Développement de méthodes statistiques pour la

THÈSE
En vue de l’obtention du
DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE TOULOUSE
Délivré par l’Université Toulouse III - Paul Sabatier
Discipline : Mathématiques appliquées
Spécialité : Statistiques
Présentée et soutenue par Suzanne Varet
Le 8 avril, 2010
Développement de méthodes statistiques pour la
prédiction d’un gabarit de signature infrarouge
JURY
Jean-Claude Fort (Université Paris V), rapporteur
Pierre L’Ecuyer (Université de Montréal), rapporteur
Serge Cohen (Université Toulouse III), directeur de thèse
Josselin Garnier (Université Paris VII), examinateur
Sidonie Lefebvre (Onera), examinateur
Antoine Roblin (Onera), examinateur
Philippe Sigaud (DGA), examinateur
École doctorale : Mathématiques Informatique Télécommunications de Toulouse
Unité de recherche : Laboratoire de Statistiques et Probabilités
Directeur de thèse : Serge Cohen

ii

TABLE DES MATIÈRES
TABLE DES MATIÈRES .............................. iii
NOTATIONS ...................................... viii
LISTE DES SIGLES .................................. ix
REMERCIEMENTS ................................. xi
INTRODUCTION ................................... 1
I Quelques résultats classiques sur la réduction de dimension et
l’intégration numérique 7
CHAPITRE 1 : LA RÉDUCTION DE DIMENSION ............. 9
1.1 Lesplansd’expériences.............................. 10
1.1.1 Lemodèlelinéaire ............................ 10
1.1.2 Généralités sur les plans d’expériences . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.3 Les plans factoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.4 Les hypothèses d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2 L’analyse de variance fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 Conclusion..................................... 29
CHAPITRE 2 : L’INTÉGRATION NUMÉRIQUE ............... 31
2.1 La méthode de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Échantillonnage par hypercube latin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 La méthode de Quasi-Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.1 Ladiscrépance .............................. 39
2.3.2 Estimation d’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.3 Les suites à discrépance faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

iv
2.3.4 Larandomisation............................. 66
2.3.5 Algorithmes d’optimisation pour la discrépance . . . . . . . . . . . . 70
2.4 Conclusion..................................... 73
II Intégration numérique adaptée à une fonction d’intérêt 75
CHAPITRE 3 : ANALYSE DE SENSIBILITÉ ET DIMENSION EFFEC-
TIVE ................................. 77
3.1 Méthode de calcul des indices de Sobol à partir d’un plan d’expériences fac-
toriel fractionnaire à deux niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2 Comparaisons numériques entre indices de Sobol et indices de Sobol fraction-
naires ....................................... 85
3.2.1 Cas d’un test linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2.2 Cas d’un test non-linéaire monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.2.3 Cas d’un test non-linéaire non-monotone . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2.4 Contre-exemple.............................. 90
3.3 Conclusion..................................... 92
CHAPITRE 4 : CRITÈRE DE SÉLECTION D’UNE SUITE DÉDIÉE À LA
FONCTION D’INTÉRÊT .................... 93
4.1 Introduction.................................... 93
4.2 Définition ..................................... 94
4.3 Résultats de tests numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.3.1 Cas linéaire avec interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.3.2 Cas d’une indicatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.3.3 Contre-exemples ............................. 110
4.4 Conclusion..................................... 112
CHAPITRE 5 : DÉVELOPPEMENT D’UN ALGORITHME DE SÉLEC-
TION DE POINTS ADAPTÉS À LA FONCTION D’INTÉ-
RÊT ..................................115

v
5.1 Optimisation de la discrépance effective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.1.1 Recuit simulé pour la discrépance effective . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.1.2 Algorithme incrémental sur critère de discrépance effective . . . . . . 118
5.2 Résultats de tests numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.2.1 Fonction quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.2.2 Indicatrice en petite dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.2.3 Indicatrice en grande dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.3 Conclusion..................................... 139
III Application 143
CHAPITRE 6 : APPLICATION À L’ESTIMATION D’UN GABARIT DE
SIGNATURE INFRAROUGE .................145
6.1 Estimation des indices de Sobol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.2 Comparaison des erreurs logicielles et statistiques . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.3 Résultats numériques de l’estimation du gabarit de SIR . . . . . . . . . . . . 160
6.4 Conclusion..................................... 172
CONCLUSION .....................................175
LISTE DES TABLEAUX .............................. xix
LISTE DES FIGURES ................................ xxi
LISTE DES ANNEXES ...............................xxv
BIBLIOGRAPHIE ..................................xxix