Sur la Formule de Picard-Lefschetz

Advanced Studies in Pure Mathematics 36, 2002
Algebraic Geometry 2000, Azumino
pp.249-268
Sur la Formule de Picard-Lefschetz
Luc lllusie
La formule de Picard-LefschetzISGA 7 XVj exprime
Introduction.
la variation locale pour une singularit6 quadratique ordinaire. En cohomologie 6tale, sa d6monstration, dans le cas de dimension relative impaire, requiert un argument transcendant (loc. cit. 3.3). Nous donnons
ici, dans ce m6me cas, une d6monstration purement alg6brique. L'id6e
est de d6duire le calcul de Ia variation de la forme explicite donn6e par
Rapoport-Zink [RZ] pour le logarithme de la monodromie d'une famille
semi-stable, de r6duction i deux branches. On se rambne A,ce cas par
ramification et 6clatement. La m6thode, inspir6e d'un calcul de Steenbrink dans [S], s'applique plus g6n6ralement], certaines singularit6s homogdnes.
Dans toute la suite, on fixe un trait strictement local S : Spec A.
On note s : Spec k Ie point ferm6, p I'exposant caracttiristique du corps
k, que I'on supposealg6briquement clos, 4 : Spec K le point g6n6rique,
u la valuation de A, m I'id6al maximal de A. On choisit une cl6ture
alg6briqueR de K, on note 7le nor-*lis6 de A dans K, S: Spec 7,
4 : Spec K le point g6n6rique de S, 5, identifi6 naturellement i s,
le point ferm6, 1 : Gal(R lK) le groupe d'inertie, P c I le groupe
d'inertie sauvage,pro-pSylow de 1. On fixe un nombre premier t f p,
on note ts : I -- Z^l)(E) le caractdre mod6r6 /-adique, donn6 par
(" 2 1).
t g ( o ) : ( o ( r t / t ^ ) l t t / t " ) - p o u r u ( t ) : 1 . O n p o s eA : Z l l Z
1. R6duction
semi-stable h deux branches
1.1-. Soit f : X --,9 un morphisme semi-stable(i.e. tel que localem e n t p o u r l a t o p o l o g i e6 t a l e ,X s o i t l i s s es u r S [ r 1 , . . . , r , ] l ( q . ' . r , * t ) ,
of u(t) : 1). Le sch6ma X est donc r6gulier, la fibre g6n6rique X, est
ReceivedApril 9, 2001.
2000 Mathematics Subject Classificat'ion: 14805, 14D05, 14F20. Keywords: Picard-Lefschetz, 6tale cohomology, vanishing cycles, monodromy,
variation, semistable reduction, weight filtration, monodromy filtration, ordinary quadratic singularity, homogeneoussingularity, perverse sheaf.
L. Illusie
lisse, et Ia fibre sp6ciale D : X" est un cliviseur t\ croisernenrs norrnattx clansX. On supposeque D: DoI D1, oir D6 et D1 sont lisses
srrr s et se coupent transversaleruentsuivant C : Do O Dr. On note
n la dirnension relative cle X sur ,S, cpr'on snppose constante ; clouc
rz : ditn Do : dim D1, et dirn C : n - l.
On s'int6resseau conrplexeclescyclesproches ISGA 7 XIII 2]
(1.1.1)
\!.f :: R{/r(A) € D+ (D x" ?, A) ,
d 6 f i n ip a r V f : i * R j * A , o i t i : D - - - X : X x 5 S e t j , X r Xsopt
les immersionsuaturelles,et D(D x "'ry,1\) : D(D, LVD est la cat6gorie
d6riv6e des Af/]-modules continrs sur D. La structure cle iliy est bien
connue (lRZl, [I1]). Rappelonsles points principaux.
(a) l opbre sur V; i travers 17,et trivialement sur.ffq(!I/y) pour
tout g ;
( b ) O n a H q V y : 0 p o u rq > 1 , I I o V f : i * j * 1 : A o e t
H t V t : i * ( R Lj * t t ) l L o ( - t ) :
: ((Ac @ Lc)lLc
((Ap"o Ap,)/no)(-r)
diagonal)(-1)
(isornorphen Ac(-1) par (a, b) ,-- a - b), oir i : X" - X et j : X, ---+
f
sont les inclusions,et I'identification clei"Rr j*l\ d (Ao" OAp,)(-1) est
donn6e par les classeses et el de Ds et D1 au sens de ISGA 4 lf2 CycIe
2 . r . 2;1
(c) Si a : D----,s cl6signe
la projectionet D(-) : RHom(-,o!A")
le foncteur dualisant, I'accouplement canonique
vy 6 vy1r,1
[2n]- attt"
est une dtralit6 parfaite, identifiant {// n D({i/)(-n)[-Zn]
UI, 4.2).
(d) On dispose, de plus, sur W;, d'un op4rateur de monodrom,ie
N : Vy * tFr(-l) et d'une filtratto'n par le poids (W,), cl6finiscle Ia
fason suivante ([RZ], [I1]).
(i) Un conrplexeIi de lt[Zs(1)]-rnodules(continus)sur D, born6
et i clegr6s ) 0, repr6sentarrt iUy 6tant choisi, on construit, par Ie
proc6d6 de Rapoport-Zink [RZ], rappel6 en [I1, 3.6], un bicomplexe A"
de ltlV"s(l)l-modulessur D, born6, concentr6dans le premier quaclrant,
muni d'une augmentation 1( ---' A induisant des quasi-isornorphisntes
sur les colonnes de cohomologie et donc un isomorphisme K 3 sA"
dans D+(D, LIZ^I))); le bicomplexe,4 est associ6(avecdiff6rentielles
dr, (-I)id2) au bicornplexenaif clont la q-idme ligne Ia : (A','t,d)
est (r>n11(s(K {1
K)G+ r))[q+ 1], oir T est un g6n6rateurde
Sttr la. Formntle de Pi,carcJ-Lefschetz
251
ZdI) ; la cliff6rentielleverticale d2 et I'angmentation sont d6duites de
I'application tr r-l rT cle K clals 1((1) ; la q-i6me ligne repr6sente
(r2r,,fi"Rj.A(q + l))[q + 1] (et est donc acycliquepour q ) 1), et la
diff6rentielle cl2 (resp. I'angmentation K -- Lo) induit sur les faisceaux
de cohomologieI'application a,-- 0a,,oir 0 e H'(n,A)(l) est la classe
du torseur de Kummer, i.e. I'oppos6ede Ia classede s clans S ISGA 4
ll2 Cycle 2.1.3] (en particulier, I e HoK : HoVf : A est envoy6sur
- e o - e 1 € H o L o : R 1 : . A ( 1 ) , e t I a c l a s s ed e e s € H r K ( 1 ) :
fllrlr(l)
:
j
*
l
y
(
2
)
:
(
e
s
"
r
)
A
€
o
:
€on e1 € HtLo(l)
sur
R2
L 2 ( n tj . A ( 1 ) )
(avecles notations de (b)).
(ii) On note W,.A' Ie sous-conrplexede A" obtenu en appliquant 73,.+q i" Ia q-ibme ligne cle A", et W"(sA ) : .s(W,,A ). Les
sous-cornplexesW.,sA' de sA" forment une filtration finie croissante,
d6finissant un objet (V f , (VV,)) de la cat6gorie d6riv6e filtr6e
D+ F(D, LIZ((I))) ayant Vy pour objet non filtr6 sous-jacent.La filtration (W,) s'appelle filtration par le poids. Le gradu6 associ6est clonn6
(avec des isomorphismesd6duits de (i)) par
grYvf:oPottrlil >-1 ;
srYrvf : R2i.lt(2)[-1] : Ac[-l]
grYv/ : Rrt.A(1) - lvono Ao,
;
i
:
:
R2j.A(1)[-1] Ac(-1)[*1] ,
srYvf
oi Rt7.A(t) est identifi6 A.Apo O Ap, par e0* e1 et R2j.L(2) A.Ac, par
es Ae1, avec les notations de (i).
(iii) On note z : A' .-- A'-r,'+r(-1) I'endomorphismede bicomplexesdonn6 par (-1)i+i+1 fo's la projection canoniqueen bidegr6
(i,j). (Gabber fait observer que si I'on identifie par la multiplication
par (-1)';r en bidegr6 (i, j) le bicomplexe A" au bicomplexe d6cluit de
I'ordre (dr,dt) (au Iieu de (d1,d2)) sur les diff6rentiellesnaiVes,le signe
dans la d6finition de rudisparait.) L'hornomorphisme
N: \ly --- W/(-1)
de D(D,LlZ^l)D
d6cluit de ru par I'isomorphisme\[r; 3 sA" s'appelle
op4,rateurde monodrom,ie. Il est sous-jacent i un homomorphisrne de
DF envoyant lV, clanrsW,.-2 et induisant un isomorphisure
(1.1.2)
l/ : grfritry 3 gr{.,fry(-t) ,
252
L. Illusie
qui, par les isomorphismesde (ii), correspondd,l'identit6 (z est I'identit6
en bidegr6(1,0)). On a N2 : 0, et, pour o € 1,
o - I : tp(o)N : ily ---+tUy .
(1.1.3)
(iv) Notons Per(D) la cat6gorie des A-faisceaux pervers sur D,
pour la perversit6auto-duale [BBD]. On sait que \Fy[n] e Per(D) (variante de [I1 4.5] pour Zf (.'Z). D'aprds (1.1.3), I'op6rateur de carr6 nul
l/ : \Ly -* \P/(-1) est d6termin6 par I'action de f (et y commute), et il
r6sulte de (1.1.2) que la filtration par le poids de \[r1 (comme objet de
DF(D,A)) d6finit la fi,ltrati,onde monodrorniede lPy[n] (cornme objet
de la cat6gorieab6liennePer(D)).
(e) L'isomorphismede dualit6 Vr(")["] : D(Vr[n]) de (c) est
compatible A.l'action de 1, donc ). celle de N, et par suite induit des isomorphismesWiV y@)l"l 3 D(V 1[n]lw-i-rV f["]) : (W-r-rV t[r])t,
gr{v y@1[n)3 D(grYivr["]) dans Per(D). Pour i: r, ce dernier isomorphisme est compatible aux identifications de (d) (ii) et A,Ia dualit6
sur C.
1.2. Notons c: C -. D, ui : D.i --- D, u : D-C -* D les immersions
naturelles. Consid6rons la suite exacte canonioue
(1.2.1)
0 *
tu!tu*\! f -
V f ---+c*c*V/
+ 0 .
Soit o € /. L'endomorphisme o - 1 de V1 induit un endomorphisme du
triangle distingu6d6fini par (1.2.1). D'aprds 1.1 (a) et (b), ufa*Vy:
url\o-c et (a - l)lD - C : O. Par suite, o - 1 se factorise i travers
c*c"V 1 en un homomorphisme
(1.2.2)
Varf (o) : c*c*V y -- \[J i
cette factorisation est unique car
H o m - l ( r u , u " V y , V f ) : H o m - l ( t u * Vy , . * V f ) : H o m - l ( / \ o - c , t v o - c ) :
0. Nous appellerons uariation I'homomorphisme
(1.2.3)
Var(o) : c*V y ---' "!i[r,r
d6duit de (1.2.2) par adjonction. Consid6rons d'autre part le triangle
distingu6 canonique
(r.2.4)
c*c'V y ---+![r.f --. Rw*u*V f -
.
Proposition 1.3. Le morphisme canonique Vy -- gr{Vy Qesp.
unique (uia
SrylV.r * V.r) (d6,duitde 1.1 (d) (ii)) sefactorise de man'id,re
iur la Formule d,ePicard-Lefschetz
253
(1.2.1)et (L.2.a))pat'un rnorphismec*c*Vy -- gY V I Qesp. grYlV f -+
c*ct'Qy) et le carr6
c*c*Vy*
(1.3.1)
u..(,)l
c*ctVs <-
SrYVr
f
"t"l'
grYtw t
est commutattf.
Lapremidre assertionr6sultede 1.1 (d) (ii), et lasecondede (1.1.3).
1.4. Pour o € I et i :0,1,
on d6finit de manibre analogue
VarI(o) : u;auf,Vy -- V/ ,
(1.4.1)
d6duit de I'endomorphisme o - 1 de Vp et
Var(o) : uiV 1 -, u1VI
(r.4.2)
d6duit de (1.4.1) par dualit6. On a des carr6s commutatifs
(1.4.3)
var(o)
1l
|
V
Y
V.r-ui*utuWs
I
var(a)|
Y
c*ctVy,
or) les fldches horizontales sont les flbches canoniques.
Proposition 1.5. Notons ui: Di - C -+ Di I'inclusion.
(a) Le morphisme canon'iqueui'Q I --. Ru;*l\, d6.fi,nipar la
fl,d,ched'adjoncti,on uiV y ---+Ru;*uluiV 7 et I'isornorphisme uiuiV y =
LDo-c, est un i,somorphisme,qui s'insd.redans un isomorphisme de triangles distingu4s
uiWsV y --------->
uiV y --.------------erY V t------------>
-l
-,1,
-l
Y
/\p
-l
-,'
'---------------,
Ru,i*h -----> Ac(-1)[-1]
-------->'
od la fl,d.cheuerticale de droite est (-t);+t celle donndepar l.L (d) (ii)
et le triangle inf4,rieur par I'isornorphisme canonique Rlui*l\ = Ac(-1)
L. IIIusie
(donn6.par la classe de cohomologiede C dans Di ISGA 4 ll2 Cycle
2'r)).
(b) Le morphisrne canon,iqueu;rA ---+ul,Vy, dd.f,ni,
par la fl,iche
d'adjoncti.onuiruiul;Vy -- u|Vy et l''isornorph'isme
uiu.l,Vy ? l\Dn-c,
est trn isomorphr,.sme,qu,i s'insd.re dans un isomorphzsme de trian,gl,es
dist'ingu6.s
grYrVy €
t_
utnvy ------*uto1Qsfw-yVl) -
t_
l = _*'. r''-r _ ,l =
,
Ac[-l]
u;rA --------->
t_
l=
l\p, ---------------- '
oil,ta fl,dcheuert'icaled,egaucheest (-1)d+1 c:ellednnndepar 1.1(d) (ii)
et le tri,angle i,nfdri,eurest d6.duttpar rotat'ion du triangle d{fini par la
su'ite eracte canon'ique0 t utrA -- AD, --+ Ac ---+0.
(c) Le foncteur RHorn(-,Lp)
6,change,
u'ia la (quasi,-)autod(1.1
(c)),
(a)
ualit6.de V 7
les trianglesde
et (b).
LemorphisrnenaturelRj"lt--, Vy, or)j : X-D * X est I'inclusion,
identifie H'V t: Ac(-1) au quotient de ,Rlj*A : (Aou O Ap,)(-1)lC
par A6:(-1) diagonal. Par transversalit6de D6 et D1, on a Ez6*A:
u[rRjyl\, oir j1 : X - Dr "-+ X est I'iuclusiou. Le morphisme naturel Ru6*A ---' n6Rj*l\ qui s'en d6duit est I'identit6 sur f10 : ADo et
I'inclusiondu facteur (Ap, (-1))lC (de baseel lC) sur Hl . Le morphisrne
Ruo*A --- u6!tr1 obtenu en composant avec Rj*/t -, ily induit I'identit6
sur .FIoet, sur I11, est Ie compos6(Ap, (-t))lC .--+(ApoOAp, )(-1)lC -((Ao. O Ap,)(-1)lC)/(Ac(-1)
cliagonal),i.e. envoie€1 sur la classecle
(0,1) : -1 € As(-1) (1.1 (b)), c'est donc un isomorphisme.Par suite,
zfi\lry est I'image directe de sa restriction ], Do - C, d'oil la premidre
assertion de (a). Pour la seconde,le point est la cornmutativit6 clu carr6
de droite. Notons e6 (resp. e1) la basede,R1j0.A(1) (resp. R1j1.A(1))
consid6r6een 1.1 (b), " la base correspondantede Hl!I//(1), classede
e0 ou de -e1 modulo A diagonal ; dans le diagrarnme relatif A.i : 0,
I'image de e dans A par le compos6 H1{//(1) --- lRruo*A(1) --' A est
-1 ; pour calculer I'image de e par I'autre compos6,on doit identifier
H1W/(1) a grf7V7[r](1) : R2j.L(2) par 1.1 (d) (ii) : I'image de e est
1. Pour le diagramme relatif h i : 1, on trouve le signe oppos6. D'oir
la secondeassertion de (a). La premibre assertion de 1.5 (b) se d6duit
de la prernidrede 1.5 (a) par dualit6 (t.t (e)). Pour la seconde,Ie point
est Ia commutativit6 du carr6 de gauche. L'argurnent qui suit est du
A,O. Gabber. II suffit de prouver la commutativit6 aprbs composition
avec la flbche d'adjonction tr;*zlVy - !I/.f. Dans la construction de
Su,r La FormtLle,de Pi.card-Lefschetz
Rapoport-Zink rappel6een 1.1 (d) (i), on peut supposerK concentr6en
degr6s € [0,1]. Le bicomplexe A' est alors concentr6en degr6s (0,0),
(0,1), (1,0). Le rnorphisme u;rA --- {/.f se factorise (trivialernent) par
HuVf . Il en est de m6me du morphisrnegr_1Vy --- \y/ : il est en effet
donn6 par le compos6 rSoLt [-1] (: Aot[-l]) --. sA'. , K, et donc
se factorise par.rsL)[-1]
(:
R2j.L(2)[-1]) * s(rasLo - ,soLt)
-*
(: s(rtrj.A(l)
R2j*L(2))) * r<sK (: Hov r) (ot les deux-Gmes
fldches sont les qnasi-isomorphismesdonn6s par I'augmentation K ---+
,4 ). Si I'on identifie HoV y i Ao, R1j.A(1) i A4,o6 Aor (au moyen cle
eo + er) et R2j.L(2) d Ac (au moyen de eo A e1), ce coinposdse r6cr.it
(i'-1),
Acl-1] * s(Apu o Ao,
Ac) J:L1L
A4r. D'aprbs les conve'standard
tions
[SGA 41.12,C. D. I 51 2.1, II 51 1.b], c'est donc d[-1],
oil d: l\c - Ap[1] est la flbchede degr6 1 du triangle distingu6 cl6fini
(1'1),
(1'-1),
par la suite exactecourte 0 --' Ao
Aou 6 Aor
Ac -- 0.
Cette suite regoit la suite exacte canonique 0 * ulrA - Ar, ---+Ac * 0
(d6finissantd,: l\s - uirAll]) par un morp|isr1e q1i estl:icleptit6srrr
Ac: et (-1)i sur les deux autres termes. La commutativit6 vourue en
r6sulte. Nous omettrons la v6rification de (c).
Corollaire 1.6. Posons Hs(-) : Hq(-,A) (resp. H!(-)
:
Hge,tt)).
SupposonsDl propre slrr s, et, pour o € I, notonsVar(o) :
Hn(Dt - C) * H|@r - C) l'homomorph,ismed,6fi,ni.
par (I.4.2) ui,a
Ies i,d,entifications
= Hq(Dr - C) et Ho(Dr,rriVy; =
Hn(Dt,"lVr)
HE(Dt - C) d|finies par 1.5 (a) et (b). On a u,n carr6 commutatii
(1.6.1)
Ho(D, - C) --L -gc-r(c)(-1)
I,,,',
Vrr(r)l
H3@, - C) = _d
Hs-l(C),
od lesf iches d sont les opdrateurs bordsdes su,iteseracteslonguesd,ecohomologie(HT+t (D1) 6tant ide,ntifi|.d,Hq-t (C)(-1) par l,,isomorphisme
de Gysin).
Le carr6 (1.6.1) s'obtient en effet en appliquant H,t(Dy-)
commutatif
(1.6.2)
uiVy --------*
erY Vr
v".(")l
ulrlFr.*--
1t,,,',
Y
grYrvr
au carr6
L. Illusie
d6duit de (1.3.1) et (1.4.3), via les identificationsde 1.5 (a) et (b).
Comme on I'a rappel6en (1.1.2),le morphisme induit par .ly'' grlv\try -'
grYrVy =
grYrVy(-t) via les identificationsgrlvVy - Ac(-l)[-1],
que
I'identit6, il en est donc de m6me
Ac[-t] (1.1 (d) (ii)) n'est autre
du morphismequi s'en d6duit de Hq-t (C)(-1) dans llq-1(C)(-1).
2. Singularit6s
homogbnes et variation
2.1. On considbremaintenant un morphisme / : X -- S localement
de type fini, plat, de dimension relative n, et lisse le long de X" hors
d'un point rs € X"(k). On note Vy (resp. Ay) le cornplexedes cycles
proches (resp. 6vanescents)RiI/,r(A) (resp. R(D(A)) e D+(X" x" 4,A)
ISGA 7 XIII 2.1]. Le complexeOy est concentr6en {16}. On a de plus
le r6sultat suivant, dont nous ne ferons pas usage :
Proposition2.2. Si,de plus f est localementd'intersectioncornplite,
alors H'Q y : o pour i I n, et HnQ I est un lv-module libre de type fini.
Le cas oir ,5 est de caract6ristiquenulle est trait6 dans ISGA 7I4.6].
Pour le cas g6n6ral, voir [I2].
2.3. Laconstruction d6crite dans ce num6ro est inspir6e de I'exemple
consid6r6par Steenbrink dans [S,3.12]. Soient n un entier ) 1, e un
entier > 2, F : Ea.,ro € A[r1,...,rn+L) un polynome homogbnede
degr6 e, partout non nul, ?r nne uniformisante de A, u € A*. On fait
I'hypothdse suivante :
(H) le sous-sch6ma
ferm6Z deP!+r : Proj Al*'t,... ,rn+t,tf
d'6quation F
utu : 0 est lisse sur ,S.
Observons que (H) ne d6pend que de F et implique que la section
hyperplane Z n (t: 0) C n!+r (d'6quation homogdneF : 0) est lisse
sur ,5, et que la r6ciproque est vraie si (p, e) : 1. Gabber fait remarquer
par ailleurs que, si (p,u) * 1, la condition (H) ne peut 6tre v6rifi6e
pour e > 2 (la relation d'Euler contredirait I'exactitude du complexe de
Koszul d6fini par la suite (-F - ut',(0FlAr1))).
N o t o n s X l e s o u s - s c h 6 mfae r m 6 d e , A ! + 1 : S p e c A l r t , . . . , r n + r f
d6fini par l'6quation .F -'tllr" : 0, f : X -- S la projection. Le morphisme / est plat, de dimension relative n, et lisse hors de I'origine
ro : (0,...,0) de A'+1. Le complexe(Dy est donc concentr6€D iD6
et d'aprbs ISGA 7 XIII 2.4.5], on dispose,pour o € 1, du morphisme
uariation
(2.3.1)
Var(a)' (Or),n -- Rf 1"o1(X",Vr).
Srr,rla Formule de Picard-Lefschetz
257
on se propose de d6crire ce morphisme d,I'aide d'un analogueconvenable
de la vari6t6 des cycles 6vanescentsdu cas transcendant.
Soient Y l'6clat6 de {rs} dans X, ou, ce qui revient au rn6nre, Ie
transform6 pur de X dans l'6clat6 (.\3*t)- de {16} dans,\!+1. Notons
h : Y - - X l a p r o j e c t i o n , e tg : f o h : Y - S . ( D a n s l e c a s c o n s i d 6 r 6 p a r
steenbrink dans (loc. cit.), ori A : c{tr}, cette construction 6quivaut
A 6clater 16 dans le sch6rna (r6gulier) d'6quation F - r : 0, puis de
normaliser le sch6ma qui s'en d6duit par changement de base par zr ruIr" . I
Proposition
2.4. Le morphi,srneg a rd.duction sem,i-stable. Le
d'iaiseurD:
Y" est somme de deur diuiseurs Ds et D1, lisses sLLrs,
dont I'un, D1, est irr4.duct'ible
et propre sur s. Le diuiseurDt : h-r (ro) ,
diaiseu,rerceptionnel de l'1clatement h, est I'hypersurface de degr6,e de
F 3 * t : P r o j k [ r 1t . . . t r n r r , t ] d ' 6 . q u a t i o n -Fu t " : 0 ,
od (-)- d6.signe
la rdduction modulo m. L'intersect'ionc : Don Dr, rieu d, I'i,nf,ni du
c6ne d'6.quati.onF:0 dans A3+1, estla section hyperplanet :0 de Dy
dansP!+\. Le di.ui,seurD6, dclatd de {rs} d,ansIa fibre sp\.cialeX" (ou
transformd,pur de X" dans l'6clatd de {rg} dans ^A}+1), est un f,br6 en
droites sur C.
On recouvre E : (.\3*t)- par les ouverts standard U;, 7 { i I
n*2:
U i : S p e cA [ z ; , g t , . . . , A i - r , A t + r , . . . t U n * r , t l l -@"i )t ( 1 <
1
i
n * 7), Un'r2 : Spec Alyr,. . . ,Un+r), Ia projection canonique
--E
A}}}*t 6tant donn6e par : t,i + ri si i : j et r;!i pour j + i
dans [U; (1 < , I nl-l),
et par ri r-+ Ttgi (1 < i I nll)
dans
Un+2. Le morphisme g : Y ---,S est induit, sur chaque (J,;, par la projection canonique.Pour 1 < i < n*l,Y
)Ui est I'intersection,dans
SpecA[z;, gr,. . . ,ai-r,At+r,... tA.n11rtt],
dessous-sch6mas
[l (cl'6quation
T 1 t : r ) e t V i d ' 6 q u a t i o nF ( y r , . . . , A i _ r , l , A t + r , . .. , U n + t )- u t " : O .
Par I'hypothdse (H), V est lisse sur,S. Donc, localernent,V; est 6tale
s o i t s u r A l q , @ i ) i + r . , 1 s q , t l( p o u r g € { 1 , . . . j T I + 1 } {i}), soit sur
A[q,@i)t*;] (avect inversible).Dans le premier cas, Y n(Ji: tltaV
est 6tale sur ,4[ri, (yt)i+o,i+r,t)l@;t - n-), et a donc r6duction semistable sur s. Da's le second, Y )ur est 6tale sur Al(y)iyr], donc lisse
sur ^9. Pour i : rr*2,Y n(Jn12 est le sous-sch6made [/",+z d'6quation
F(yr,... ,Un+t) - Itr:0, et est donc, par I'hypothbse(H), lissesur ,S.
cela prouve la premibre assertion. Le diviseur D1 est le lieu ), I'infini
du cone tangent f i X €r /s. Ce cone I a pour 6quation F - iltu : 0
dans Spec k[rt,...,rn+t,t).
Son lieu d, I'infini est donc lisse,par hypothdse, donc irr6ductible puisque n ) 1. D'autre part, De est le fibr6
V(Oc(l)) sur C, lieu A,l'infini du c6ne fn(t : 0) (d,6quationF : 0 dans
Spec k[21, ... ,rn+tf), et C est lissesur s, soit par suite cle la r6duction
L. Illusie
serni-stable, soit comme cons6cluencecle I'hypothbse (H) cornine on I'a
observ6 plus haut.
D6finition 2.5. On appelle uari4td affine des cycles 6uanescentscle
en
rs le s-sch6ma(affine) V(f) : V : Dt - C.
/
Le sch6ma V est lisse sur s, connexe, de dimension n. La terminologie est justifi6e par Ie r6sultat suivant :
Th6orEme 2.6. (a) On a H0(V,A) : n et Hi(V,A) : o pou,ri f
n , 0 , H ? " ( v , A ) : A ( - n ) e t H i ( v , A ) : 0 T t o u r it ' n , 2 n ; l ' a c c o u p l e m e n t
de dualitd.H"(V,L) I H:(V,A) * A(-"r), (a,b) ,-. Tr(o,b),est un accouplement parfai,t entre l\-modules libres de t'ypefini.
(b) On a des isomorph.r,smes
canon'iques(V/),,, = RI(V,L),
Rf{"n}(X-,, Vf ) = ftf"(% lt), compatiblesaur accouplementsde duali,td
L
naturelsRf (V,A) I Rf.(y, lt)(n)lZn)---l\ et
( l [ r ) " " o , ? f 1 , . y ( X " , i L r ) ( t ) l z n ] ' -R f { " u } ( x " , a ! A " ); A [ I 1 ,4 . 2 ] .
(c) Pour o e I, notonsVar(o) : H"(V,A) - H:(V,lr) le morph'ismedd.duitdeYar(o) : //"(Q1),,, * Hi'.n)(X",\l.r) e.3.1) par les
i.denti.ficati.ons
de (b) ; o'rlo,un carrd co'mmutatif
H" (V,A) --4--=Hn-' (C,A)(- 1)
v",(')
I
t
H:(V,A) *-:i-
It,ot
t
H"-r(C, L),
od, la fl,dche uert'icale de gauche est d4finie par (2.3.1) et les fl"dches
d sont les opdrateurs bords des su'ites eractes long'uesde cohomologie
(HL*t(Dr,A) dtan,tiden,tif,6d, Hq-t(C,A)(-1) par l'isornorphr,smed,e
G'gsin).De plus, pour r e H"(V, L) et y e H"-r (C, A), on a (dr,A)c +
(-1)'(*,da)v:0,
( , ) s ( r e s p .( ' ) v ) d d s i g n a n t l ' a c c o ' u p l e mdeen dt u '
alitd d,ualeur-sdans .l\(-n) entre H"-'(C,A)(-1)
"7 grt-7(C, /\) (resp.
H"(V,lt) et H!(V,lt)).
Les assertionsde (a) sont bien conlllles et d6coulent de la strrcture
de la cohornologie des intersections compldtes lisses [SGA 7 XI 1.6] :
cornme D1 est une hypersurfacelisse de IP'+l et que C en est une section
hyperplane lisse, I'homomorphisrnede Gysin Hs-z(C)(-7) --- Hq(D1)
(ot ac1-; : Hq(-,A)) est un isomorphismepour 0 < q < n et un
isonrorphisme sur un facteur direct pour q : n (envoyant (('l-z)/z tot
6clz pour q pair, otr { est la cla^ssecl'une section hyperplane), d'oir la
nullit6 clesHq(V) pour 0 < q < n, par la suite longue de cohomologie .' . ---+Hq(Dl) --+ Hs(V) ---+Ho-r(C)(-1) ---+... ; la nullib6 de
S'ur La Formrr,l,ed.ePzcard-Lefschetz
Hs(V) pour q ) n vietrt cle ce que I/ est affine ; enfin, H"(V), extension cle Ker(fI"-1(C)(-1) ---+H'L+r(D1)) par Coker(I/"-' (C11-t; --H^(Dr)), est libre de type fini sur A, d'oir la clernibre assertiou de
(u). Prouvons (b). Puisque h: Y ---+X est propre et est un isomorphisme sur les fibres g6n6ric1ues,on a un isornorphisme canoniclue
[sGA 7 XIII 2.1.7]
(2.6.r)
VS?Rh*Vo
Par le th6orbme de changernent cle base propre, on a donc (i!;)r,, ry
.Rf(Dl, il/s). D'autre part, comme g a r6cluction semi-stablei, deux
branches(Du,Dr) (2.4), on peut appliquer 1.5 d 9. On a ainsi un isomorphisnre canonique VnlDr 3 Rur*A, oil u1 : V : Dt - C - Dr
est I'inclusion. Par composition, on obtient le premier des deux isomorphismescanoniquesannonc6s,(W/),,u 3 Rf (%A). Consid6ronsd'antre
part le carr6 cart6sierr
DI --:\
^l
{16}
D GY")
t,
---11-----*x",
oir les flbches horizontales sont les inclusions. D'aprbs ISGA 4 XVIII
3.1.12.3],on a fiRA- ry Rh*u\. On a donc des isomorphismescanoniques
Ef {,n}(X"' \!r) : Zi\Ur
e ioRh"v
s
(2.6.1)
= Rh*u\V .
n
D'atrtre part, cl'aprbs1.5 appliqu6 d, g, on a u|Vn ! urrA, d'oir finalement le second isomorphismecanonique aruonc6, Rf 1,"o1(X.r,Vl) =
Rf.(y, A). La compatibilit6 A. Ia dualit6 r6sulte de 1.5 (c) et de la
compatibilit6 de I'autodualit6 de \Ir aux irnages directes propres. Il
reste d prouver (c). La dernibre assertion est classique, et cas particulier de 2.6.6 ci-aprbs. Prouvons Ia premibre. Soit o e I. Notons
Varo(o) : uiV o '- u\V o I'homomorphisrned6fini en (1.4.2). Par ailleurs,
soit j6 : X" - {"0} -' X" I'inclusion. L'endomorphisme o - 1 de ilry est
sous-jacenti, un endomorphisme du triangle distingu6 canonique
\2.6.2)
joJ6Vf ---+ilil --- io*ifiV/ *
L. Iilusie
Comme / est lisse hors de ro, jotjtVt : jorAx-"-{"o}. Donc os'annule sur jg1jfiVy et se factorise par un homomorphisme
(2.6.3)
v a r l ( o ) : i g * i . [ V y- V 1
,
H o m - 1 ( A x , - { " n } , A x . . - 1 " u 1 ):
:
u n i q u ec a r H o m - 1 ( j o r j i Vt , V r )
1
0.
Par acljonction, Var|(o) cl6finit un homomorphisme
(2.6.4)
Varl(o) : (W7),"-- iiily ,
qui est le compos6 de (2.3.1) et du morphisme canonique (V/),o *
(Of),". En particulier, puisque, en vertu de (a) et (b), H*(Vf) :
H*(Q f), Vary(o) incluit sur fI' le morphisrnevariation de [SGA 7 XIII
2.4.51.Pour acheverla preuve de (c), Il suffit donc, compte tenu de 1.6
appliqu6 i g, d'6tablir la commutativit6 du carr6
(2.6.5)
Vary (o)
(Vr)""
I
l
bvr
,1,
^,
ftn*var'e(oJ>
Rh*u\vn ,
Rh*uivn
oi h: Dr - {rs} est la projection, et Ies flbchesverticalessont les iso.
morphismes canoniques (changement de base propre et [SGA 4 XVIII
3.1.12.3]). Par adjonction, il revient au m€me de v6rifier la commutativit6 du carr6
varl" (o)
'
is.ifiit/y
l
V
.VJ
V
Rt,- Varl.(a)
Rh"ul"uiVs -+
l
Rh*''Vs.
C o m m eH o m - l ( j o t j 6 Vr , R h . i t / e ) : H o m - r ( A x " - { " u } , A x " - 1 " o 1 ) : 0 , i l
suffit de rnontrer que le carr6 d6duit par composition avec {r; --+i6.ifi\!1
est commutatif. Par d6finition ae Var)(o) et Var[(a), on est ramen6 i
v6rifier la commutativit6 du carr6
V1 ----t1----* Vt
t
RhY*'v
o
o-',
l
nn-Yvn
26r
Sur la Forrnule de Picard-Lefschetz
Mais celle-ci r6sulte de la fonctorialit6 de V.
Lemme 2.6.6.1 Soi,entX un schd.ma,i : Y ---+
X un sous-schd,ma
---+X l'ouuert compld.mentaire,r, s des entiers, r €
j,
U
ferm6,
H " ( U , l y ) , y e H " ( Y , 4 t ) . A l o r s o n a , d a n sH ' * " + t ( X , A ) ,
( @ " ). a ) x : ( - 1 ) " * '( * . d a ) x ,
aaeclesnotat,ionssuiuantes: dr e H?*t (X,lt) (resp. d,yE g"+r(X, flA))
est dddui,tde n (resp. A) par le bord de Ia suite eracte de cohomologied,
supports; ((dr) . g) y (resp. (" . dA)x) est l',imagedans H"t"*t(X, A),
par la fl,dchecanon,ique,du cup-produit (dr) .a e Hr+"*t(X, /t) (resp.
r.dy e H'*s+r (X,rtA)).
Rappelons cl'abord que, pour A, B, C e D-(X,A)
et un accou-
]J
p l e m e n tr :
H^+,(X,C),
cochainesau
de A, B, C,
(*)
(-l)
"ab:
A I B--- C, le cupproduitHt'(X,A)gH"(X,B)
r
a&b r- ab, d6fini de la faqon usuelle par un produit de
moyen d'un relbvement de zr A des r6solutions convenables
v6rifie la formule
L ,,
L
L
L
L
eo(a 8 b): eo(Id O a;"(o e ta) : eo(a O fa;o (IdI b),
oir a (resp. b) est consid6r6comme une flbche Ax B[n]) de D(X,A), et
A[nz] (resp. Ax -
e : Alm)& a61---Clm-rnl
est compos6de I'isomorphismecanoniqueAWI A B[n] 3 1e & a16+
n] (d6fini, pour P, Q e C(X,A), par I'isomorphismede Koszul A[rn] e
P s A[n] I I 3 A[m] a A[n] I P I Q, via les iclentifications 6viclentes
A[rn]B P : P[m), A[n]8 Q : Q[r], A[rn]8A[n] : /t[m+n], qui ne font
pas intervenir de signes) et cle zr[rn* n].
Consid6ronsle diagramme suivant :
Ax -g- A"["] 4
jrtuls+ tl iElg
A.y[r* s * 1l ,
orf 5: Ay * -rrAu[1]est le morphisme de degr6 l du triangle distingu6
ilvu - Ax * Ay - et r (resp. g) est consid6r6 colnme une flbche
jtyu - Ax["] (resp. A;6 -* Ay[s]) dans D(X,A). Posons : r[s+
f
1] o 5[s] o y. Par d6finition, 6[s] o y : dA € Hs+r(X, jltu). Comme
^Je
remercie vivement T. saito et o. Gabber pour Ieur aide dans Ia
d6monstration de ce lenrme.
262
L. Illusie
t : . d , y : ( - 1 ; ' ( ' + t ) ( d A ) . r d a n sH ' ' * " + t ( X , j r l \ u ) , e t d o n c ( r - d y ) y :
(-1)r(r+1) (@y).r);r dans H''*"+r (X, A), il r6sultede la fommle (*) clue
f : ( r . d A ) " . O n v o i t c l er n e m ec l u e/ : ( ( r [ 1 ] o d ) . g ) x . P o u r a c h e v e r
la cl6rnorrstration,il suffit de v6rifier que
rfl]o5: (-1)'+'d,
(**)
dans .F/f.+'(X,A) : Hotnpl;,nt(Ay,Ax[r'* 1]). Pour cela, ciroisissons
rtc, gi-rr
+ ' ) de A26 et. un
urre r6solutiou flasclueC' : (- - . --- Ci
cocycle ( e C'(U) repr6sentarrtr. Le morphisrue6 : Ay - jrl\u[l] est
repr6sent6par les morphismes de complexes
Ly J-
Ax) :l7,Ay[1]
Cone(.l,Ay-------
,
clonn6par la projection Ax * Ay. Par
of q est le quasi-isomorphisure
suite r[1] o 5 est repr6scnt6par le compos6cle q-1 et du morphisme de
courplexesu :
0) :
A1 ---------------
j,Lzr (0 -------------
t
l
-€t
|
(...-
C6ne(7rAy ---------1";
(- t\'+t,t-
C,''''-'
l0
'l'
- g r ' r r - - - - - - - - -:- >C. .f .r )+ l l .
De rn6nre, utilisant Ia suite exacte 0 -- 11or(C ) - C' ---+j*Ci est repr6sent6par le compos6 d" g-t et clu
0, on voit que (-l)'+rdr
morphisme de complexes u :
(0 ------------itLu -
o
r|
Y
(...-
C,
A; -+
Q)
l
r' - t-\'' * r "-^-
.Yl t - r l ' + , a " i
, C , ' * r - - - - - - - - - >) .:. . C ' [ r * 1 ] ,
oil { e C'(X) est un reldvement de {. L'iclentit6 (i.*) d6coule alors d.ela
Qr.
fornrule'LL-'t): dh+hd, oir h,est I'homotopie d6finie par -( : /\y ---+
Remarques 2.7. (i) Compte tenu des isornorphismesde 2.6 (b), la
nullit6 des I{i(V) pour i * 0,, concordeavec le r6sultat cle2.2.
(ii) Les r6sultats de 2.6 irnpliquent des r6sultats analogues pour
A rerrrplac6par Zp. Posons (avec lly : V f (Zt))
FI"(Vy)pri.'.': Coker H" (Dr,Zt) :In
Hn(V,Z,d-
H"(V,22)
Hn-t(C,Z|GD,
Str La FormuLe de Pica,rd-Lefschetz
263
H i , " \ ( X " , V / ) 0 " " ' : K e r H : ( V , V ' t )- H " ( D 1 , Z p )
: IIN .FI"_I(C,Zil .. H:(V,Lil.
On a donc
+n + r ( D t , Z t )
F / " ( V y ) p . i ,:, , K e r H " - t ( C , Z t ) ( - L ) - - -H
: K e r € : H " - t Q , v , { ) ( - r ) - - +l { n * r ( c , z d
- Hn-r (C,Z!)P'nn(-r),
oil I/"-1(C,V,u1v'"" est la parti,eprimiti'tte6" -i7n-1(C,Zt),6gale i,
Hn-L(C,Zs) si n est pair, et il I'orthogonalcle1@-r)/z si n est irnpair, {
d6signantIa classed'une sectionhyperplane. De rn6me,H(*r\ (X", rlrr;n.iu'
-r
est Ie quoti,entprimitif H"-t (C,Zp)p,i,,,de H"
(C ,Zt) , un Z1-module
libre cle type fini, dual de la partie primitive,6gal i, Hn-t(C,Zt) si
n est pair, et A.f1"-1(C,Z,t)lz,(€@-r)/2 si n est irnpair. Il r6sulte clu
diagramme de 2.6 (c) que Var(o) incluit un morphisme
/,t'7 1\
\L,I.L)
Var(o)p.i,,,: H"(V y)p,i", -
HiLo)(X", rft;n'""
Supposonsque tp(o) soit un g6n6rateurde fu(I). Alors, si n est pa,ir,
Var(o)p.i,,, est un isomorphisnte, et s,i n est impair, Var(o)p.i,r, est ,injectif, de conoyau de longueur 6gale d"la ualuat,ion(.-adiquede e. Le discriminant de la restriction i la partie primitive de la forme d'intersection
sur .F1'-1(C,Zt) est en effet 6gal d e (puisque(€kl-r)/2 . q(n-r)/21 : e et
que la forme d'intersectioltsnr Hn-'(C,Zs) est unimodulaire, cf. [SGA
7 XIX 5]). J'ignore comment d6finir directement (2.7.I), sans recoursir,
l'6clatementh.
3. La formule
impaire
de Picard-Lefschetz
en dimension
relative
3 . 1 . S o i tn : 2 m * l
u n e n t i e r i m p a i r ,e t s o i t Q e A l r 1 , . . . , r n + t l
une forme quadratique ordinaire [SGA 7 XII 1] : cela signifie que Q I k
est non nulle et que la quadrique projective de F! d'6quation Q : O
est lisse, ou ellcore qu'il existe un changement lin6aire de coordonntles
r : Py, P e GL...r(A), transformant Q en
yiAn+r+i. Soit
t
l<i{m*I
7r une uniformisante de A. Soit X le sous-sch6rnaferm6 de A!+1 :
S p e cA [ r 1 , . . . , r n + r f d ' 6 q u a t i o n
n o t o n sf : X - * S l a
Q-r:0,
projection, et, comme en 2.1, Vy (resp. Ay) le complexe des cycles
proches (resp. 6vanescents)correspondant. Le morphisme / est lisse
hors de I'origineno: (0,... ,0) de A]+1, de sorte que (Dyest concentrti
L. Illusie
€n rs. Les r6sultats suivants sont 6tablis par Deligne dans [SGA 7 XV,
2.2,3.3].
(a) On a Hi'Qy:0
pour i + O, n,H'{,il(X,,\I/y) : 0 pour
i f n, 2n, H0VT : Ax., H?i,l (X",rlrt(n;; : 1. Les A-rnodules
H"(Vy(m * 1)),u et Hi,n)(X",Vy(m)) sont libres de rang 1, et cluaux I'un de I'autre par I'accouplementnaturel ( , ) : .F1"(itr
t(m+ 1)),o E
HT,'\(X",V1(m)) - H'G"l (X",{//(n)) : A. IIs ont des basescanoniques6 E H\*"\(X",V y(m)) et 6' e H"(V y(m * 1)"o), d6finiesau signe
prbs, que I'on peut choisir cle manibre que (5',6) : t. L'application
naturelle 6 t Hi,"| (X", \trr) -. H"(V t)"0 est nulle.
(b) Pour o e I etr € H"(91(rn*1))"",
Lefsch,etz)
on a (fomrrulede Picard-
Yar(o)r : (-1;''+t fu@)(r, 5)6 .
(3.1.1)
3.2. Nor-rsallons montrer comment on peut d6duire, alg6briquement,
(a) et (b) de 2.6. En fait, la d6monstration de (a) dans [SGA 7 XV] est
elle aussi entibrement alg6brique, ce n'est que celle de (b) qui fait appel
d un argument transcendant.
On peut supposer les coordonn6esr; sur A!+1 choisies de manidre
que Q :
frrrm+r+i.. Soit K' C K une extension quadratique
t
l(i1m,*L
s6parable de K, totalement ramifi6e. Notons I' : Gal(R/K/) Ie sousgroupe (d'indice 2) de I correspondant,Atle normalisd de A dans K',
?r' une uniformisante de A', ,S' : Spec A', f ' : X' - S' Ie morphisme
d6duit de / par Ie changernent de base S' -- S. On a r : un'2 dans
A', avec u, e At", et X' est le sous-schdmaferme de Alil d'6quation
Q - ,n'' : 0. On a ![r1 : V y, et I'action de 1' sur V7, est induite par
celle de ,I sur ilry. La forme quadratiqueQ - ut2 e A'[r1,... ,rn+r,t]
6tant ordinaire, I'hypothbse (H) de 2.3 est v6rifi6e, avec F : Q, e:2
et A remplac6 par A'. On peut donc appliquer 2.6. La vari6t6 des
cycles tivanescentsV de f' est une quadrique affine, compl6ment, dans
la quadrique projective lisse D1 d'6quation Q - ut2 :0 dans P3+1 :
Proj k[21t... trn*r,t], de la section hyperplaneC d'6quation f : 0,
q t r a d r i q u el i s s ed e F I ' : P r o j k l * r , . . . , r n + L l d ' 6 q u a t i o nQ : 0 .
Les
assertions de 3.1 (a) d6coulent donc de 2.6 (a) et (b), compte tenu de
la structure de la cohomologie des quadriques ISGA 7 XII]. Comme n
est impair, on a, avec les notations de 2.7 (ii) (et en tensorisant srr V't
par A), Hn(Vf,),o : H"(V,/t) : g""-r(C,A;n'i-1-I), Hi,il(!yt,) =
Sur la Forrnule de Picard-Lefschetz
265
Hn-'(C,A)p.i-, et I'application canoniqued : H'](V, tt) ---+
H*(V,A) est
une base 6t de Hn-t (C,A(rn;;r'inulle [SGA 7 XII,3.6]. Choisissons
(de la forme cl(a) - cl(B), oi a et p sont des g6n6ratricesde C de
types clistincts) [SGA 7 XII 3.5], et notons 6 e Hn-L (C, A(rn,))orim:
Hom(-FI'-1(C,A(m))n'i"',A) la base duale. Comme (6',6') : (-I)^2
ISGA 7 XII, 3.3 (iii) (b)], I'imagede 6'dans le quotientHn-t(C,A(rn))p.i*
est (-1)-26. Notant Vary (resp. Vary,) la variation relative d / (resp.
')
--- Zs(1,) le caractbre canonique relatif d A/, il r6sulte donc
f "t t's : I'
de 2.6 (c) que, pour r € 1', on a
(*)
Vary,(r)5' : (-1;''+tt'2ft)25 .
Pour o € .f, on a o2 € 1'. Donc, d'aprds (i.),
Yary(o2)6' - Vary,@')5' : (-1;-+t t'n(o2)25.
Mais 2t'n(oz): (o2((ultt2)r/t"")l(urt2)Llt^)^ : (o2(nL/t"')lirr/t'')n, :
tilo2).
On en d6duit, pour tout o e I,
(**)
Y a ry @ 2 ) 6:' ( - 1 ; - + t f u @ 2 ) 6.
Mais t2(o2) :2ts(o), et comme I'application / est nulle, o ,-. Yary(o)6'
est trn homomorphismede ,I dans HT,ot(X",V y(m)). En particulier,
Varl@2)6':2Yatt@)6'.
On peut clonci6crire (x*) sousIa forme
2Yary@)5' : (-1;*+t 2t2@)5 .
Passant i. la lirnite sur les /\ : Zl["2 (, > 1), on obtient la m6me
formule i coefficientsdans Zs. Cornm" HT,,I(X",V y(Zs)(m)) est libre
de rang I s:urZs, de base5, on peut diviser par 2, et on en d6duit (3.1.1)
p o u r n : 6 ' , d o n cp o u r t o u t z .
Remarque 3.3. On peut montrer que I'identification de H^(V y),u
d Hn-l(C)e'im(-1) utilis6e en 3.2 coincideavec celle d6crite dans [SGA
7 XV 2.2.3). Notons i1 la premibre,i2laseconde. Rappelonsla d6finition
de i2. Soit X la compl6tion projective de X, d'6quation Q - rt2 : 0
dans tr!+r : Proj Al*r,...ttn*r,tl,
X* son lieu d I'infini, d6fini par
f : 0, quadrique lisse sur S, d'6quation Q : 0 dans Fi, de fibre
sp6ciale(X.")":
C. Cornme X est Iisse sur S au voisinagecle Xoo,
la flbche canoniqueH"(Xn,A) * Hn(X",{//) ISGA 7 XIII 2.1.8.3]
est trn isomorphisme, et, comme expliqu6 en [SGA 7 XV 2.2.31, la
flbcheH"(X",Vf ) -- H'(Vf ),o est un isomorphisme; on a par ailleurs
Hn (X n,A) 3 g'- t ((X."),"i,A)p'i"'(- 1) 3 g""-t(C)p.i- (- 1) ; I'identification i2 est compos6ede ces isomorphismes. On obtiendrait la m6me
L. Illusie
identification i2 en remplagant Xf S pa,-X'lS', X par X'(d'6quation
0 dans PSlt) et appliquant la m6me suite d'isomorphisrnes.
Q-utr'2t2:
Pour 6tablir la coincidencede i1 et i,2,on peut ernployer I'argument suivanL, clir i T. Saito.
Soit P C P3,11x flI1 I'aclh6rencesch6matiquedu graphe de I'iso--- Fl,*' , ((ro),t) r' ((r;),n't) (d'inverse((r;),t) -*
rnorphismeg:PII'
( ( t r ' t : 1 ) , t ) )D. a n s P r o j A t [ r 1 t . . . t t t t r r t t ] x P r o j A ' l r ' r , . . . , r ' n + r , t ' \ ,P
est d6fini par les 6cluationsr;tt : n'r'ot (I < i < n* 1), r;.rtr: rtiri
( 1 < i , ; r S n + 1 ) . O n a d e s p r o j e c t i o n s c a n o u i q upeis: P - f S l t
(i : 1,2), ori pr (resp. fz) identifie P d I'6clat6 de z6 (resp. du soussclr6rnaferrn6 cl'6cSrations
ir' : t' : 0) dans Pilt.
On en d6duit uu
diagranrrne
pz*l
p
t:. pgl,
&
"s,
:
:
X'
-
Z
-
:
X,"
(-
DoU Dt
W
---+
U
D1
)
oil W est Ia quadrique projective (lisse) d'6quation Q@') - ut'2 : 0,
et Z I'6clate de (W*)" :: (n' : t' : 0) dans W ou cle .16 dans X'
(conipl6tion projective de l'6clat6 Z de rs dans X' consid6r6en 3.2) ;
Ia ligne inf6rieure est form6e des fibres sp6ciales ; Ds est Ia compl6tion
projective de D6, un fibr6 en droites projectivessur C : Do)D1, que la
projection Z ---.,lVcontracte en (1,7-)" (: C). Par fonctorialit6 de ,RiIr,
on obtient un diagrarnme conlm.ntatif d'isomorphismes (pour abr6ger, A
est omis, et u\'t - "prim")
H "( X;)
,r,I
'-' ,
H n (Z i l -H " (W r )
r2l
l " ' I
I{' (Vr) ----- H" (Dr - C) __- H^ (W")
_..__-.p,r - r ((x! )r )o(_ r )
H" (X;) _______>
l,-,
1(c)0(-1),
oi Z (resp. W) est le compl6rnent du diviseur i. I'infini f : 0. Notons
h la flbche compos6e des isomorphismes horizontaux, et c : H"(Dr C) - gtt-r(C)o(-1) la flbche cornpos6edans la ligne inf6rieure, qui
est I'isomorphismecanonique. Par d6finition, ,i2 : (4) o h o (1)-r, et
' i \ : c o ( 3 ) o ( 2 ) o ( 1 ) - 1 , d o n c ' i 1: ' i , 2 .
Str,rLa Formnle de Picard-Lefschetz
267
Remarque 3.4. Pour X cl'6quation
pour b€ nr- {0},
Q-b:0,
qu'en
les
m6mes
r6sultats
3.1 (a) et (b), ts(o) au secondmernbre
on a
d e ( 3 . 1 . 1 )6 t a n t r e m p l a c 6p a r e 6 ( o ) : u ( b ) t s ( o ) I S G A 7 X V 3 . 3 . 3 1 .I l
est possible qu'nne variante des arguments pr6c6dents permette de les
6tablir clirecternerrt.
C e t r a v a i l a 6 t 6 a c h e v 6 l o r s d ' u n s 6 j o u r , d e m a i A .s e p t e n r b r e 2 0 0 0 , i . I ' U n i v e r s i t 6 c l e
T o k y o , q u e j e r e m e r c i e d e s o n h o s p i t a l i t 6 . J e r e r . n e r c i ec h a l e r r r e r r s e m e n tO . G a b b e r p o l r r s e s
comntentaires cl6taill6ssur des versions p16lirninairescle ce texte, ainsi rlrre T. Saito pour
d ' u t i l e s d i s c t t s s i o n s . . J es u i s t r b s r e c o l r n a i s s a n t a u r a p p o r t e u r p o u r s a l e c t u r e r n i r r i t i e u s e c l e
la version finale et les corrections qtr'i[s nr'n signal6es. Je tiens, enfin, i remercier Nlrne
Bonuardel pour le soin avec leqrrel elle a assurti la saisie du manuscrit.
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