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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 28 décembre 2016 Enoncés 1
Exercice 1 [ 02796 ] [Correction]
Soit (un) une suite réelle décroissante et positive. On pose
vn=2nu2n
Déterminer la nature de Pvnen fonction de celle de Pun.
Exercice 2 [ 02797 ] [Correction]
Soit (un) une suite décroissante d’éléments de R+, de limite 0. Pour n≥1, on pose
vn=n2un2
Y a-t-il un lien entre la convergence des séries de termes généraux unet vn?
Exercice 3 [ 02803 ] [Correction]
Étudier
lim
n→∞ lim m→∞
n
X
i=0
m
X
j=0
(−1)i+jti+j+1
Exercice 4 [ 02806 ] [Correction]
Nature et calcul de la somme de la série de terme général
+∞
X
k=n
(−1)k
k2
Exercice 5 [ 03879 ] [Correction]
On donne une suite réelle (an).
On suppose que les séries Panet P|an+1−an|convergent. Montrer que la série Pa2
n
converge.
Exercice 6 [ 02790 ] [Correction]
Nature de la série de terme général
un=ln 1+(−1)n
na!
où a>0.
Exercice 7 [ 02800 ] [Correction]
(a) Soient (un)n≥0et (vn)n≥0deux suites réelles, λ∈R. On suppose :
∀n∈N,un≥0,X|vn|converge et un+1
un
=1−λ
n
+vn
Montrer que (nλun) converge.
(b) Nature de la série de terme général
nn
n!en?
Exercice 8 [ 02791 ] [Correction]
Nature de la série de terme général
un=ln √n+(−1)n
√n+a!
où a∈R.
Exercice 9 [ 02799 ] [Correction]
Soient α > 0 et (un) une suite de réels strictement positifs vérifiant
u1/n
n=1−1
nα+o 1 nα!
La série de terme général unconverge-t-elle ?
Exercice 10 [ 02802 ] [Correction]
Soient (a, α)∈R+×Ret, pour n∈N∗:
un=aPn
k=11/kα
(a) Pour quels couples (a, α) la suite (un) est-elle convergente ? Dans la suite, on suppose
que tel est le cas, on note `=lim unet on pose, si n∈N∗,
vn=un−`
(b) Nature des séries de termes généraux vnet (−1)nvn.
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 28 décembre 2016 Enoncés 2
Exercice 11 [ 02784 ] [Correction]
Soit u0∈]0 ; 2π[ puis
∀n∈N,un+1=sin (un/2)
(a) Montrer que (un) tend vers 0.
(b) Montrer que lim(2nun)=Apour un certain A>0.
(c) Trouver un équivalent simple de (un−A2−n).
Exercice 12 [ 02793 ] [Correction]
Convergence de la série de terme général un=sin π√n2+1.
Exercice 13 [ 03850 ] [Correction]
Soit Punune série à termes positifs convergente. On note
Rn=
+∞
X
k=n+1
uk
et on suppose
un∼R2
n
Déterminer un équivalent de un.
Exercice 14 [ 02809 ] [Correction]
On pose
an=1
n+1+1 n+2+··· +1 3n
(a) Montrer que la suite (an) converge et trouver sa limite λ.
(b) Trouver un équivalent simple de an−λ.
Exercice 15 [ 02794 ] [Correction]
Nature de la série de terme général
un=sin π(2 +√3)n
Exercice 16 [ 02801 ] [Correction]
Soient αdans R∗,aet bdans R\N. On pose
u0=αet ∀n∈N,un+1=n−a
n−bun
Étudier la nature de la série de terme général unet calculer éventuellement sa somme.
Exercice 17 [ 02789 ] [Correction]
Nature de la série de terme général
e−1+1
nn
n3/2−n3/2+n
Exercice 18 [ 02792 ] [Correction]
Nature de la série de terme général
nα
Pn
k=2ln2k
où αest réel.
Exercice 19 [ 02804 ] [Correction]
Convergence puis calcul de
+∞
X
n=1
1
12+22+··· +n2
Exercice 20 [ 02798 ] [Correction]
Soient α∈Ret f∈ C0([0 ; 1],R) telle que f(0) ,0. Étudier la convergence de la série de
terme général
un=1
nαZ1/n
0
f(tn) dt
Exercice 21 [ 02795 ] [Correction]
Soit α∈R∗. On pose, pour n∈N∗
un=1
Pn
k=1kα
Nature de la série de terme général un?
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Exercice 22 [ 02805 ] [Correction]
Calculer +∞
X
n=0
(−1)n
4n+1
Exercice 23 [ 02810 ] [Correction]
On pose f(x)=sin(ln x)
xpour tout x≥1 et un=Rn
n−1f(t) dt−f(n) pour tout entier n≥2.
(a) Montrer que f0est intégrable sur [1 ; +∞[.
(b) Montrer que la série de terme général unest absolument convergente.
(c) Montrer que la suite (cos(ln n)) diverge.
(d) En déduire la nature de la série de terme général f(n).
Exercice 24 [ 03750 ] [Correction]
Soit (un) une suite réelle strictement positive et convergeant vers 0. On pose
vn=un+1
Sn
avec Sn=
n
X
k=0
uk
Montrer que les séries Punet Pvnont même nature.
Exercice 25 [ 03882 ] [Correction]
Déterminer
lim
n→+∞
1
n
n
Y
k=1
(3k−1)1/n
Exercice 26 [ 03119 ] [Correction]
Soient (un)n≥0et (vn)n≥0dans (R+)Ntelles que
∀n∈N,vn=1
1+n2un
Montrer que si la série de terme général vnconverge alors la série de terme général un
diverge.
Exercice 27 [ 03881 ] [Correction]
Pour a>0, étudier la convergence de
X
n≥1
aPn
k=11
k
Exercice 28 [ 02815 ] [Correction]
Soit f: [0 ; 1] →[0 ; 1] une bijection de classe C1vérifiant
∀t∈[0 ; 1],f0(t)>0
Soit n∈N∗. Montrer que l’on peut trouver une suite (xk,n)1≤k≤ntelle que :
∀k∈{1,...,n},k−1
n≤f(xk,n)≤k net
n
X
k=1
1
f0(xk,n)=n
Exercice 29 [ 02811 ] [Correction]
Soient des réels a,boù a<{0,1}. On pose h(x)=ax +bpour tout xréel. On note S
l’ensemble des fonctions dérivables f:R→Rtelles que
f◦f=h
(a) Montrer que S=∅si a<0.
Désormais on suppose a>0 (et a,1).
(b) Montrer que hest une homothétie ; préciser son centre et son rapport.
(c) Soit f∈S. Montrer
h−1◦f◦h=f
En déduire une expression de f; on commencera par le cas 0 <a<1.
Exercice 30 [ 02822 ] [Correction]
Soit f:R+→Rdérivable.
(a) Si f0est bornée sur R+, montrer que fest uniformément continue sur R+.
(b) Si |f0(x)|→+∞quand x→+∞, montrer que fn’est pas uniformément continue sur
R+.
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Exercice 31 [ 02812 ] [Correction]
Soit f: ]0 ; +∞[→Rtelle que
lim
x→0f(x)=0 et lim x→0
f(x)−f(x/2)
√x
=1
Trouver un équivalent simple en 0 de f.
Exercice 32 [ 02813 ] [Correction]
Soient fet gdes fonctions continues de [0 ; 1] dans [0 ; 1] telles que f◦g=g◦f.
(a) Montrer que l’ensemble des points fixes de fpossède un plus grand et un plus petit
élément.
(b) Montrer l’existence de c∈[0 ; 1] tel que f(c)=g(c).
Exercice 33 [ 02819 ] [Correction]
On pose f(x)=e−1/x2pour xréel non nul et f(0) =0.
(a) Montrer l’existence pour tout n∈Nd’un polynôme Pntel que :
∀x∈R∗,f(n)(x)=x−3nPn(x)f(x)
Quel est le degré de Pn?
(b) Montrer que fest de classe C∞, toutes ses dérivées étant nulles en 0.
(c) Montrer que toute racine de Pnest réelle.
Exercice 34 [ 02823 ] [Correction]
Soient f:R→Rconvexe, a,bréels avec a<b,g: [a;b]→Rcontinue. Montrer que
f 1
b−aZb
a
g(t) dt!≤1
b−aZb
a
f(g(t)) dt
Exercice 35 [ 00696 ] [Correction]
Soit f: [0 ; +∞[→Rcontinue.
On suppose que pour s0∈R, l’intégrale R+∞
0f(t)e−s0tdtconverge.
Montrer que l’intégraleR+∞
0f(t)e−st dtconverge pour tout s>s0.
Exercice 36 [ 02421 ] [Correction]
Convergence de
Z+∞
−∞
eit2dt
Exercice 37 [ 02826 ] [Correction]
Calculer
Z+∞
0
ln t
t2+a2dt
où a>0.
Exercice 38 [ 02827 ] [Correction]
Trouver une expression simple de
Zπ
0
sin2t
(1 −2xcos t+x2)(1 −2ycos t+y2)dt
où x,y∈]−1 ; 1[.
Exercice 39 [ 02879 ] [Correction]
(a) Donner la nature de l’intégrale
Z+∞
0
sin t
tdt
On pose pour tout réel x
f(x)=Z+∞
x
sin t
tdt
(b) Montrer que fest de classe C1sur Ret exprimer sa dérivée.
(c) Calculer
Z+∞
0
f(t) dt
Exercice 40 [ 02829 ] [Correction]
Donner un exemple de f∈ C0(R+,R+) intégrable et non bornée.
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 28 décembre 2016 Enoncés 5
Exercice 41 [ 02824 ] [Correction]
Existence et calcul de
Zπ/2
0
√tan θdθ
Exercice 42 [ 00183 ] [Correction]
Étudier l’intégrabilité en 0 de
f:x7→ Zx
1
et
tdt
Exercice 43 [ 02825 ] [Correction]
Existence et calcul éventuel de
Z+∞
−∞
1
1+(t+ib)2dt
Exercice 44 [ 03753 ] [Correction]
[Inégalité de Hardy] Soit f: [0 ; +∞[→Rcontinue et de carré intégrable. Pour x>0, on
pose
g(x)=1
xZx
0
f(t) dt
(a) Montrer que g2est intégrable sur ]0 ; +∞[ et que
Z+∞
0
g2(t) dt≤4Z+∞
0
f2(t) dt
(b) Montrer que f g est intégrable et
Z+∞
0
g2(t) dt=2Z+∞
0
f(t)g(t) dt
Exercice 45 [ 03884 ] [Correction]
Pour α∈R, étudier l’existence et déterminer l’éventuelle valeur de
Z+∞
0
dx
x2+αx+1
Exercice 46 [ 03977 ] [Correction]
(a) Montrer que
I(a)=Z+∞
0
exp − x2+a2
x2!!dx
existe pour tout a∈R.
(b) Justifier que pour a>0,
I(a)=Z√a
0
exp − x2+a2
x2!!1+a x2dx
(c) En déduire la valeur de I(a) pour a∈R.
Exercice 47 [ 02834 ] [Correction]
Si x>1, on pose
ζ(x)=
+∞
X
n=1
1
nx
(a) Quelle est la limite de ζ(x) quand x→+∞?
(b) Pour quels réels xla série Pζ(n)
nxnconverge-t-elle ?
(c) Si
F(x)=
+∞
X
n=2
ζ(n)
nxn
montrer que Fest continue sur [−1 ; 1[ et de classe C1sur ]−1 ; 1[.
(d) Donner une expression plus simple de F(x)
Exercice 48 [ 02838 ] [Correction]
Soient α∈Ret si n∈N,
un:x∈[0 ; 1] 7→ nαxn(1 −x)∈R
Étudier le mode convergence de la suite de fonctions (un), puis de la série de fonctions
Pun.
Exercice 49 [ 02839 ] [Correction]
On pose
u0(x)=1 et un+1(x)=Zx
0
un(t−t2) dt
pour tout réel x∈[0 ; 1] et tout entier naturel n.
Montrer que la série de terme général unest normalement convergente.
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