aw - theoreme des fonctions implicites

AW - THEOREME DES FONCTIONS
IMPLICITES
Introduction
Considérons la fonction fdéfinie sur R2par
f(x, y) = x2+y2−1,
et un point (a, b)tel que
f(a, b) = 0 .
On se demande si l’on peut résoudre l’équation
f(x, y) = 0
pour des valeurs voisines de a, c’est-à-dire si l’on peut trouver une fonction gdéfinie au voisinage de a
telle que, pour xvoisin de a,
f(x, g(x)) = 0 .
On voit par exemple que si (a, b)est le point (0,1), ceci est possible puisque
g(x) = p1−x2
vérifie les conditions ci-dessus. C’est encore possible si (a, b)est (0,−1) avec cette fois
g(x) = −p1−x2.
Par contre ce n’est pas possible en (1,0) ou (−1,0).
On remarque que dans les deux premiers cas, la dérivée partielle ∂f
∂y (a, b)est non nulle, alors que dans
les deux autres cas elle est nulle.
Ce résultat se généralise pour des applications fde Rn×Rpdans Rp. Avant de donner le théorème,
fixons quelques notations.
Notons E=Rn,F=Rp,x= (x1,...,xn)un élément de E,y= (y1,...,yp)un élément de F.
Si fest une application définie sur un ouvert Wde E×Fà valeurs dans F, notons f= (f1,...,fp).
La fonction fiest alors une fonction numérique définie sur W. Elle dépend donc de n+pvariables :
fi(x, y) = fi(x1,...,xn, y1,...,yp).
Si fest de classe C1sur W, on note
Jx
f(u, v) = ∂fi
∂xj
(u, v)1≤i≤p
1≤j≤n
et Jy
f(u, v) = ∂fi
∂yj
(u, v)1≤i≤p
1≤j≤p
.

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La matrice jacobienne de fest alors
Jf(u, v) = hJx
f(u, v)Jy
f(u, v)i.
Le théorème des fonctions implicites
Théorème des fonctions implicites Soit fune application de classe C1sur un ouvert Wde
E×Fà valeurs dans Fet (a, b)un point de Wtel que
1) f(a, b) = 0 ,
2) Jy
f(a, b)est inversible.
Alors, il existe un ouvert Ude E, un ouvert Vde F, et une application gde classe C1définie sur
Uà valeurs dans V, tels que
1) (a, b)∈U×V⊂W.
2) Pour tout couple (x, y)de U×V, l’égalité
f(x, y) = 0
implique
y=g(x).
3) Pour tout xde U, on a
f(x, g(x)) = 0 .
4) Pour tout couple (x, y)de U×V, la matrice Jy
f(x, y)est inversible.
La matrice jacobienne de gest alors donnée par la formule
Jg(u) = −Jy
f(u, g(u))−1Jx
f(u, g(u)) .
Cela signifie que, lorsque le déterminant de la matrice jacobienne Jy
f(a, b) = ∂fi
∂yj
(a, b)1≤i≤p
1≤j≤p
est non
nul le système
f1(x1,...,xn, y1,...,yp) = 0
............................
............................
fp(x1,...,xn, y1,...,yp) = 0
possède, pour des valeurs (x1,...,xn)voisines de (a1,...,an), une solution unique de classe C1
y1=g1(x1,...,xn)
...................
...................
yn=gn(x1,...,xn)
.

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Nous ne donnons pas la démonstration de ce théorème. Contentons-nous de déterminer la matrice
jacobienne de g. Pour cela, on considère l’application hdéfinie sur Upar
h(u) = (u, g(u)) .
Elle prend ses valeurs dans E×Fet a pour matrice jacobienne
Jh(u) = In
Jg(u).
Alors
Jf◦h(u) = Jf(h(u)) Jh(u) = hJx
f(h(u)) Jy
f(h(u))iIn
Jg(u)
=Jx
f(h(u)) + Jy
f(h(u)) Jg(u).
Mais
f◦h(u) = f(u, g(u)) = 0 ,
donc
Jf◦h(u) = 0 ,
et on en déduit
−Jx
f(h(u)) = Jy
f(h(u)) Jg(u).
Alors, puisque Jy
f(h(u)) est inversible, on obtient
Jg(u) = −Jy
f(h(u))−1Jx
f(h(u)) .
Exemple : dans le cas d’un système linéaire, on retrouve des résultats d’algèbre linéaire bien connus.
Soit fune application linéaire de E×Fdans F. La matrice jacobienne de fn’est autre que la matrice
de f, puisque la différentielle de fen xn’est autre que f(x). Le système
f(x, y) = 0
s’écrit
(S)
a11x1+···+a1nxn+b11y1+···b1pyp= 0
..........................................
..........................................
ap1x1+···+apnxn+bp1y1+···bppyp= 0
.
Notons
A= [aij ]1≤i≤n
1≤j≤p
et B= [bij]1≤i≤p
1≤j≤p
.
Si l’on suppose
det B= det Jy
f(0,0) = 
b11 ··· b1p
.
.
..
.
.
bp1··· bpp
6= 0 ,

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ce système possède une solution (au voisinage de zéro),
y1=c11x1+···+c1nxn
........................
........................
yp=cp1x1+···+cpnxn
,
avec
C= [cij ]1≤i≤n
1≤j≤n
=−B−1A .
On retrouve le fait que, puisque le système linéaire (S)est de rang p, les inconnues principales x1,...,xp
se calculent en fonction des autres.
Le théorème d’inversion locale
Théorème d’inversion locale Soit hune application injective de classe C1sur un ouvert U
de Rp, à valeurs dans Rp, telle que, pour tout yde U, la matrice Jh(y)soit inversible.
Alors, h(U)est un ouvert de Rp, l’application h−1de h(U)sur Uest une application de classe C1,
et, pour tout xde h(U), on a
Jh−1(x) = (Jh(h−1(x)))−1.
Posons
f(x, y) = h(y)−x .
La fonction fest définie et de classe C1sur l’ouvert W=Rp×U. On a
fi(x, y) = hi(y)−xi,
et ∂fi
∂yj
(x, y) = ∂hi
∂yj
(y).
Donc
Jy
f(x, y) = Jh(y).
Comme Jh(y)est inversible, on peut appliquer le théorème des fonctions implicites à la fonction fen
un point (h(a), a). Il existe donc des ouverts U′et Vde Rp, contenant respectivement h(a)et a, et
une fonction gde U′dans Vde classe C1sur U′, telle que, quel que soit (x, y)dans U′×V,
(f(x, y) = 0) =⇒(y=g(x)) .
Cela se traduit par
(x=h(y)) =⇒(y=g(x)) ,
ce qui prouve que
g(x) = h−1(x).

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D’autre part, pour tout xde U′, on a
f(x, g(x)) = 0 ,
donc
h(g(x)) = x ,
ce qui prouve que xappartient à h(U). Donc U′est inclus dans h(U). Il en résulte que h(U)est ouvert,
et, comme gest de classe C1sur U′, la fonction h−1est de classe C1sur U′. Ce raisonnement étant
valable pour tout point ade U, on en déduit que h−1est de classe C1sur h(U). Alors, puisque l’on a
Jx
f(u, g(u)) = −Ipet Jy
f(u, g(u)) = Jh(g(u)) ,
on obtient
Jg(u) = Jh(g(u))−1.
Remarque : si hn’est pas injective, l’application gvérifie seulement
h◦g(x) = x .
Cas particulier du théorème des fonctions implicites
On prend F=R. Dans ce cas x= (x1,...,xn)est dans Rnet yest réel. La fonction fest une fonction
numérique de n+ 1 variables.
Théorème Soit fune application de classe C1sur un ouvert Wde Rn+1 à valeurs dans Ret
(a1,...,an, b)un point de Wtel que
1) f(a1,...,an,,b) = 0 ,
2) ∂f
∂y (a1,...,an, b)6= 0 .
Alors, il existe un ouvert Ude Rn, un ouvert Vde R, et une application gde classe C1définie sur
Uà valeurs dans V, tels que
1) (a1,...,an,,b)∈U×V⊂W.
2) Quels que soient (x1,...,xn)dans Uet ydans V,
f(x1,...,xn, y) = 0
implique
y=g(x1,...,xn).
3) Quel que soit (x1,...,xn)dans U, on a
f(x1,...,xn, g(x1,...,xn)) = 0 .
4) Si (x1,...,xn, y)appartient à U×V, alors ∂f
∂y (x1,...,xn, y)est non nul.
Alors quel que soit x= (x1,...,xn)dans Uet icompris entre 1et n, on a
∂g
∂xi
(x1,...,xn) = −
∂f
∂xi(x, g(x))
∂f
∂y (x, g(x)) .