Algèbres de Hopf libres et colibres

Introduction
Structure d’une algèbre de Hopf libre et colibre
Algèbres de Hopf libres et colibres
Loïc Foissy
octobre 2011
Loïc Foissy Algèbres de Hopf libres et colibres

Introduction
Structure d’une algèbre de Hopf libre et colibre
Exemples en combinatoires
Exemples en physique
Exemples opéradiques
Résultats connus sur ces objets
La théorie des algèbres de Hopf combinatoires a fait apparaître
un nombre important d’algèbres de Hopf graduées et connexes.
Un certain nombre d’entre elles sont libres et colibres.
Loïc Foissy Algèbres de Hopf libres et colibres

Introduction
Structure d’une algèbre de Hopf libre et colibre
Exemples en combinatoires
Exemples en physique
Exemples opéradiques
Résultats connus sur ces objets
L’algèbre FQSym (ou algèbre de Malvenuto-Reutenauer) a
pour base l’ensemble des permutations.
Son produit est donné par les battages décalés :
(12)(123)=(12)(345)
= (12345)+(13245)+(13425)+(13452)
+(31245)+(31425)+(31452)+(34125)
+(34152)+(34512).
Son coproduit est donné par la standardisation :
∆(1432)=(1423)⊗1+ (143)⊗(2)
+(14)⊗(32)+(1)⊗(432) + 1⊗(1432)
= (1423)⊗1+ (132)⊗(1)
+(12)⊗(21)+(1)⊗(321) + 1⊗(1432).
Loïc Foissy Algèbres de Hopf libres et colibres

Introduction
Structure d’une algèbre de Hopf libre et colibre
Exemples en combinatoires
Exemples en physique
Exemples opéradiques
Résultats connus sur ces objets
Résultats connus
FQSym est graduée par la taille des permutations.
Elle est librement engendrée par les permutations
indécomposables : σ∈Snest décomposable si il existe
1≤i≤n−1 tel que σ({1, . . . , i}) = {1, . . . , i}.
Elle est auto-duale, via le couplage défini par
hσ, τ i=δσ,τ −1(couplage de Hopf non dégénéré).
Elle est donc colibre.
Loïc Foissy Algèbres de Hopf libres et colibres

Introduction
Structure d’une algèbre de Hopf libre et colibre
Exemples en combinatoires
Exemples en physique
Exemples opéradiques
Résultats connus sur ces objets
Autres exemples
L’algèbre des fonctions de parking (Novelli-Thibon).
L’algèbre des permutations par blocs (Aguiar-Orellana).
L’algèbre des compositions ensemblistes.
Loïc Foissy Algèbres de Hopf libres et colibres