Répondez `a quatre des cinq questions suivantes, chacune de vos

Répondez à quatre des cinq questions suivantes, chacune de
vos quatre réponses valant 25%.
Voici la densité d’un aléa X ∼ N(µ, σ):
f (x) = (2πσ 2 )−1/2 exp −
1
1
(x − µ)2 ,
2
2σ
2
et une propriété utile: E[eX ] = eµ+ 2 σ .
1. Considérez le processus suivant:
yt = t σt−1
2
σt2 = ω + α1 yt2 + α2 yt−1
t ∼ i.i.d. N(0, 1)
Supposez que le processus est stationnaire. On observe y−1 , y0 , y1 , . . . , yT .
(a) Trouvez les variances conditionnelles et nonconditionnelles de y t .
(b) Pour ω, α1 et α2 fixes, donnez la loi aléatoire de yT +1 |y−1 , y0 , y1 , . . . , yT .
(c) Écrivez la fonction de vraisemblance, conditionnelle sur y −1 et y0 .
(d) Donnez un exemple d’un aspect de la loi conditionnelle des rendements d’actifs dont ce modèle peut tenir compte mais dont un
modèle gaussien homoscédastique (α1 = α2 = 0) ne le peut pas.
(e) Donnez un exemple d’un aspect de la loi nonconditionnelle des
rendements d’actifs dont ce modèle peut tenir compte mais dont
un modèle gaussien homoscédastique ne le peut pas.
2. Considérez un monde avec deux actifs. Les log-prix p(1) et p(2) suivent
les lois suivantes:
dp(1) = r dt
dp(2) = µ dt + σ dB
où B est un processus de mouvement brownien standard, et r, µ et σ
sont constants.
1
(a) On observe les valeurs r1 , . . . , rT , où rt ≡ p(2) (t) − p(2) (t − 1).
Écrivez la fonction de vraisemblance. Quelles sont les valeurs ML
(maximum de vraisemblance) de µ et σ?
(b) Quelle restriction est imposée sur le processus p(2) si les prix
appuient un équilibre avec des investisseurs neutres au risque?
Pourquoi?
(c) Considérez un contrat qui donne au détenteur le droit de vendre
en T > 0 une unité de l’actif 2 à son prix moyen sur l’intervalle
[0, T ].
i. Donnez une expression pour le prix de cet actif en t = 0, en
termes de processus restreint et de prix initial p(2) (0).
ii. Comment pourrait-on évaluer approximativement le prix par
simulation.
(d) Donnez deux raisons pour lesquelles on utilise habituellement des
modèles en temps continu dans le contexte des produits dérivés.
3. Un consommateur maximise la fonction d’utilité suivante:

Et 
∞
X
j=0

δ j U (Ct+j )
(a) Donnez une équation d’Euler à partir de laquelle on peut dériver
l’équation suivante:
1 = Et [(1 + Ri,t+1 )Mt+1 ]
(1)
où 1 + Ri,t+1 est le rendement brut de l’actif i entre t et t + 1,
et Mt+1 est le facteur d’escompte stochastique du consommateur.
Dérivez l’équation (1).
(b) Supposons que
U (Ct ) =
et que
"
#
ri,t+1
|I ∼ N
∆ct+1 t
Ct1−γ − 1
1−γ
"
?
g
# "
,
σi2 σic
σic σc2
#!
,
où It est l’information en t, et qu’il existe un actif f dont le rendement rf,t+1 est sans risque. Dérivez des expressions pour rf,t+1
et Et [ri,t+1 − rf,t+1 ] en terme de g, σi2 , σic , σc2 , δ, et γ.
2
(c) Quelques-uns attribuent en partie le casse-tête de la prime de
risque (equity premium puzzle) aux propriétés restrictives de l’utilité
de l’équation (1). Donnez deux exemples de telles propriétés.
4. Considérez un monde statique.
(a) Décrivez comment trouver la frontière minimum-variance à partir de la moyenne µ et de la variance Σ d’un vecteur des rendements. Dans votre réponse, écrivez la fonction de Lagrange pour
l’optimisation pertinente, mais pas la solution formelle.
(b) Comment la fonction de Lagrange change-t-elle si les ventes à
découvert sont interdites?
(c) Donnez deux hypothèses alternatives distinctes impliquant qu’un
consommateur qui maximise son utilité choisirait toujours un portefeuille sur la frontière efficace.
(d) Pourquoi, selon le CAPM, le rendement du marché se trouve-t-il
sur la frontière efficace?
(e) Écrivez le modèle de marché pour le rendement d’un seul actif.
Quelles restrictions sont impliqué par le modèle CAPM?
5. Méli-mélo
(a) On achète une obligation zéro-coupon à l’échéance 30 ans, où le
log rendement à l’échéance (log yield) est de 8% par année. On
la vend après 10 ans, où le log-rendement à l’échéance est de 9%
par année. Quel est le log-rendement réalisé (log holding period
return), exprimé comme rendement annualisé?
(b) En l’absence d’arbitrage, donnez deux raisons distinctes pour lesquelles
les rendements Ri et Rj de deux actifs i et j pourraient ne pas
satisfaire
Et [Ri,t+1 ] = Et [Rj,t+1 ]
(c) Pourquoi le rendement simple net R est-il plus pratique dans les
modèles statiques, et le log-rendement r est-il plus pratique dans
les modèles dynamiques?
(d) Pourquoi l’inférence est-elle habituellement plus difficile dans les
modèles de volatilité stochastique par rapport aux modèles de la
famille ARCH.
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(e) Donnez un exemple de l’évidence empirique contre le modèle CAPM
qui est cohérent avec un modèle approprié de type APT (Arbitrage
Pricing Theory).
(f) Quel aspect théorique négatif du modèle CAPM de base est amélioré
avec le modèle CCAPM (consumption CAPM - la version de
CAPM avec consommation)?
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