Théorie des Graphes - Travaux dirigés n 1

Th´eorie des Graphes - Travaux dirig´es n◦1
Didier MAQUIN
Probl`emes de cheminement
L’objectif est d’impl´ementer “`a la main”, un algorithme de cheminement (en particu-
lier l’algorithme de Ford) pour la recherche de chemins de longueur minimale ou maximale,
ou pour d´eterminer les niveaux d’un graphe.
Rappelons rapidement l’algorithme de Ford. On se donne un graphe Gdont les arcs
sont valu´es positivement par une fonction d(ce graphe peut ´eventuellement comporter des
circuits). On se fixe un sommet aqui sera le sommet de d´epart et on cherche, pour tout
sommet x, un chemin de longueur minimale joignant a`a x.
Pour effectuer cette recherche, on d´efinit, sur tous les sommets du graphe, une fonction
p(le “potentiel”), telle que p(x) repr´esente la longueur du plus court chemin reliant a`a
x. De fa¸con assez intuitive, on peut alors ´ecrire :
1. p(a) = 0
2. pour tout sommet xposs´edant des ant´ec´edents, p(x) = min(p(y) + d(y, x)) o`u yest
un ant´ec´edent de x.
L’algorithme de Ford constitue une illustration, dans un contexte discret, du th´eor`eme
du point fixe. Si fest une application continue d’un espace Fdans lui-mˆeme et si la suite
d´efinie par la connaissance de X0et par Xn+1 =f(Xn) est convergente, alors on d´emontre
que sa limite Xest solution de l’´equation X=f(X). Ceci constitue le “th´eor`eme du point
fixe”.
Pour r´esoudre le probl`eme pr´ec´edent, il suffit donc de construire la suite d´efinie par :
1. p0(a) = 0
2. p0(x) = ∞pour x6=a
3. pour tout sommet xposs´edant des ant´ec´edents, pn+1(x) = min(pn(y) + d(y, x)) o`u
yest un ant´ec´edent de x.
A titre d’exemple, consid´erons le graphe Gd´ecrit par la table de listes d’ant´ec´edents
ci-dessous. On a ´egalement fait figurer dans cette table les diff´erentes valeurs de potentiel
pour une recherche des chemins minimaux issus de a.
a b c d e f
a5b4e3a6c4
Γ−1d1b2d4
e2
P00 +∞+∞+∞+∞+∞
P10 5 9 +∞6 13
P20 5 8 9 6 12
P30 5 8 9 6 12
La suite est stationnaire `a partir du rang 3 et l’on obtient ainsi les longueurs des
chemins minimaux issus du sommet a.
1

Exercice n◦1 : Recherche de chemins optimaux
Consid´erons le graphe Gd´ecrit par la table des ant´ec´edents de chaque sommet :
a b c d e f g h i
a2b3c2d3f3g3h3
Γ−1f1a6h4i3b1g5
Toutes les questions seront r´esolues par une m´ethode de “point fixe” ; on donnera clai-
rement les ´equations et l’initialisation mises en œuvre.
Question 1
Donner la longueur des chemins minimaux (de longueur minimale) reliant le sommet
aaux autres sommets du graphe ; tous les sommets sont-ils reli´es `a a?
Question 2
Mˆeme question si fest le sommet de d´epart.
Question 3
Donner la longueur des chemins maximaux reliant le sommet baux autres sommets
du graphe.
Exercice n◦2 : D´etermination des niveaux d’un graphe
Consid´erons le graphe Gd´ecrit par la table des ant´ec´edents de chaque sommet :
a b c d e f g h i
c2e3e2g5h4i1i2
Γ−1d4h5f1h3g3a1
f5
Question 1
Donner la longueur des chemins minimaux reliant le sommet aaux autres sommets du
graphe.
Question 2
D´eterminer les niveaux de ce graphe. On rappelle que les sommets sans pr´ed´ecesseurs
sont situ´es au niveau 0 (racines) et que le niveau des autres sommets est d´efini par la lon-
gueur, compt´ee en nombre d’arcs, du chemin maximum entre une racine et ces sommets.
On proposera une initialisation permettant de r´epondre `a la question pos´ee.
Question 3
Reprendre la question n◦1 en examinant maintenant les sommets non pas par ordre
alphab´etique, mais selon l’ordre d´efini par leur niveau. Que constate-t-on ?
Exercice n◦3 : Capacit´e d’un r´eseau routier
Avant d’´etablir un projet de construction d’autoroute, on d´esire ´etudier la capacit´e
d’un r´eseau routier, repr´esent´e par le graphe 1, reliant la ville E`a la ville S.
2

e
E b
c
d
g
a
5
7
10
4
2
f
S
8
1226
4
8
10
6
10
7
Fig. 1 – R´eseau routier
Pour cela, on a ´evalu´e le nombre maximal de v´ehicules que chaque route peut ´ecouler
par heure, compte tenu des ralentissements aux travers´ees des villes et villages, des arrˆets
aux feux, etc. Ces ´evaluations sont indiqu´ees en centaines de v´ehicules par heure sur les
arcs du graphe. Les temps de parcours entre villes sont tels que les automobilistes n’em-
prunteront que les chemins repr´esent´es par le graphe.
Question 1
Quel est le d´ebit horaire total maximal de v´ehicules susceptibles de s’´ecouler entre les
villes Eet S? (Il s’agit bien sˆur d’un probl`eme de recherche de flot maximal que l’on
pourra r´esoudre en utilisant la m´ethode de Ford et Fulkerson).
Question 2
Quels sont les arcs constituant des “goulets d’´etranglement”, c’est-`a-dire limitant le
plus le flot horaire de v´ehicules ?
3

e
E b
c
d
g
a
f
S
e
E b
c
d
g
a
f
S
e
E b
c
d
g
a
f
S
e
E b
c
d
g
a
f
S
Figures permettant de “d´erouler manuellement l’algorithme”.
4

e
E b
c
d
g
a
f
S
e
E b
c
d
g
a
f
S
e
E b
c
d
g
a
f
S
e
E b
c
d
g
a
f
S
Figures permettant de “d´erouler manuellement l’algorithme”.
5