Livre du professeur

Chapitre
9
Triangles
4848
I. Programme de la classe de cinquième
Connaissances Capacités Commentaires
Constructions
de triangles
et inégalités
triangulaire.
Médiatrice d’un
segment
[Reprise du
programme de 6e]
Cercle circonscrit à
un triangle.
– Connaître et utiliser l’inégalité
triangulaire.
– Construire un triangle connaissant :
• la longueur d’un côté et les deux angles
qui lui sont adjacents,
• les longueurs de deux côtés et l’angle
compris entre ces deux côtés,
• les longueurs des trois côtés.
– Sur papier uni, reproduire un angle au
compas.
– Connaître et utiliser la définition de la
médiatrice ainsi que la caractérisation de
ses points par la propriété d’équidistance.
– Utiliser différentes méthodes pour tracer la
médiatrice d’un segment.
– Construire le cercle circonscrit à un
triangle.
Dans chaque cas où la construction est possible,
les élèves sont invités à remarquer que lorsqu’un
côté est tracé, on peut construire plusieurs trian-
gles, deux à deux symétriques par rapport à ce
côté, à sa médiatrice et à son milieu.
L’inégalité triangulaire est mise en évidence à
cette occasion et son énoncé est admis :
AB + BC ⩾ AC.
Le cas de l’égalité AB + BC = AC est reconnu comme
caractéristique de l’appartenance du point B au
segment [AC].
Au niveau des exigibles du socle, il suffit de
connaître une méthode de construction.
La construction doit être justifiée.
Propriétés des
triangles usuels.
[Reprise du
programme de 6e]
Connaître les propriétés relatives aux
angles des triangles suivants : triangle
isocèle, triangle équilatéral, triangle
rectangle.
La connaissance ainsi développée des figures
ci-contre conduit à les situer les unes par
rapport aux autres en mettant en évidence
leurs propriétés communes et des propriétés
différentes.
diverses activités de géométrie habituent les élèves à
expérimenter et à conjecturer. Ils permettent aussi pro-
gressivement de s’entraîner à des justifications mettant
en œuvre les outils du programme et ceux déjà acquis
en classe de sixième.
II. Contexte du chapitre
Les travaux de géométrie plane prennent toujours appui
sur des figures dessinées suivant les cas, à main levée, à
l’aide des instruments de dessin et de mesure, ou dans
un environnement informatique. Ils sont conduits en
liaison étroite avec l’étude des autres rubriques. Les

49
Chapitre 9 • Triangles
fier la démarche. En prérequis, l’activité réinvestit la pro-
priété d’équidistance de la médiatrice.
Avant de déterminer le centre d’un cercle passant par
trois points donnés, l’élève pourra ainsi justifier du lieu
du centre d’un cercle passant par deux points donnés.
Le centre du cercle circonscrit sera défini comme inter-
section de ces lieux de points (médiatrices).
La fin de l’activité a pour objectif de conjecturer le concours
des médiatrices et la justification de ce résultat.
B. Activités TICE
Activité 1 : Hauteurs dans un triangle
L’activité a pour objectif de conjecturer des propriétés
relatives aux hauteurs du triangle.
Dans un premier temps, il est demandé de construire une
hauteur et de discuter de sa position par rapport au trian-
gle en fonction de la nature des angles du triangle.
Le dynamisme de la figure permet de passer rapidement
et de façon fluide d’une situation à l’autre tout en s’arrê-
tant sur le cas particulier du triangle rectangle.
Les élèves pourront enfin conjecturer la propriété de
concours des hauteurs.
Activité 2 : Triangles particuliers et droites
particulières
Dans la continuité de l’activité précédente, les élèves
pourront observer et conjecturer des situations parti-
culières pour les droites remarquables du triangle.
Les cas du triangle isocèle et du triangle équilatéral
sont étudiés ici.
Activité 3 : Points cocycliques
Cette activité est d’un niveau supérieur aux deux pré-
cédentes. Il est étudié ici le cas de quatre points sur un
même cercle. La première partie mène à conjecturer
puis démontrer que si quatre points se trouvent sur un
même cercle, les médiatrices du quadrilatère formé par
ces quatre points sont concourantes.
La deuxième partie traite de la situation réciproque.
On se donne trois points sur un même cercle et on
demande de conjecturer puis démontrer qu’un qua-
trième point appartient à ce cercle à la condition que
les médiatrices du quadrilatère formé par ces points
soient concourantes.
IV. Intentions pédagogiques
des activités
A. Activités
Activité 1 : Construction de triangles
L’objectif de l’activité est double. Il s’agit d’abord de
réinvestir les compétences sur les triangles travaillées
dans les classes antérieures : construction, caractérisa-
tion, vocabulaire.
L’élève se trouve ensuite confronté à une situation nou-
velle : le cas où les données de l’énoncé ne mènent pas
à une solution unique.
La construction du dernier triangle est en effet dictée
par la donnée des trois angles. Les triangles obtenus
sont homothétiques mais non superposables. Le débat
pourra alors être mené de façon non exhaustive sur les
conditions d’unicité du résultat.
Activité 2 : Inégalité triangulaire
L’activité permet d’introduire l’inégalité triangulaire de
façon intuitive et ludique.
L’usage des allumettes facilite la découverte. Les élè-
ves peuvent ainsi visualiser de nombreux triangles de
périmètre imposé et de longueur de côté entière. L’al-
lumette symbolise ainsi l’unité.
L’élève conjecture assez rapidement qu’il est nécessaire
de garder suffisamment d’allumettes pour les deux côtés
restants une fois le premier côté fixé.
Le professeur transposera alors ces manipulations à une
approche géométrique. L’activité pourra se conclure par
une formalisation de l’inégalité triangulaire.
Activité 3 : Droites remarquables d’un triangle
L’activité permet de découvrir deux droites remarqua-
bles du triangle : la hauteur et la médiane.
Pour les hauteurs, le début de l’activité définit cette nou-
velle droite et présente les deux situations : celle où une
hauteur se trouve à l’intérieur du triangle et celle où elle se
trouve à l’extérieur. La suite de l’activité montre la construc-
tion d’une médiane et définit cette dernière.
Activité 4 : Cercle circonscrit à un triangle
Tout en découvrant la méthode de construction du cer-
cle circonscrit à un triangle, l’élève sera amené à justi-
III. Ressources disponibles sur le site compagnon
Cours • Figure dynamique d’un cercle circonscrit.
Savoir faire • Animation : Utiliser l’inégalité triangulaire.
• Animation : Construire le cercle circonscrit à un triangle.
Avec un ordinateur Pour aider à la correction en vidéo projection :
• Figure dynamique de l’activité 1
• Figure dynamique de l’activité 2
• Figure dynamique de l’activité 3
Fichier « boite_noire_09 »
Exercices • Figure dynamique de l’exercice 99
• Figure dynamique de l’exercice 103
Devoir à la maison • Figure dynamique du Devoir à la maison 1
• Liens pour en savoir plus sur François Viète, Blaise Pascal et René Descartes
Du côté du Site
compagnon • PDF : Le triangle de Penrose

50
25 Il existe deux triangles isocèles différents. L’un est
isocèle en A et l’autre en C.
Constructions à vérifier sur le cahier de l’élève.
26 à 29 À vérifier sur le cahier de l’élève.
30 AB < BC + CA
31 Non ce n’est pas possible : 2 + 5 < 7,5.
32 Non ce n’est pas possible : 2 + 3 < 6.
33 a) Le triangle est constructible.
b) Non, car 9,2 > 6,1 + 2,9.
c) Non, car 5,3 > 2,9 + 1,8.
34
La plus grande longueur est inférieure à la somme
des deux autres.
AC = 6,2 < 5,8 + 4,3 (AB + BC).
35
La plus grande longueur est inférieure à la somme
des deux autres.
PM = 4,2 m < 1,86 m + 3,46 m (MN + NP).
36 Le triangle n’est pas constructible
car 7,5 > 3 + 4.
37 et 38 À vérifier sur le cahier de l’élève.
39 Les points sont alignés dans les cas b. et c.
40 PN = 7,9 + 4,5 = 12,4 cm.
41 MN = 6,3 – 4,2 = 2,1 cm.
42 a) Faux b) Vrai c) Faux d) Faux e) Vrai.
43 AB < AC + CB ; AC < AB + BC ; BC < BA + AC ;
AD < AC + CD; AC < AD + DC ; DC < DA + AC.
44 a) EF ⩽ EG + GF ; b) EG ⩽ FG + EF ;
c) GE + EF ⩾ GF.
45 a) CD < CA + AD ; b) BA + AC > BC ;
c) BC + CD = BD ; d) BD + DA > AB ;
e) AD < CA + CD ; f) BC + BD > CD.
46 La droite (d) est une médiatrice du triangle ABC.
47 La droite (d) est une hauteur du triangle ABC.
48 (d1) et (d2)
49 a) Ni l’une ni l’autre b) Médiane
c) Ni l’une ni l’autre d) Médiatrice
50 (d) est une hauteur dans les cas a, b et d.
51
(BI) est une médiane, (KI) est une médiatrice et (CH)
est une hauteur.
52 BAE, BAH, BAD, BAC, BEH, BED, BEC, BHD, BHC et
BDC.
53 • H, I et F appartiennent à la hauteur issue de A.
• G, I et L appartiennent à la hauteur issue de B.
• D, E et I appartiennent à la hauteur issue de C.
54 • D et J appartiennent à la médiatrice de [AC].
• F et G appartiennent à la médiatrice de [AB].
• E et I appartiennent à la médiatrice de [BC].
55 à 58 À vérifier sur le cahier de l’élève.
59 1. et 2. À vérifier sur le cahier de l’élève.
3. La médiatrice de [BC] et la médiane issue de A sont
confondues.
4. La bissectrice de l’angle jBAC est confondue avec les
deux droites précédentes.
Activité 4 : La boîte noire du chapitre 9
Par la donnée de trois points, la boîte noire du chapitre
affiche trois droites : une rouge, une verte et une bleue.
Chacune d’elle est une droite particulière du triangle.
La rouge est une hauteur ; la verte est une médiane et
la bleue est une médiatrice.
Le dynamisme de la figure facilitera la reconnaissance de la
nature de ces droites que les élèves devront ensuite réaliser.
V. Corrigés des exercices
Savoir faire
1 NP = 5,7 < 3,4 + 5,5 (MN + NP).
Le triangle MNP est donc constructible.
2 a) BC = 7,9 > 5,5 + 2,3 (AB + AC).
Le triangle ABC n’est donc pas constructible.
b) AC = 5,7 < 4,2 + 5,6 (AB + BC).
Le triangle ABC est donc constructible.
3 a) DE = 8,9 = 3,5 + 5,4 (EF + DF).
Les points D, E et F sont alignés.
b) DF = 8,9 > 3,8 + 4,2 (DE + EF).
Le triangle DEF n’est donc pas constructible.
4 AB = 7,3 = 4,2 + 3,1 (AC + BC).
On peut construire le point C tel que les points A, B et
C soient alignés.
5 BC = 7,1 < 4,8 + 6,8 (AB + AC).
6 DF = 86 > 34 + 41 (DE + EF).
7 à 12 À vérifier sur le cahier de l’élève.
13 1. et 2. À vérifier sur le cahier de l’élève.
3. Si les points sont alignés, les médiatrices des seg-
ments formés par ces points sont parallèles et ne se
croisent pas.
14 1. et 2. À vérifier sur le cahier de l’élève.
3. Les points M, N et P appartiennent au cercle de centre
O, donc MO, NO et PO sont des rayons du cercle.
15 À vérifier sur le cahier de l’élève.
Exercices d’entraînement
16 à 21 À vérifier sur le cahier de l’élève.
22
AB
C
3,3
5,2
35° AB
C
3,3
5,2
35°
23
MN
4
5,5
50°
24 Constructions à vérifier sur le cahier de l’élève.

51
Chapitre 9 • Triangles
91 NP peut prendre les valeurs 2 cm, 4 cm, 6 cm ou
8 cm. Dans le dernier cas, les points M, N et P sont ali-
gnés.
92 1. Construction à vérifier sur le cahier de l’élève.
2. Hauteur du toit : 5,4 m.
3. Hauteur de la maison : 13,4 m.
93 À vérifier sur le cahier de l’élève.
94 1. et 2. À vérifier sur le cahier de l’élève.
3. Le triangle reste en équilibre.
95 1. Vrai 2. Faux 3. Faux 4. Faux
96 et 97 À vérifier sur le cahier de l’élève.
98
La citerne se trouve à l’intersection des médiatrices
des côtés du triangle formé par les trois points repré-
sentant la ferme, la maison et les poules.
99
1. L’élève pourrait penser que la barque penche du
côté droit car deux personnes se trouvent à droite de
l’axe de symétrie de la barque.
2. et 3.
La conjecture énoncée à la question 1. n’est pas confir-
mée car le centre de gravité G se trouve à gauche de l’axe
de symétrie. Cela s’explique par le fait que les deux per-
sonnes de droite se trouvent très près de l’axe alors que
la personne de gauche s’en trouve très éloignée.
100
– Construire un triangle ABC tel que AC = 8,3 cm,
AB = 4,3 cm et BC = 6,5 cm.
– La hauteur issue de B coupe [AC] en E. La médiatrice
de [AC] coupe [AC] en D et [BC] en F.
– Tracer les segments [BD] et [EF].
Construction à vérifier sur le cahier de l’élève.
101
A
F
C
KJ
H
E
IB
Les points I, J et K semblent alignés.
102
Les points solutions au problème se trouvent à l’in-
tersection de la ligne courbe et de la médiatrice du seg-
ment [AB].
A
B
60 1. et 2. À vérifier sur le cahier de l’élève.
Deux hauteurs du triangle rectangle sont les côtés de
l’angle droit du triangle.
61 Dans le cas a, le cercle est circonscrit au triangle.
62 Vrai
63 et 64 À vérifier sur le cahier de l’élève.
65
Le point E est le centre du cercle circonscrit au trian-
gle ABC.
66
Le point J est le centre du cercle circonscrit au trian-
gle ABC.
67 et 68 À vérifier sur le cahier de l’élève.
69 1. et 2. À vérifier sur le cahier de l’élève.
3. Le centre du cercle circonscrit au triangle est le milieu
de l’hypoténuse.
70 Constructions à vérifier sur le cahier de l’élève.
71 Construction à vérifier sur le cahier de l’élève.
L’emplacement du centre équestre correspond au point
d’intersection des médiatrices des côtés du triangle
formé par les trois villages.
72 a) Non, 5,51 > 2,09 + 3,4 = 5,49.
b) Oui, 12,12 < 6,33 + 5,8 = 12,13.
c) Non, 1,82 > 0,95 + 0,86 = 1,81.
73 BI = CI = 7,1 : 2 = 3,55 cm.
74 AB = 3,49 × 2 = 6,98 cm
et AD = 3,87 × 2 = 7,74 cm.
Pour s’évaluer
75 B 76 C 77 A et C 78 B et C 79 C
80 et 81 À vérifier sur le cahier de l’élève.
82 On ne peut pas construire le triangle ABC car AB >
AC + BC.
83
Les points D, E et F sont alignés. En effet :
DF = DE + EF.
84 Constructions à vérifier sur le cahier de l’élève.
85
MN
P
7,8 cm
6,5 cm
123°
86 et 87 À vérifier sur le cahier de l’élève.
88 Le point O est le point de concours des médiatri-
ces des côtés du triangle MNP.
Exercices d’approfondissement
89 C’est possible car 5 + 6 > 10.
90 Florie a raison.
Jeanne obtient trois points alignés :
AC = 6,5 = 2,5 + 4 = BC + AB.
Le triangle de Louis n’est pas constructible :
BC = 7 > 4 + 2 = AB + AC

52
2. Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point
de concours des trois médiatrices des côtés du trian-
gle. Donc en particulier, le centre du cercle circonscrit
au triangle ABM appartient à la médiatrice du segment
[AC]. Il en est de même pour les centres des cercles cir-
conscrits au triangle ABN et ABP. Les trois centres sont
donc alignés sur la médiatrice de [AC].
109
1.
O
(d’) (d)
A
P
M
2. Le point P est le symétrique du point A par rapport à
(d) donc (d) est la médiatrice de [AP]. Le point O appar-
tient à cette médiatrice donc OA = OP. On démontre de
même que OP = OM. On en déduit que OA = OM.
110
Une méthode consiste à tracer deux médiatrices
du triangle ABC afin d’obtenir le centre O du cercle cir-
conscrit au triangle ABC. Tracer ensuite une médiatrice
du triangle (non construit) ABD par exemple en tra-
cant une droite quelconque passant par O. Un point D
s’obtient en construisant le côté relatif à la précédente
médiatrice.
111
Il existe cinq triangles différents dont les dimen-
sions sont en allumettes :
1, 6, 6 – 2, 5, 6 – 3, 4, 6 – 3, 5, 5 – 4, 4, 5
Devoir à la maison
1
A
C
B
M
M3
M2
M1
2
1. a) À vérifier sur le cahier de l’élève.
b) En construisant les médiatrices des côtés du trian-
gle défini par les trois villes, on trouve la ville où est né
Viète. Il s’agit de Fontenay-Le-Comte.
2. a) À vérifier sur le cahier de l’élève.
b) De la même manière, on trouve la ville où est né Blaise
Pascal. Il s’agit de Clermont-Ferrand.
3. a) Le mathématicien à découvrir est Descartes.
b) À vérifier sur le cahier de l’élève.
103
A
H
B
O
C
G
104
1.
B
C
D
A
E
F
2. Dans les triangles ABC et ACD, (EF) est la médiatrice
relative au côté [AC] donc les droites (AC) et (EF) sont
perpendiculaires.
105
Exercice autocorrectif.
106
Construction à vérifier sur le cahier de l’élève.
107
A
BC
gamelle
La gamelle se trouve à l’intersection des médiatrices des
côtés du triangle formé par les points représentant l’em-
placement des chiens. Les chiens peuvent se déplacer
dans un disque de rayon 3 m. La figure montre qu’aucun
chien ne peut atteindre la gamelle.
108
1.
M
A
P
B
N