Notation : f , Df,

AN II Ch I D´erivation des fonctions `a valeurs vectorielles
Toutes les fonctions envisag´ees sont d´efinies sur un intervalle I de R`a valeurs dans un espace vectoriel
norm´e F de dimension fini sur K.
A D´eriv´ee en un point, fonctions de classe C1
Soit f:I→Fet x0∈I. On dit que fest d´erivable en x0si lim
x→x0
f(x)−f(x0)
x−x0
existe.
Si c’est le cas cette limite est appel´ee vecteur d´eriv´e de fen x0et not´e f0(x0).
On dit que fest d´erivable sur Isi elle l’est en tout point de I.
On appelle alors fonction d´eriv´ee de fla fonction f0:I→F
x7→ f0(x)
.
On dit que fest continˆument d´erivable, ou de classe C1sur Isi la fonction f0existe et est continue sur I.
fest d´erivable en x0si et seulement si elle admet en x0un d´eveloppement limit´e `a l’ordre
1, qui est alors f(x0+h) = f(x0) + hf0(x0) + o(h) (remarquer que ce o(h) est `a valeurs dans F).
f0, Df,df(x)
dx
Soit λ∈K. Si fet gsont d´erivables en un point x0de I(resp. sur I) (resp. de classe C1sur
I), alors il en est de mˆeme de λf +g.
On note C1(I, F ) l’espace vectoriel des fonctions de classe C1sur I`a valeurs dans F.
Soit u∈L(F, G). Si fest d´erivable en un point x0de I(resp. sur I) (resp. de classe C1sur
I), alors il en est de mˆeme de u◦fet (u◦f)0(x0) = u(f0(x0)) (resp (u◦f)0=u◦f0).
Soit nla dimension de Fet B= (e1, . . . , en) une base. On note fi=e∗
i◦fles fonctions
coordonn´ees de f. Alors fest d´erivable en un point x0de I(resp. sur I) (resp. de classe C1sur I) si et
seulement si il en est de mˆeme de fipour tout i∈[[1, n]] et dans ce cas les coordonn´ees du vecteur d´eriv´e en
x0sont les d´eriv´ees en x0des fonctions coordonn´ees.
Soient F, G et Htrois espaces vectoriels norm´es sur le mˆeme corps Ket Bbilin´eaire de
F×Gdans H. Soient f:I→Fet g:I→G. On d´efinit h:I→H
x7→ Bf(x), g(x)
.
Si fet gsont d´erivables en un point x0de I(resp. sur I) (resp. de classe C1sur I), alors il en est de mˆeme
de het h0(x0) = Bf0(x0), g(x0)+Bf(x0), g0(x0).
Ceci s’applique en particulier aux produits scalaire, externe et vectoriel. On retrouve une
formule bien connue dans le cas particulier du produit ordinaire.
Le r´esultat se g´en´eralise au cas n-lin´eaire.
Soit ϕ:J→Id´erivable en un point x0de J(resp. sur J) (resp. de classe C1sur J) et
f:I→Fd´erivable en y0=ϕ(x0) (resp. sur I) (resp. de classe C1sur I). Alors f◦ϕest d´erivable en x0
(resp. sur J)resp. de classe C1sur J) et (f◦ϕ)0(x0) = ϕ0(x0)f0(y0) (resp. (f◦ϕ)0=ϕ0·f0◦ϕ.
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B Fonctions de classe Ck
Pour k∈N, k > 1 on dit qu’une fonction f:I→Fest de classe Cksur Isi elle est
d´erivable et que f0est de classe Ck−1. On appelle alors d´eriv´ee d’ordre kde fla d´eriv´ee d’ordre k−1 de f0,
´etant entendu que la d´eriv´ee d’ordre 1 est la d´eriv´ee d´efinie en A.
On dit que fest de classe C∞si elle est de classe Ckpour tout entier k.
f(k), Dkf,dkf(x)
dxk
Il est souvent commode de consid´erer que fest de classe C0si elle est continue et que sa
d´eriv´ee d’ordre 0 est felle-mˆeme.
Soit λ∈Ket k∈N∗. Si fet gsont de classe Ck(resp. C∞) sur I, alors il en est de mˆeme
de λf +g.
On note Ck(I, F ) l’espace vectoriel des fonctions de classe Cksur I`a valeurs dans F.
Soit u∈L(F, G). Si fest de classe Ck(resp. C∞) sur I, il en est de mˆeme de u◦fet
(u◦f)(k)=u◦f(k).
Soit k∈N∗. Soit nla dimension de Fet B= (e1, . . . , en) une base. On note fi=e∗
i◦fles
fonctions coordonn´ees de f. Alors fest de classe Ck(resp. C∞) sur Isi et seulement si il en est de mˆeme de
fipour tout i∈[[1, n]].
(Leibniz) Soient F, G et Htrois espaces vectoriels norm´es sur le mˆeme corps Ket Bbilin´eaire
de F×Gdans H. Soient f:I→Fet g:I→G. On d´efinit h:I→H
x7→ Bf(x), g(x)
. Soit k∈N∗.
Si fet gsont de classe Ck(resp. C∞) sur I, il en est de mˆeme de het h(k)(x) =
k
X
`=0
C`
kBf(`)(x), g(k−`)(x).
Soit ϕ:J→Ide classe Ck(resp. C∞) sur Jet f:I→Fde classe Ck(resp. C∞) sur I.
Alors f◦ϕest de classe Ck(resp. C∞) sur J.
Soit f:J→Iet k∈N∗. On dit que fest un C1-diff´eomorphisme si elle est bijective de
classe Cket que sa r´eciproque f−1est aussi de classe Ck.
Une bijection ϕ:I→Jest un Ck-diff´eomorphisme si et seulement si elle est de classe Ck
et que sa d´eriv´ee ne s’annule pas sur I.
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C Fonctions de classe Ckpar morceaux
Soit k∈N∗et f: [a, b]→F. On dit que fest de classe Ckpar morceaux (abr´eg´e dans ce
cours en Ck
pm) si il existe :
Un entier n∈N∗
Une suite finie de points de [a, b] : x0=a<x1<· · · < xn−1< xn=b
Pour chaque i∈[[0, n −1]] une fonction gi∈Ck([xi, xi+1], F ) telle que gi]xi,xi+1[=f]xi,xi+1 [
On dit que le partage (x0, . . . , xn) est adapt´e `a la fonction f. Il est imm´ediat que tout sur-
partage d’un partage adapt´e `a fl’est encore. Les partages adapt´es sont tous les sur-partages du partage
fondamental constitu´e de tous les points de discontinuit´e de fet de non-existence ou discontinuit´e de ses
d´eriv´ees successives.
Il revient au mˆeme d’exiger que la fonction fsoit de classe Cksur chaque ]xi, xi+1[ET QUE elle-mˆeme et
ses d´eriv´ees successives jusqu’`a la ki`eme aient des limites `a gauche et `a droite en tout point xi(sauf `a gauche
en x0et `a droite en xn).
Pour `∈[[1, k]], on note encore D`f: [a, b]→Fla fonction qui `a xassocie f(`)(x) lorsqu’elle existe.
Elle n’est pas d´efinie sur tout Imais seulement sur [a, b] priv´e d’un nombre fini de points.
Soit k∈N∗et f:I→F. On dit que fest de classe Ck
pm si pour tout segment [a, b] inclus
dans I, la fonction f[a,b]est de classe Ck
pm.
Une fonction de classe Ck
pm sur un intervalle peut avoir une infinit´e de points de discontinuit´e, contraire-
ment `a une fonction de classe Ck
pm sur un segment.
Les fonctions de classe Ck
pm sur un segment [a, b] (resp. sur un intervalle I) et `a valeurs dans
Fforment un espace vectoriel sur le corps Kde r´ef´erence de Fnot´e ici Ck
pm([a, b], F ) (resp. Ck pm(I, F )).
Ck
pm([a, b], F )⊂B([a, b], F ), espace vectoriel des applications born´ees de Idans F.
Ce n’est pas vrai pour Ck
pm(I, F ).
f:I→Fest constante si et seulement si elle est d´erivable de d´eriv´ee nulle.
Soit f:I→Fune fonction de classe C0et C1
pm. Elle est constante si et seulement si Df
est nulle partout o`u elle est d´efinie.
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