Répondez `a quatre des cinq questions suivantes, chacune de vos

R´epondez `a quatre des cinq questions suivantes, chacune de
vos quatre r´eponses valant 25%.
Voici la densit´e d’un al´ea X∼N(µ, σ):
f(x) = (2πσ2)−1/2exp −1
2σ2(x−µ)2,
et une propri´et´e utile: E[eX] = eµ+1
2σ2.
1. Consid´erez le processus suivant:
yt=tσt−1
σ2
t=ω+α1y2
t+α2y2
t−1
t∼i.i.d.N(0,1)
Supposez que le processus est stationnaire. On observe y−1, y0, y1,...,yT.
(a) Trouvez les variances conditionnelles et nonconditionnelles de yt.
(b) Pour ω,α1et α2fixes, donnez la loi al´eatoire de yT+1|y−1, y0, y1,...,yT.
(c) ´ Ecrivez la fonction de vraisemblance, conditionnelle sur y−1et y0.
(d) Donnez un exemple d’un aspect de la loi conditionnelle des ren-
dements d’actifs dont ce mod`ele peut tenir compte mais dont un
mod`ele gaussien homosc´edastique (α1=α2= 0) ne le peut pas.
(e) Donnez un exemple d’un aspect de la loi nonconditionnelle des
rendements d’actifs dont ce mod`ele peut tenir compte mais dont
un mod`ele gaussien homosc´edastique ne le peut pas.
2. Consid´erez un monde avec deux actifs. Les log-prix p(1) et p(2) suivent
les lois suivantes:
dp(1) =r dt
dp(2) =µ dt +σ dB
o`u Best un processus de mouvement brownien standard, et r,µet σ
sont constants.
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(a) On observe les valeurs r1,...,rT, o`u rt≡p(2)(t)−p(2)(t−1).
´
Ecrivez la fonction de vraisemblance. Quelles sont les valeurs ML
(maximum de vraisemblance) de µet σ?
(b) Quelle restriction est impos´ee sur le processus p(2) si les prix
appuient un ´equilibre avec des investisseurs neutres au risque?
Pourquoi?
(c) Consid´erez un contrat qui donne au d´etenteur le droit de vendre
en T > 0 une unit´e de l’actif 2 `a son prix moyen sur l’intervalle
[0, T ].
i. Donnez une expression pour le prix de cet actif en t= 0, en
termes de processus restreint et de prix initial p(2)(0).
ii. Comment pourrait-on ´evaluer approximativement le prix par
simulation.
(d) Donnez deux raisons pour lesquelles on utilise habituellement des
mod`eles en temps continu dans le contexte des produits d´eriv´es.
3. Un consommateur maximise la fonction d’utilit´e suivante:
Et
∞
X
j=0
δjU(Ct+j)
(a) Donnez une ´equation d’Euler `a partir de laquelle on peut d´eriver
l’´equation suivante:
1 = Et[(1 + Ri,t+1)Mt+1] (1)
o`u 1 + Ri,t+1 est le rendement brut de l’actif ientre tet t+ 1,
et Mt+1 est le facteur d’escompte stochastique du consommateur.
D´erivez l’´equation (1).
(b) Supposons que
U(Ct) = C1−γ
t−1
1−γ
et que
"ri,t+1
∆ct+1 |It#∼N " ?
g#,"σ2
iσic
σic σ2
c#!,
o`u Itest l’information en t, et qu’il existe un actif fdont le ren-
dement rf,t+1 est sans risque. D´erivez des expressions pour rf,t+1
et Et[ri,t+1 −rf,t+1] en terme de g,σ2
i,σic,σ2 c,δ, et γ.
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(c) Quelques-uns attribuent en partie le casse-tˆete de la prime de
risque (equity premium puzzle) aux propri´et´es restrictives de l’utilit´e
de l’´equation (1). Donnez deux exemples de telles propri´et´es.
4. Consid´erez un monde statique.
(a) D´ecrivez comment trouver la fronti`ere minimum-variance `a par-
tir de la moyenne µet de la variance Σ d’un vecteur des rende-
ments. Dans votre r´eponse, ´ecrivez la fonction de Lagrange pour
l’optimisation pertinente, mais pas la solution formelle.
(b) Comment la fonction de Lagrange change-t-elle si les ventes `a
d´ecouvert sont interdites?
(c) Donnez deux hypoth`eses alternatives distinctes impliquant qu’un
consommateur qui maximise son utilit´e choisirait toujours un porte-
feuille sur la fronti`ere efficace.
(d) Pourquoi, selon le CAPM, le rendement du march´e se trouve-t-il
sur la fronti`ere efficace?
(e) ´ Ecrivez le mod`ele de march´e pour le rendement d’un seul actif.
Quelles restrictions sont impliqu´e par le mod`ele CAPM?
5. M´eli-m´elo
(a) On ach`ete une obligation z´ero-coupon `a l’´ech´eance 30 ans, o`u le
log rendement `a l’´ech´eance (log yield) est de 8% par ann´ee. On
la vend apr`es 10 ans, o`u le log-rendement `a l’´ech´eance est de 9%
par ann´ee. Quel est le log-rendement r´ealis´e (log holding period
return), exprim´e comme rendement annualis´e?
(b) En l’absence d’arbitrage, donnez deux raisons distinctes pour lesquelles
les rendements Riet Rjde deux actifs iet jpourraient ne pas
satisfaire
Et[Ri,t+1] = Et[Rj,t+1]
(c) Pourquoi le rendement simple net Rest-il plus pratique dans les
mod`eles statiques, et le log-rendement rest-il plus pratique dans
les mod`eles dynamiques?
(d) Pourquoi l’inf´erence est-elle habituellement plus difficile dans les
mod`eles de volatilit´e stochastique par rapport aux mod`eles de la
famille ARCH.
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(e) Donnez un exemple de l’´evidence empirique contre le mod`ele CAPM
qui est coh´erent avec un mod`ele appropri´e de type APT (Arbitrage
Pricing Theory).
(f) Quel aspect th´eorique n´egatif du mod`ele CAPM de base est am´elior´e
avec le mod`ele CCAPM (consumption CAPM - la version de
CAPM avec consommation)?
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