D. La structure cle iliy est bien
connue
(lRZl, [I1]). Rappelons les
points principaux.
(a) l opbre
sur V; i travers
17, et trivialement sur.ffq(!I/y) pour
tout g ;
(b)
On a HqVy:0 pour q>1,IIoVf :i* j*1: Ao et
HtV
t : i*(RL
j*tt)lLo(-t): ((Ap"
o Ap,)/no)(-r)
: ((Ac @ Lc)lLc diagonal)(-1)
(isornorphe
n Ac(-1) par (a,
b) ,-- a - b), oir i : X" - X et j : X, ---+
f
sont les inclusions,
et I'identification cle i"Rr j*l\ d (Ao" OAp,)(-1) est
donn6e
par les classes
es et el de Ds et D1 au sens de ISGA 4 lf2 CycIe
2.r.21
;
(c) Si a : D----, s cl6signe
la projection
et D(-) : RHom(-,o!A")
le foncteur dualisant, I'accouplement
canonique
vy 6 vy1r,1
[2n]
- at tt
"
est une dtralit6
parfaite,
identifiant {// n D({i/)(-n)[-Zn] UI, 4.2).
(d) On dispose, de plus, sur W;, d'un op4rateur de monodrom,ie
N : Vy * tFr(-l) et d'une filtratto'n
par le poids (W,), cl6finis cle Ia
fason
suivante
([RZ], [I1]).
(i) Un conrplexe
Ii de lt[Zs(1)]-rnodules (continus)
sur D, born6
et i clegr6s
) 0, repr6sentarrt iUy 6tant choisi, on construit, par Ie
proc6d6
de Rapoport-Zink [RZ], rappel6 en [I1, 3.6], un bicomplexe A"
de ltlV"s(l)l-modules
sur D, born6,
concentr6
dans le premier quaclrant,
muni d'une augmentation 1( ---'
A induisant des quasi-isornorphisntes
sur les colonnes de cohomologie et donc un isomorphisme K 3 sA"
dans
D+(D, LIZ^I))); le bicomplexe
,4 est associ6 (avec
diff6rentielles
dr, (-I)id2) au bicornplexe
naif clont la q-idme
ligne Ia : (A','t,d)
est (r>n11(s(K {1 K)G+ r))[q+ 1], oir T est un g6n6rateur
de

Sttr la. Formntle de Pi,carcJ-Lefschetz
ZdI) ; la cliff6rentielle
verticale d2 et I'angmentation sont d6duites de
I'application tr r-l rT cle K clals 1((1) ; la q-i6me ligne repr6sente
(r2r,,fi"Rj.A(q + l))[q + 1] (et est donc
acyclique
pour q ) 1), et la
diff6rentielle
cl2
(resp. I'angmentation K -- Lo) induit sur les faisceaux
de cohomologie I'application
a,-- 0a,,
oir 0 e H'(n,A)(l) est la classe
du torseur de Kummer, i.e. I'oppos6e
de Ia classe
de s clans S ISGA 4
ll2 Cycle
2.1.3]
(en particulier, I e HoK : HoVf : A est envoy6
sur
-eo - e1
€ HoLo : R1:.A(1),
et Ia
classe
de es
€ HrK(1): fllrlr(l)
sur
(-es - "r) A €o: €on e1
€ HtLo(l) : R2
j*ly(2) : L2(nt
j.A(1))
(avec
les notations
de (b)).
(ii) On note W,.A' Ie sous-conrplexe
de A" obtenu en appli-
quant 73,.+q i" Ia q-ibme
ligne cle
A", et W"(sA ) : .s(W,,A
). Les
sous-cornplexes
W.,sA' de sA" forment une filtration finie croissante,
d6finissant
un objet (V f , (VV,)) de la cat6gorie
d6riv6e filtr6e
D+ F(D, LIZ((I))) ayant Vy pour objet non filtr6 sous-jacent.
La filtra-
tion (W,) s'appelle
filtration par le poids. Le gradu6 associ6 est clonn6
(avec des isomorphismes
d6duits de (i)) par
grYvf:oPottrlil >-1 ;
srYrvf : R2i.lt(2)[-1] : Ac[-l] ;
grYv/ : Rrt.A(1) - lvon
o Ao, i
srYvf : R2j.A(1)[-1]
: Ac(-1)[*1] ,
oi Rt7.A(t) est identifi6
A.
Apo O Ap, par e0
* e1
et R2
j.L(2) A. Ac, par
es Ae1,
avec les
notations
de (i).
(iii) On note z : A' .-- A'-r,'+r(-1) I'endomorphisme
de bi-
complexes
donn6
par (-1)i+i+1 fo's la projection canonique
en bidegr6
(i,j). (Gabber fait observer
que si I'on identifie par la multiplication
par (-1)';r en bidegr6 (i, j) le bicomplexe A" au bicomplexe d6cluit de
I'ordre (dr,dt) (au Iieu de (d1,d2))
sur les diff6rentielles
naiVes, le signe
dans la d6finition de ru disparait.) L'hornomorphisme
N: \ly ---
W/(-1)
de D(D,LlZ^l)D d6cluit
de ru
par I'isomorphisme
\[r; 3 sA" s'appelle
op4,rateur
de monodrom,ie. Il est sous-jacent
i un homomorphisrne de
DF envoyant lV, clanrs W,.-2 et induisant un isomorphisure
251
(1.1.2) l/ : grfritry
3 gr{.,fry(-t) ,

252 L. Illusie
qui, par les isomorphismes de (ii), correspond
d,l'identit6
(z est I'identit6
en bidegr6
(1,0)). On a N2 : 0, et, pour o € 1,
(1.1.3) o - I : tp(o)N : ily ---+
tUy .
(iv) Notons Per(D) la cat6gorie des A-faisceaux pervers sur D,
pour la perversit6
auto-duale
[BBD]. On sait que \Fy[n]
e Per(D) (vari-
ante de [I1 4.5] pour Zf (.'Z). D'aprds (1.1.3),
I'op6rateur de carr6 nul
l/ : \Ly -* \P/(-1) est d6termin6
par I'action de f (et y commute), et il
r6sulte de (1.1.2)
que la filtration par le poids de \[r1
(comme
objet de
DF(D,A)) d6finit la fi,ltrati,on de monodrornie
de lPy[n] (cornme objet
de la cat6gorie ab6lienne Per(D)).
(e) L'isomorphisme de dualit6 Vr(")["] : D(Vr[n]) de (c) est
compatible A.l'action de 1, donc ). celle de N, et par suite induit des iso-
morphismes WiV
y@)l"l 3 D(V 1[n]lw-i-rV f["]) : (W-r-rV t[r])t,
gr{v y@1[n)
3 D(grYivr["]) dans Per(D). Pour i: r, ce dernier iso-
morphisme est compatible aux identifications de (d) (ii) et A, Ia dualit6
sur C.
1.2. Notons c: C -. D, ui : D.i --- D, u : D-C -* D les immersions
naturelles. Consid6rons la suite exacte canonioue
(1.2.1) 0 * tu!tu*\!
f - V f ---+
c*c*V/ + 0 .
Soit o € /. L'endomorphisme o - 1 de V1 induit un endomorphisme du
triangle distingu6 d6fini
par (1.2.1).
D'aprds 1.1
(a) et (b), ufa*Vy:
url\o-c et (a - l)lD - C : O. Par suite, o - 1 se factorise i travers
c*c"V
1 en un homomorphisme
(1.2.2) Varf (o) : c*c*V
y -- \[J i
cette factorisation est unique car
Hom-l(ru,u"Vy,Vf) : Hom-l (tu*V
y,.*Vf ) : Hom-l(/\o-c,tvo-c):
0. Nous appellerons uariation I'homomorphisme
(1.2.3) Var(o) : c*V y ---'
"!i[r,r
d6duit de (1.2.2) par adjonction. Consid6rons d'autre part le triangle
distingu6 canonique
(r.2.4) c*c'V y ---+
![r.f --. Rw*u*V f - .
Proposition 1.3. Le morphisme canonique Vy -- gr{Vy Qesp.
SrylV.r * V.r) (d6,duit
de 1.1
(d) (ii)) se
factorise
de man'id,re unique
(uia

iur la Formule
d,e Picard-Lefschetz 253
(1.2.1)
et
(L.2.a))
pat'un
rnorphisme
c*c*V
y -- gY V
I Qesp.
grYlV
f -+
c*ct'Q
y) et le carr6
(1.3.1) c*c*Vy
* SrYVr
f
"t"l'
c*ctV
s <- grYtw t
est commutattf.
Lapremidre
assertion r6sulte de 1.1
(d) (ii),
et laseconde de
(1.1.3).
1.4. Pour o € I et i :0,1, on d6finit de manibre analogue
(1.4.1) VarI(o) : u;auf,V
y -- V/ ,
d6duit de I'endomorphisme o - 1 de Vp et
(r.4.2) Var(o) : uiV 1 -, u1V
I
d6duit de (1.4.1) par dualit6. On a des carr6s commutatifs
(1.4.3) I
1l var(o)
| var(a) |
VYY
V.r-ui*utuWs c*ctVy,
or) les fldches horizontales sont les flbches canoniques.
Proposition 1.5. Notons ui: Di - C -+ Di I'inclusion.
(a) Le morphisme canon'ique
ui'Q
I --. Ru;*l\, d6.fi,ni
par la
fl,d,che
d'adjoncti,on uiV y ---+ Ru;*uluiV 7 et I'isornorphisme uiuiV y =
LDo-c, est un i,somorphisme,
qui s'insd.re
dans un isomorphisme de tri-
angles distingu4s
uiWsV y ---------> uiV y --.-------------
erY V t------------>
u..(,)l
-l
-,1, -l
Y-l
-,'
/\p '---------------,
Ru,i*h -----> Ac(-1)[-1] -------->
'
od la fl,d.che
uerticale de droite est
(-t);+t celle donnde par l.L (d) (ii)
et le triangle inf4,rieur par I'isornorphisme
canonique Rlui*l\ = Ac(-1)