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UNIVERSITÉ D’AIX-MARSEILLE I - U.F.R. M.I.M.
THÈSE
pour obtenir le grade de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE PROVENCE
Discipline :Mathématiques
ECOLE DOCTORALE de Mathématiques et Informatique de Marseille
présentée et soutenue publiquement
par
Romain BONDIL
le 10 juin 2002
Géométrie des problèmes de multiplicité
et équisingularité dans un idéal
Directeur de thèse :
M. LÊ D˜ung Tráng
RAPPORTEURS
Mme Monique LEJEUNE-JALABERT Directeur de recherche, Université de Versailles
M. Mark SPIVAKOVSKY Directeur de recherche, Université de Toulouse
JURY
M. Paul-Jean CAHEN Professeur, Université Aix-Marseille III
M. LÊ D˜ung Tráng Professeur, Université de Provence
Mme Monique LEJEUNE-JALABERT Directeur de recherche, Université de Versailles
M. Mark SPIVAKOVSKY Directeur de recherche, Université de Toulouse
M. Bernard TEISSIER Directeur de recherche, Université de Paris VII
M. David TROTMAN Professeur, Université de Provence

Remerciements singuliers et pluriels
Ma première rencontre avec Lê D˜ung Tráng date de novembre 1996, alors que je venais lui
demander un sujet de mémoire de D.E.A. A l’occasion de ce mémoire, son souci constant de
me permettre de dégager des concepts (géométriques ou combinatoires) au-delà des descriptions
calculatoires m’a séduit et a participé à ma décision d’entreprendre une thèse.
Au cours de cette thèse, j’ai eu bien davantage l’occasion de profiter de la personnalité de
mathématicien de Lê D˜ung Tráng, d’abord de son extraordinaire intuition qui traverse les diffi-
cultés techniques, ensuite de l’étendue de sa curiosité et de sa culture mathématique, qui donnent
libre champ à ses étudiants de s’orienter vers tel aspect de la théorie des singularités. Sur le plan
humain, j’ai profité chez Tráng, outre sa patience, de son optimisme constant : il m’a appris que,
certainement, sans optimisme on ne peut pas démontrer de théorème. Le sien me paraît indestruc-
tible, et si je ne suis parfois pas sorti de son bureau plus assuré techniquement, j’y ai toujours
retrouvé cette assurance de la valeur de l’activité mathématique, activité qui me semble chez lui
extraordinairement naturelle!
J’ai eu aussi la chance de rencontrer Bernard Teissier au tout début de cette thèse, et de
bénéficier de ses conseils et de ses encouragements. Ensuite, Bernard Teissier n’a cessé de suivre
et soutenir mes différents travaux par son invitation à la conférence internationale de Saskatoon
d’abord, puis par son accueil, patient, clairvoyant et disponible même pour les points les plus
techniques, au séminaire de l’Institut de Chevaleret.
La préparation de ces séminaires me permit de passer au crible les détails des travaux présentés
ici. Ils furent aussi l’occasion de rencontre avec (notamment) M. Vaquié, O. Piltant, A. Reguera, et
bien sûr Monique Lejeune-Jalabert. Je remercie chacun d’eux pour les conversations qu’ils m’ont
accordé, et les mathématiques que j’y ai apprises.
Les travaux de Monique Lejeune-Jalabert ont eu une grande influence sur moi. Le survey [LJ]
d’une part, et ses travaux avec G. Gonzalez-Sprinberg d’autre part, m’ont ouvert la compréhension
des propriétés des familles de courbes, et ont motivé mes travaux pour réunir ces deux points
de vues. Dans chacun de ces articles de Monique Lejeune-Jalabert, j’ai retrouvé le même soin du
détail et de la clarté d’exposition : de tout cela jeveuxlaremercier,ainsi,biensûrquedutravail
de rapporter cette thèse qu’elle a bien voulu accepter.
Les travaux de Mark Spivakovsky, et notamment ses “sandwichs”, ont également nourri ma
formation, et aussi certains projets non aboutis... pour l’instant! J’ai été très honoré qu’il ait
accepté la charge de rapporteur de cette thèse. Je dois dire que j’ai bénéficié d’un rapporteur
exceptionnel qui non content de relever une erreur dans un résultat intermédiaire, m’a aussi donné
la solution pour y palier en améliorant ainsi substantiellement la fin du premier chapitre.
L’algèbre commutative est le substrat techniqued’unepartiedecettethèse:jeremerciePaul-
Jean Cahen pour son cours d’algèbre commutative et quelques discussions “divisorielles”. Je suis
heureux qu’il ait accepté de faire partie de ce jury sur une thèse dont les deux premiers chapitres
voudraient être une algèbre figurée (cf. [Ei] p. 23)...
Je dois à David Trotman ma première rencontre avec la théorie des singularités (réelles) en
été 1995, lors de mon stage de première année d’E.N.S. Qu’il me soit permis ici de le remercier
de cette première expérience. Je le remercie aussi comme directeur de l’école doctorale, pour les
opportunités de déplacements à Nice, Trieste, Paris et Saskatoon, qui m’ont été données.
Al’UniversitédeNice,jeveuxremercierlesprofesseursJ.Briançon,Ph.Maisonobe,etM.
Merle, qui m’avaient ouvert le monde des singularités des courbes encore lors d’un stage en 1996.
Durant ma thèse, j’ai retrouvé avec plaisir cette université lors des séminaires Nice-Marseille, puis
àl’occasiond’uneinvitationinformelledeMichelMerle,quim’aécoutéunejournéeentière!
Al’I.M.L.deMarseille,jeveuxremercierJean-PaulBrasseletetAnnePichonpourl’organi-
sation d’un groupe de travail... à reprendre! Merci aussi à Jean-Paul pour son cours torique, et
sa disponibilité toujours souriante même pour m’accepter en conférencier de dernière minute au
C.I.R.M.
Au C.M.I. enfin, j’ai bénéficié aussi des cours et des conversations de G. Dloussky et K. Oe-
jelklaus, ainsi que de celles de leurs élèves Dan Zaffran et Laurent Bruasse. Par delà la distinction
analytique/algébrique ou local/global, certains objets communs ressurgissent avec surtout la pré-
occupation de faire de la géométrie.
Pour revenir au domaine des singularités, je veux aussi remercier tout spécialement les élèves

de Lê D.T. et B. Teissier que j’ai rencontrés à Marseille et à Paris. En tout premier lieu, je
remercie très chaleureusement mon ami Jawad Snoussi pour sa présence au début de ma thèse,
pour l’introduction au domaine des singularités des surfaces que sa propre thèse a constitué pour
moi, et par dessus tout pour toutes les questions que nous avons échangées par email ou de vive voix
depuis quatre ans. Je veux ensuite remercier Meral Tosun, Fathi Youcef, Patrick Popescu-Pampu,
Pedro González-Pérez, pour ces moments privilégiés de discussions sur des thèmes singuliers, pour
leur écoute, leurs questions ou leurs explications. Parmi ceux qui sont encore en cours de thèse, je
souhaite bon courage à Jean Pagnon et Eric Akeke : merci spécialement à Jean pour sa ténacité
(jointe à celle de Lê) à nous ouvrir le monde des singularités des orbites nilpotentes, malgré ma
propre lenteur à y rentrer.
Parmi les autres compagnons-thésards du C.M.I, je veux remercier tout spécialement Guillaume
Valette et Dwi Juniati. Merci à Guillaume pour avoir partagé chacun à nos bureaux ces dures heures
de début d’après-midi, que venaient rythmer Baudelaire, Rimbaud, ou bien Brassens ou Gaston
Berger... alors que la machine à café nous versait son poison pour qu’il nous réconforte. Merci à
Yuni, pour son sourire, parce qu’elle a « toujours gardé le courage », son exemple rendant illusoires
nos petites déprimes: terima kasih banyak.
Merci à tous ceux qui sont passés dans mon bureau pour m’« embêter avec leurs problèmes » et
ainsi m’ouvrir à d’autres mathématiques : Sylvain (merci aussi pour Linux), Jerôme, Emmanuel...
Le travail de cette thèse a été fait pour l’essentiel à Marseille, au Centre de Mathématiques
et d’Informatique; je voudrais en remercier ici tous les responsables (passés et présents) pour les
conditions de travail excellentes dont j’ai pu bénéficier ici, notamment l’accès permanent à l’univers
(voir p. 183) et à la tranquillité de ma cellule R 122. Un merci spécial à Noelle Tabarracci pour sa
faculté à régler tous nos problèmes, et à Anna Wojciechowska et Gérard Henry pour les livres et
les ordinateurs respectivement.
Malgré son confort, l’univers de la cellule R 122 ne suffisait pas. Merci au soleil et au vent sur
les Calanques et la Sainte Victoire, à tous ceux qui ont tracés des voies sur ces falaises; merci à
Gérard pour les discussions à rallonge sur les voies du week-end, et quand le temps était trop court
pour sortir, merci aux amis de la salle Grimper : ça fait du bien quelques blocs entre deux lemmes!
Merci enfin à ma famille et mes amis, notamment pour tout le temps que, grâce à eux, je n’ai
pas consacré à cette thèse ! Un merciparticulieràmonfrèreFrédéricpourl’exempledesaténacité
dans sa propre thèse. Merci à mes parents pour leur soutien, et spécialement à ma mère, à qui je
dédie cette thèse avec l’ensemble de mes efforts pour étudier, qui ne sont qu’une modeste réponse
àtoutcequ’elleapunousdonner.
Loin de la surface des choses, j’adresse enfin à mon épouse Marie un merci qui n’est destiné
qu’à elle seule, comme le murmure d’un fin silence entre nous.

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TABLE DES MATIÈRES 5
Table des matières
IPropriétésgéométriquesd’élémentsgénériquesdansunidéal 9
Introduction 11
1Élémentssuperficielsetgéométrie 17
1.1 Généralités sur les éclatements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.1 Construction de l’éclatement d’un idéal . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.2 Transformée faible comme section par une hypersurface . . . . . . . 22
1.1.3 Équation de la transformée faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.1.4 Fibre au-dessus de l’idéal maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.1.5 Notion de transformée stricte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.1.6 Dimension dans les éclatements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.1.7 Décomposition primaire de Ret éclatement . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2 Invariants de Hilbert-Samuel d’un idéal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.1 Fonctions et polynômes de Hilbert-Samuel . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.2 Caractéristique d’Euler, résolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.3 Éléments superficiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3 Éléments transverses, approche algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3.1 Définitions et motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3.2 Deux suites exactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3.3 Sorite d’égalité dans inI(f).G(I,R)⊂inI(fR)............. 38
1.3.4 Injectivité de la multiplication par fdans G(I,R)........... 40
1.3.5 Caractérisation des éléments F-transverses . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.3.6 Caractérisation des éléments P1-transverses . . . . . . . . . . . . . . 44
1.3.7 Éléments superficiels et P0-transversalité . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.4 Géométrie des éléments superficiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.4.1 Traduction géométrique de la notion d’élément superficiel . . . . . . 46
1.4.2 Approche géométrique de la caractérisation de Kirby . . . . . . . . . 50
2Élémentsv-superficiels 57
2.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.1.1 Définition avec la transformée faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.1.2 Caractérisation dans G(I,R)....................... 59
2.1.3 Un exemple d’élément v-superficiel non superficiel . . . . . . . . . . 59
2.2 Théorie géométrique de la multiplicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.2.1 Multiplicités de modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.2.2 Un théorème de Flenner-Vogel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2.3 Applications à la multiplicité e(I/f,R/f)............... 62
2.3 Éléments v-superficiels et réductions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.3.1 Réduction et clôture intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65