Algèbres de Hopf libres et colibres

Introduction
Structure d’une algèbre de Hopf libre et colibre
Algèbres de Hopf libres et colibres
Loïc Foissy
octobre 2011
Loïc Foissy
Algèbres de Hopf libres et colibres
Introduction
Structure d’une algèbre de Hopf libre et colibre
Exemples en combinatoires
Exemples en physique
Exemples opéradiques
Résultats connus sur ces objets
La théorie des algèbres de Hopf combinatoires a fait apparaître
un nombre important d’algèbres de Hopf graduées et connexes.
Un certain nombre d’entre elles sont libres et colibres.
Loïc Foissy
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Structure d’une algèbre de Hopf libre et colibre
Exemples en combinatoires
Exemples en physique
Exemples opéradiques
Résultats connus sur ces objets
L’algèbre FQSym (ou algèbre de Malvenuto-Reutenauer) a
pour base l’ensemble des permutations.
Son produit est donné par les battages décalés :
(12)(123) = (12)(345)
= (12345) + (13245) + (13425) + (13452)
+(31245) + (31425) + (31452) + (34125)
+(34152) + (34512).
Son coproduit est donné par la standardisation :
∆(1432) = (1423) ⊗ 1 + (143) ⊗ (2)
+(14) ⊗ (32) + (1) ⊗ (432) + 1 ⊗ (1432)
= (1423) ⊗ 1 + (132) ⊗ (1)
+(12) ⊗ (21) + (1) ⊗ (321) + 1 ⊗ (1432).
Loïc Foissy
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Exemples opéradiques
Résultats connus sur ces objets
Résultats connus
FQSym est graduée par la taille des permutations.
Elle est librement engendrée par les permutations
indécomposables : σ ∈ Sn est décomposable si il existe
1 ≤ i ≤ n − 1 tel que σ({1, . . . , i}) = {1, . . . , i}.
Elle est auto-duale, via le couplage défini par
hσ, τ i = δσ,τ −1 (couplage de Hopf non dégénéré).
Elle est donc colibre.
Loïc Foissy
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Exemples opéradiques
Résultats connus sur ces objets
Autres exemples
L’algèbre des fonctions de parking (Novelli-Thibon).
L’algèbre des permutations par blocs (Aguiar-Orellana).
L’algèbre des compositions ensemblistes.
Loïc Foissy
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Résultats connus sur ces objets
L’algèbre des arbres enracinés plans HPR est un modèle non
commutatif de l’algèbre de Connes-Kreimer utilisée pour la
Renormalisation.
Une base de cette algèbre est donnée par les forêts
planes enracinées :
q
q
q q q qq
1, q , q q , q , q q q , q q , q q , ∨q , q ,
q qq q qq q q qq q q
qq
qq q
q q q q , qq q q , q qq q , q q qq , qq qq , ∨q q , q ∨q , qq q , q qq , ∨q , ∨q , ∨q , ∨qq ,
Le produit est donné par la concaténation des forêts.
Loïc Foissy
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qq
qq
...
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Exemples en combinatoires
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Résultats connus sur ces objets
Le coproduit est donné par les coupes admissibles :
X
∆(t) =
P c (t) ⊗ R c (t).
c coupe admissible
q
q q
q
qq
∨q
∨q
coupe c
Admissible ? oui oui
∨q
oui
∨q
∨q
oui non
q
qq
q
qq
∨q
oui
∨q
totale
non
oui
qq qq
qq
q ∨q
q q qq
qq q q
qq q q
qqqq
∨q
qq
∨q
qq
qq
qq
q
∨q
oui
×
q
qq
×
1
qq
q
q
×
qq q
qq
×
∨q
W c (t)
R c (t)
P c (t)
q
q q
∨q
q
q q
∨q
1
q
qq
qq
q
qq
q
q q
q
q q
q
q q
q
q q
q
q
q
qq q
qq
q q
qq
qq
q
q
q
∆( ∨q ) = ∨q ⊗1+1⊗ ∨q + q ⊗ q + q ⊗ ∨q + q ⊗ q + q q ⊗ q + q q ⊗ q .
Loïc Foissy
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Résultats connus sur ces objets
Résultats connus
Cette algèbre est graduée par le nombre de sommets des
forêts. Sa série formelle est :
√
1 − 1 − 4X
.
2X
Elle est librement engendrée par l’ensemble des arbres
enracinés plans.
Elle possède un couplage de Hopf non dégénéré, donc est
auto-duale.
Elle est donc colibre.
Loïc Foissy
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Résultats connus sur ces objets
Autres exemples
Si D est un ensemble gradué, on peut construire l’algèbre
des arbres plans enracinés décorés par D. On obtient une
algèbre de Hopf libre et colibre, de série formelle :
p
1 − 1 − 4D(X )
2D(X )
où D(X ) est la série formelle de D.
L’algèbre de Hopf des forêts ordonnées.
L’algèbre des posets doubles de Malvenuto et Reutenauer.
K [X ] si K est de caractéristique nulle.
Loïc Foissy
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Résultats connus sur ces objets
Une algèbre de Hopf 2-As possède deux produits associatifs
partageant la même unité et un coproduit coassociatif, avec les
compatibilités suivantes :
1
∆(xy ) = ∆(x)∆(y ) : avec le premier produit, c’est une
algèbre de Hopf.
2
∆(x ? y ) = (x ⊗ 1) ? ∆(y ) + ∆(x) ? (1 ⊗ y ) − x ⊗ y : avec le
second produit, c’est une algèbre de Hopf infinitésimale.
Loïc Foissy
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Résultats connus sur ces objets
L’algèbre 2-As libre à un générateur est de Hopf. Elle possède
une description en terme d’arbres plans réduits, avec une
décoration sur la racine. Par exemple :
qq
qq
qq qq
q q q q q q q q q q qq
q ∨q q q q q
∨q q q q q q ∨
q ∨q
∨q . ∨q = H
∨
q , ∨q . q ∗ = ∨q , ∨q ∗ . ∨q = ∨q , ∨q ∗ . ∨q ∗ = H
q
qq
qq
qq qq
∨q q q q
qq
q ∨q
q q
q q
q q q q q ∨q q q qq
q q q q
∨q ? ∨q =∨H
q ∗
q ∗ , ∨q ? q ∗ = ∨q ∗ , ∨q ∗ ? ∨q = ∨q ∗ , ∨q ∗ ? ∨q ∗ = H∨
Loïc Foissy
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Théorème
L’algèbre 2-As libre à un générateur est librement
engendré par q et les arbres à racines décorées par ∗.
Elle est colibre (car c’est aussi une algèbre de Hopf
infinitésimale).
Loïc Foissy
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Autres exemples
L’algèbre dendriforme libre à un générateur (algèbre des
arbres binaires de Loday et Ronco).
L’algèbre diptère libre à un générateur.
Loïc Foissy
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Résultats connus sur ces objets
Résultats connus
Toutes les algèbres de Hopf présentées sont auto-duales.
Deux objets précédents ayant la même série formelle sont
isomorphes.
A l’exception de K [X ], les objets précédents sont tous
isomorphes à des algèbres d’arbres plans décorés par un
certain ensemble gradué.
Méthodes utilisées :
Isomorphismes ou couplages de Hopf explicites.
Méthode de scindement de (co)-associativité et théorème
de rigidité.
Loïc Foissy
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Résultats connus sur ces objets
Une bigèbre bidendriforme est une algèbre de Hopf dont le
produit peut s’écrire m =≺ + et le coproduit peut s’écrire
∆ = ∆≺ + ∆ , avec les compatibilités suivantes :
Algèbre dendriforme :
(a ≺ b) ≺ c = a ≺ (bc)
(a b) ≺ c = a (b ≺ c)
(ab) c = (a b) c.
Cogèbre dendriforme :
(∆≺ ⊗ Id) ◦ ∆≺ = (Id ⊗ ∆) ◦ ∆≺
(∆ ⊗ Id) ◦ ∆≺ = (Id ⊗ ∆≺ ) ◦ ∆
(∆ ⊗ Id) ◦ ∆≺ = (Id ⊗ ∆ ) ◦ ∆ .
Loïc Foissy
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Résultats connus sur ces objets
Compatibilités entre les deux produits et les deux
coproduits :
0
00
0
00
∆ (a b) = a0 b
⊗ a00 b
+ a0 ⊗ a00 b + b
⊗ a b
0
00
+ab
⊗ b
+ a ⊗ b,
0
00
0
00
∆ (a ≺ b) = a0 b
⊗ a00 ≺ b
+ a0 ⊗ a00 ≺ b + b
⊗ a ≺ b
,
0
00
0
00
∆≺ (a b) = a0 b≺
⊗ a00 b≺
+ ab≺
⊗ b≺
00
0
+b≺
⊗ a b≺
,
0
00
∆≺ (a ≺ b) = a0 b≺
⊗ a00 ≺ b≺
+ a0 b ⊗ a00
0
00
+b≺
⊗ a ≺ b≺
+ b ⊗ a.
Loïc Foissy
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Résultats connus sur ces objets
Théorème de rigidité
Les bigèbres bidendriformes libres sont les algèbres
d’arbres plans décorés.
Toute bigèbre bidendriforme graduée et connexe est
librement engendrée (comme algèbre dendriforme) par les
éléments primitifs pour les coproduits ∆≺ et ∆ , donc est
une algèbre de Hopf d’arbres plans décorés.
Les décorations correspondent à une base des éléments
primitifs pour les deux coproduits.
Loïc Foissy
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Résultats connus sur ces objets
Par exemple, FQSym est bidendriforme :
(12) ≺ (123) = (13452) + (31452) + (34152) + (34512)
(12) (123) = (12345) + (13245) + (13425)
+(31245) + (31425)(34125).
∆≺ (1432) = (1423) ⊗ 1 + (132) ⊗ (1) + (12) ⊗ (21)
∆ (1432) = (1) ⊗ (321) + 1 ⊗ (1432).
Loïc Foissy
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Exemples en physique
Exemples opéradiques
Résultats connus sur ces objets
Questions
Toute algèbre de Hopf libre et colibre est elle autoduale ?
Deux algèbres libres et colibres de même série formelle
sont elles toujours isomorphes ?
A l’exception de K [X ], une algèbre de Hopf libre et colibre
est elle toujours isomorphe à une algèbre d’arbres plans
décorés ?
Loïc Foissy
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Auto-dualité et isomorphismes
Eléments primitifs
Séries formelles possibles
Isomorphismes non gradués
Soit H une algèbre de Hopf graduée, connexe. Soit H + son
idéal d’augmentation, g l’algèbre de Lie de ses éléments
primitifs. On peut alors décomposer H en quatre sous-espaces
gradués :
H = (g ∩ H +2 ) ⊕ m ⊕ h ⊕ w,
avec :
1
g = g ∩ H +2 ⊕ h.
2
H +2 = g ∩ H +2 ⊕ m .
Lemme
1
2
Si H est libre, h ⊕ w engendre librement H.
Si H est libre et colibre, g ∩ H +2 et w ont la même série
formelle.
Loïc Foissy
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Auto-dualité et isomorphismes
Eléments primitifs
Séries formelles possibles
Isomorphismes non gradués
Si de plus H possède un couplage de Hopf symétrique non
dégénéré, alors :
g⊥ = (1) ⊕ H +2 .
En conséquence :
Lemme
1
2
g
g∩H +2
≈ h possède un couplage non dégénéré.
Après avoir choisi h et m, on peut choisir w telle que dans
des bases adaptées à la décomposition précédente, la
matrice du couplage est la forme :


0 0 0 I
 0 A 0 0 


 0 0 B 0 .
I 0 0 0
Loïc Foissy
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Auto-dualité et isomorphismes
Eléments primitifs
Séries formelles possibles
Isomorphismes non gradués
Réciproquement, si on se donne un couplage symétrique non
dégénéré sur h, on peut l’étendre en un couplage de Hopf non
dégénéré sur H. En conséquence :
Théorème
Toute algèbre de Hopf libre, colibre, graduée et connexe est
auto-duale.
Loïc Foissy
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Auto-dualité et isomorphismes
Eléments primitifs
Séries formelles possibles
Isomorphismes non gradués
Idée de la preuve
On définit le couplage sur Hn par récurrence sur n. Le couplage
est défini uniquement par :
hx, yzi = h∆(x), y ⊗ zi pour tous x ∈ w ⊕ m, pour tout
y , z ∈ H +.
hx, y i = 0 si x, y ∈ w.
Loïc Foissy
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Auto-dualité et isomorphismes
Eléments primitifs
Séries formelles possibles
Isomorphismes non gradués
Soient deux algèbres de Hopf H et H 0 , libres et colibres,
graduées et connexes, de même série formelle.
g
g∩H +2
et
g0
g0 ∩H 0+2
ont la même série
1
On montre tout d’abord
formelle.
2
On fixe des couplages isométriques non dégénérés sur
ces deux espaces.
3
4
5
En identifiant ces espaces avec h et h0 , on étend ces
couplages en couplages de Hopf sur H et H 0 .
L’isométrie entre h et h0 est étendue en un morphisme
d’algèbres isométrique entre H et H 0 .
En utilisant les deux couplages de Hopf, cette isométrie est
un isomorphisme d’algèbres de Hopf.
Loïc Foissy
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Eléments primitifs
Séries formelles possibles
Isomorphismes non gradués
Théorème
Deux algèbres de Hopf, libres et colibres, graduées et
connexes, sont isomorphes (comme algèbres de Hopf
graduées) si, et seulement si, elles ont la même série formelle.
Loïc Foissy
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Auto-dualité et isomorphismes
Eléments primitifs
Séries formelles possibles
Isomorphismes non gradués
On suppose maintenant que le corps de base est de
caractéristique nulle.
Proposition
1
2
g ∩ H +2 = [g, g].
h engendre librement l’algèbre de Lie g et la sous-algèbre
librement engendrée par h est isomorphe à U(g).
Loïc Foissy
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Auto-dualité et isomorphismes
Eléments primitifs
Séries formelles possibles
Isomorphismes non gradués
En conséquence, on peut déterminer la série formelle de h en
fonction de la série formelle de H. On pose rn = dim(Hn ),
pn = dim(gn ) et sn = dim(hn ). Alors :
Théorème
X
X
pn hn = 1 − X
sn hn = 1 −
Loïc Foissy
1
rn h n
,
Y
(1 − hn )pn .
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Eléments primitifs
Séries formelles possibles
Isomorphismes non gradués
Exemples
s 1 = r1
1
3
s2 = r2 − r12 + r1
2
2
13 3
1
1
s3 = r3 + r1 − 3r1 r2 − r12 +
r
3
2
6 1
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Eléments primitifs
Séries formelles possibles
Isomorphismes non gradués
Théorème
P
Soit R(X ) = rn X n une série formelle à coefficients positifs. Il
existe une algèbre de Hopf libre et colibre de série formelle
R(X ) si, et seulement si, sn ≥ 0 pour tout n.
Idée de la preuve. =⇒. Car sn est le nombre de générateurs de
g de degré n.
⇐=. On construit une telle algèbre comme
quotient/sous-algèbre d’une algèbre d’arbres décorés par un
ensemble avec sn générateurs primitifs de degré n pour tout n.
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Auto-dualité et isomorphismes
Eléments primitifs
Séries formelles possibles
Isomorphismes non gradués
On définit les coefficients dn par :
X
X
rn X n − 1
n
dn X = X
2 .
n
rn X
Exemples
d 1 = r1
d2 = r2 − 2r12
d3 = r3 − 4r2 r1 + 3r12 .
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Auto-dualité et isomorphismes
Eléments primitifs
Séries formelles possibles
Isomorphismes non gradués
Théorème
Il existe une
de Hopf d’arbres plans décorés de série
P algèbre
formelle
rn X n si, et seulement si, dn ≥ 0 pour tout n.
Corollaire
Il existe des algèbres de Hopf, libres et colibres, graduées et
connexes, qui ne sont ni isomorphe à K [X ] ni à aucune algèbre
d’arbres plans décorés (par exemple, on choisit s1 = 1, s2 = 1,
s3 = 0).
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Eléments primitifs
Séries formelles possibles
Isomorphismes non gradués
Théorème
Deux algèbres de Hopf libres et colibres H et H 0 sont
isomorphes
non gradués) si, et seulement si,
(en tant
qu’objets
g0
g
dim [g,g] = dim [g0 ,g0 ] .
Idée de la preuve : on munit H et H 0 d’une graduation sur N2 .
Corollaire
A l’exception de K [X ], toutes les algèbres de Hopf de
l’introduction sont isomorphes.
Loïc Foissy
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