Livre du professeur

Chapitre
9
Triangles
I. Programme de la classe de cinquième
Connaissances
Constructions
de triangles
et inégalités
triangulaire.
Capacités
Commentaires
– Connaître et utiliser l’inégalité
triangulaire.
– Construire un triangle connaissant :
• la longueur d’un côté et les deux angles
qui lui sont adjacents,
• les longueurs de deux côtés et l’angle
compris entre ces deux côtés,
• les longueurs des trois côtés.
Dans chaque cas où la construction est possible,
les élèves sont invités à remarquer que lorsqu’un
côté est tracé, on peut construire plusieurs triangles, deux à deux symétriques par rapport à ce
côté, à sa médiatrice et à son milieu.
L’inégalité triangulaire est mise en évidence à
cette occasion et son énoncé est admis :
AB + BC ⩾ AC.
Le cas de l’égalité AB + BC = AC est reconnu comme
caractéristique de l’appartenance du point B au
segment [AC].
– Sur papier uni, reproduire un angle au
compas.
Médiatrice d’un
segment
[Reprise du
programme de 6e]
– Connaître et utiliser la définition de la
médiatrice ainsi que la caractérisation de
ses points par la propriété d’équidistance.
– Utiliser différentes méthodes pour tracer la
médiatrice d’un segment.
Cercle circonscrit à
un triangle.
– Construire le cercle circonscrit à un
triangle.
La construction doit être justifiée.
Propriétés des
triangles usuels.
[Reprise du
programme de 6e]
Connaître les propriétés relatives aux
angles des triangles suivants : triangle
isocèle, triangle équilatéral, triangle
rectangle.
La connaissance ainsi développée des figures
ci-contre conduit à les situer les unes par
rapport aux autres en mettant en évidence
leurs propriétés communes et des propriétés
différentes.
Au niveau des exigibles du socle, il suffit de
connaître une méthode de construction.
II. Contexte du chapitre
Les travaux de géométrie plane prennent toujours appui
sur des figures dessinées suivant les cas, à main levée, à
l’aide des instruments de dessin et de mesure, ou dans
un environnement informatique. Ils sont conduits en
liaison étroite avec l’étude des autres rubriques. Les
48
diverses activités de géométrie habituent les élèves à
expérimenter et à conjecturer. Ils permettent aussi progressivement de s’entraîner à des justifications mettant
en œuvre les outils du programme et ceux déjà acquis
en classe de sixième.
III. Ressources disponibles sur le site compagnon
Cours
• Figure dynamique d’un cercle circonscrit.
Savoir faire
• Animation : Utiliser l’inégalité triangulaire.
• Animation : Construire le cercle circonscrit à un triangle.
Avec un ordinateur
Pour aider à la correction en vidéo projection :
• Figure dynamique de l’activité 1
• Figure dynamique de l’activité 2
• Figure dynamique de l’activité 3
Fichier « boite_noire_09 »
Exercices
• Figure dynamique de l’exercice 99
• Figure dynamique de l’exercice 103
Devoir à la maison
• Figure dynamique du Devoir à la maison 1
• Liens pour en savoir plus sur François Viète, Blaise Pascal et René Descartes
Du côté du Site
compagnon
• PDF : Le triangle de Penrose
IV. Intentions pédagogiques
des activités
A. Activités
Activité 1 : Construction de triangles
L’objectif de l’activité est double. Il s’agit d’abord de
réinvestir les compétences sur les triangles travaillées
dans les classes antérieures : construction, caractérisation, vocabulaire.
L’élève se trouve ensuite confronté à une situation nouvelle : le cas où les données de l’énoncé ne mènent pas
à une solution unique.
La construction du dernier triangle est en effet dictée
par la donnée des trois angles. Les triangles obtenus
sont homothétiques mais non superposables. Le débat
pourra alors être mené de façon non exhaustive sur les
conditions d’unicité du résultat.
Activité 2 : Inégalité triangulaire
L’activité permet d’introduire l’inégalité triangulaire de
façon intuitive et ludique.
L’usage des allumettes facilite la découverte. Les élèves peuvent ainsi visualiser de nombreux triangles de
périmètre imposé et de longueur de côté entière. L’allumette symbolise ainsi l’unité.
L’élève conjecture assez rapidement qu’il est nécessaire
de garder suffisamment d’allumettes pour les deux côtés
restants une fois le premier côté fixé.
Le professeur transposera alors ces manipulations à une
approche géométrique. L’activité pourra se conclure par
une formalisation de l’inégalité triangulaire.
Activité 3 : Droites remarquables d’un triangle
L’activité permet de découvrir deux droites remarquables du triangle : la hauteur et la médiane.
Pour les hauteurs, le début de l’activité définit cette nouvelle droite et présente les deux situations : celle où une
hauteur se trouve à l’intérieur du triangle et celle où elle se
trouve à l’extérieur. La suite de l’activité montre la construction d’une médiane et définit cette dernière.
Activité 4 : Cercle circonscrit à un triangle
Tout en découvrant la méthode de construction du cercle circonscrit à un triangle, l’élève sera amené à justi-
fier la démarche. En prérequis, l’activité réinvestit la propriété d’équidistance de la médiatrice.
Avant de déterminer le centre d’un cercle passant par
trois points donnés, l’élève pourra ainsi justifier du lieu
du centre d’un cercle passant par deux points donnés.
Le centre du cercle circonscrit sera défini comme intersection de ces lieux de points (médiatrices).
La fin de l’activité a pour objectif de conjecturer le concours
des médiatrices et la justification de ce résultat.
B. Activités TICE
Activité 1 : Hauteurs dans un triangle
L’activité a pour objectif de conjecturer des propriétés
relatives aux hauteurs du triangle.
Dans un premier temps, il est demandé de construire une
hauteur et de discuter de sa position par rapport au triangle en fonction de la nature des angles du triangle.
Le dynamisme de la figure permet de passer rapidement
et de façon fluide d’une situation à l’autre tout en s’arrêtant sur le cas particulier du triangle rectangle.
Les élèves pourront enfin conjecturer la propriété de
concours des hauteurs.
Activité 2 : Triangles particuliers et droites
particulières
Dans la continuité de l’activité précédente, les élèves
pourront observer et conjecturer des situations particulières pour les droites remarquables du triangle.
Les cas du triangle isocèle et du triangle équilatéral
sont étudiés ici.
Activité 3 : Points cocycliques
Cette activité est d’un niveau supérieur aux deux précédentes. Il est étudié ici le cas de quatre points sur un
même cercle. La première partie mène à conjecturer
puis démontrer que si quatre points se trouvent sur un
même cercle, les médiatrices du quadrilatère formé par
ces quatre points sont concourantes.
La deuxième partie traite de la situation réciproque.
On se donne trois points sur un même cercle et on
demande de conjecturer puis démontrer qu’un quatrième point appartient à ce cercle à la condition que
les médiatrices du quadrilatère formé par ces points
soient concourantes.
Chapitre 9 • Triangles
49
Activité 4 : La boîte noire du chapitre 9
Par la donnée de trois points, la boîte noire du chapitre
affiche trois droites : une rouge, une verte et une bleue.
Chacune d’elle est une droite particulière du triangle.
La rouge est une hauteur ; la verte est une médiane et
la bleue est une médiatrice.
Le dynamisme de la figure facilitera la reconnaissance de la
nature de ces droites que les élèves devront ensuite réaliser.
Savoir faire
NP = 5,7 < 3,4 + 5,5 (MN + NP).
Le triangle MNP est donc constructible.
1
BC = 7,1 < 4,8 + 6,8 (AB + AC).
À vérifier sur le cahier de l’élève.
1. et 2. À vérifier sur le cahier de l’élève.
3. Si les points sont alignés, les médiatrices des segments formés par ces points sont parallèles et ne se
croisent pas.
14 1. et 2. À vérifier sur le cahier de l’élève.
3. Les points M, N et P appartiennent au cercle de centre
O, donc MO, NO et PO sont des rayons du cercle.
À vérifier sur le cahier de l’élève.
21
À vérifier sur le cahier de l’élève.
et
38
À vérifier sur le cahier de l’élève.
39
Les points sont alignés dans les cas b. et c.
40
PN = 7,9 + 4,5 = 12,4 cm.
41
MN = 6,3 – 4,2 = 2,1 cm.
42
a) Faux b) Vrai c) Faux d) Faux e) Vrai.
44 a) EF ⩽ EG + GF ;
c) GE + EF ⩾ GF.
b) EG ⩽ FG + EF ;
45 a) CD < CA + AD ;
b) BA + AC > BC ;
c) BC + CD = BD ;
d) BD + DA > AB ;
e) AD < CA + CD ; f) BC + BD > CD.
46
La droite (d) est une médiatrice du triangle ABC.
47
La droite (d) est une hauteur du triangle ABC.
48
(d1) et (d2)
b) Médiane
d) Médiatrice
(d) est une hauteur dans les cas a, b et d.
52 BAE, BAH, BAD, BAC, BEH, BED, BEC, BHD, BHC et
BDC.
C
3,3
3,3
A
35°
5,2
B
5,2
Non ce n’est pas possible : 2 + 3 < 6.
51 (BI) est une médiane, (KI) est une médiatrice et (CH)
est une hauteur.
C
35°
32
50
22
A
Non ce n’est pas possible : 2 + 5 < 7,5.
49 a) Ni l’une ni l’autre
c) Ni l’une ni l’autre
Exercices d’entraînement
à
31
AB < AC + CB ; AC < AB + BC ; BC < BA + AC ;
AD < AC + CD; AC < AD + DC ; DC < DA + AC.
13
16
AB < BC + CA
43
DF = 86 > 34 + 41 (DE + EF).
15
30
37
AB = 7,3 = 4,2 + 3,1 (AC + BC).
On peut construire le point C tel que les points A, B et
C soient alignés.
12
À vérifier sur le cahier de l’élève.
36 Le triangle n’est pas constructible
car 7,5 > 3 + 4.
4
à
29
35 La plus grande longueur est inférieure à la somme
des deux autres.
PM = 4,2 m < 1,86 m + 3,46 m (MN + NP).
3 a) DE = 8,9 = 3,5 + 5,4 (EF + DF).
Les points D, E et F sont alignés.
b) DF = 8,9 > 3,8 + 4,2 (DE + EF).
Le triangle DEF n’est donc pas constructible.
7
à
34 La plus grande longueur est inférieure à la somme
des deux autres.
AC = 6,2 < 5,8 + 4,3 (AB + BC).
2 a) BC = 7,9 > 5,5 + 2,3 (AB + AC).
Le triangle ABC n’est donc pas constructible.
b) AC = 5,7 < 4,2 + 5,6 (AB + BC).
Le triangle ABC est donc constructible.
6
26
33 a) Le triangle est constructible.
b) Non, car 9,2 > 6,1 + 2,9.
c) Non, car 5,3 > 2,9 + 1,8.
V. Corrigés des exercices
5
Il existe deux triangles isocèles différents. L’un est
isocèle en A et l’autre en C.
Constructions à vérifier sur le cahier de l’élève.
25
B
23
53 • H, I et F appartiennent à la hauteur issue de A.
• G, I et L appartiennent à la hauteur issue de B.
• D, E et I appartiennent à la hauteur issue de C.
• D et J appartiennent à la médiatrice de [AC].
• F et G appartiennent à la médiatrice de [AB].
• E et I appartiennent à la médiatrice de [BC].
54
55
à
58
À vérifier sur le cahier de l’élève.
4
50°
M
24
5,5
N
Constructions à vérifier sur le cahier de l’élève.
50
59 1. et 2. À vérifier sur le cahier de l’élève.
3. La médiatrice de [BC] et la médiane issue de A sont
confondues.
4. La bissectrice de l’angle jBAC est confondue avec les
deux droites précédentes.
1. et 2. À vérifier sur le cahier de l’élève.
Deux hauteurs du triangle rectangle sont les côtés de
l’angle droit du triangle.
60
61
Dans le cas a, le cercle est circonscrit au triangle.
62
Vrai
63
et
64
À vérifier sur le cahier de l’élève.
Le point E est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
65
66 Le point J est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
67
et
68
À vérifier sur le cahier de l’élève.
69 1. et 2. À vérifier sur le cahier de l’élève.
3. Le centre du cercle circonscrit au triangle est le milieu
de l’hypoténuse.
70
Constructions à vérifier sur le cahier de l’élève.
71 Construction à vérifier sur le cahier de l’élève.
L’emplacement du centre équestre correspond au point
d’intersection des médiatrices des côtés du triangle
formé par les trois villages.
91 NP peut prendre les valeurs 2 cm, 4 cm, 6 cm ou
8 cm. Dans le dernier cas, les points M, N et P sont alignés.
92 1. Construction à vérifier sur le cahier de l’élève.
2. Hauteur du toit : 5,4 m.
3. Hauteur de la maison : 13,4 m.
93 À vérifier sur le cahier de l’élève.
94 1. et 2. À vérifier sur le cahier de l’élève.
3. Le triangle reste en équilibre.
95 1. Vrai
2. Faux
3. Faux
4. Faux
96 et 97 À vérifier sur le cahier de l’élève.
98 La citerne se trouve à l’intersection des médiatrices
des côtés du triangle formé par les trois points représentant la ferme, la maison et les poules.
99 1. L’élève pourrait penser que la barque penche du
côté droit car deux personnes se trouvent à droite de
l’axe de symétrie de la barque.
2. et 3.
72 a) Non, 5,51 > 2,09 + 3,4 = 5,49.
b) Oui, 12,12 < 6,33 + 5,8 = 12,13.
c) Non, 1,82 > 0,95 + 0,86 = 1,81.
73
BI = CI = 7,1 : 2 = 3,55 cm.
AB = 3,49 × 2 = 6,98 cm
et AD = 3,87 × 2 = 7,74 cm.
74
Pour s’évaluer
75 B 76 C 77 A et C 78 B et C 79 C
80 et 81 À vérifier sur le cahier de l’élève.
82 On ne peut pas construire le triangle ABC car AB >
AC + BC.
83 Les points D, E et F sont alignés. En effet :
DF = DE + EF.
84 Constructions à vérifier sur le cahier de l’élève.
85
P
La conjecture énoncée à la question 1. n’est pas confirmée car le centre de gravité G se trouve à gauche de l’axe
de symétrie. Cela s’explique par le fait que les deux personnes de droite se trouvent très près de l’axe alors que
la personne de gauche s’en trouve très éloignée.
100 – Construire un triangle ABC tel que AC = 8,3 cm,
AB = 4,3 cm et BC = 6,5 cm.
– La hauteur issue de B coupe [AC] en E. La médiatrice
de [AC] coupe [AC] en D et [BC] en F.
– Tracer les segments [BD] et [EF].
Construction à vérifier sur le cahier de l’élève.
101
m
7,8 c
123°
M
6,5 cm
C
N
K
J
E
F
H
86 et 87 À vérifier sur le cahier de l’élève.
88 Le point O est le point de concours des médiatrices des côtés du triangle MNP.
Exercices d’approfondissement
89 C’est possible car 5 + 6 > 10.
90 Florie a raison.
Jeanne obtient trois points alignés :
AC = 6,5 = 2,5 + 4 = BC + AB.
Le triangle de Louis n’est pas constructible :
BC = 7 > 4 + 2 = AB + AC
A
I
B
Les points I, J et K semblent alignés.
102 Les points solutions au problème se trouvent à l’intersection de la ligne courbe et de la médiatrice du segment [AB].
A
B
Chapitre 9 • Triangles
51
2. Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point
de concours des trois médiatrices des côtés du triangle. Donc en particulier, le centre du cercle circonscrit
au triangle ABM appartient à la médiatrice du segment
[AC]. Il en est de même pour les centres des cercles circonscrits au triangle ABN et ABP. Les trois centres sont
donc alignés sur la médiatrice de [AC].
103
H
A
109 1.
G
(d)
(d’)
B
C
O
A
O
M
104 1.
P
C
2. Le point P est le symétrique du point A par rapport à
(d) donc (d) est la médiatrice de [AP]. Le point O appartient à cette médiatrice donc OA = OP. On démontre de
même que OP = OM. On en déduit que OA = OM.
B
E
F
D
A
2. Dans les triangles ABC et ACD, (EF) est la médiatrice
relative au côté [AC] donc les droites (AC) et (EF) sont
perpendiculaires.
105 Exercice autocorrectif.
106 Construction à vérifier sur le cahier de l’élève.
107
110 Une méthode consiste à tracer deux médiatrices
du triangle ABC afin d’obtenir le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC. Tracer ensuite une médiatrice
du triangle (non construit) ABD par exemple en tracant une droite quelconque passant par O. Un point D
s’obtient en construisant le côté relatif à la précédente
médiatrice.
111 Il existe cinq triangles différents dont les dimensions sont en allumettes :
1, 6, 6 – 2, 5, 6 – 3, 4, 6 – 3, 5, 5 – 4, 4, 5
Devoir à la maison
1
A
C
C
B
M2
gamelle
M1
La gamelle se trouve à l’intersection des médiatrices des
côtés du triangle formé par les points représentant l’emplacement des chiens. Les chiens peuvent se déplacer
dans un disque de rayon 3 m. La figure montre qu’aucun
chien ne peut atteindre la gamelle.
108 1.
M
B
A
M3
M
2 1. a) À vérifier sur le cahier de l’élève.
b) En construisant les médiatrices des côtés du triangle défini par les trois villes, on trouve la ville où est né
Viète. Il s’agit de Fontenay-Le-Comte.
N
2. a) À vérifier sur le cahier de l’élève.
b) De la même manière, on trouve la ville où est né Blaise
Pascal. Il s’agit de Clermont-Ferrand.
A
B
P
52
3. a) Le mathématicien à découvrir est Descartes.
b) À vérifier sur le cahier de l’élève.