Notation : f , Df,

AN II
Ch I
Dérivation des fonctions à valeurs vectorielles
Toutes les fonctions envisagées sont définies sur un intervalle I de R à valeurs dans un espace vectoriel
normé F de dimension fini sur K .
A Dérivée en un point, fonctions de classe C 1
1 Denitions
Denition :
Soit f : I → F et x0 ∈ I. On dit que f est dérivable en x0 si lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
existe.
x − x0
Si c’est le cas cette limite est appelée vecteur dérivé de f en x0 et noté f 0 (x0 ).
On dit que f est dérivable sur I si elle l’est en tout point de I.
On appelle alors fonction dérivée de f la fonction f 0 : I → F
.
x 7→ f 0 (x)
On dit que f est continûment dérivable, ou de classe C 1 sur I si la fonction f 0 existe et est continue sur I.
Theoreme :
f est dérivable en x0 si et seulement si elle admet en x0 un développement limité à l’ordre
1, qui est alors f (x0 + h) = f (x0 ) + hf 0 (x0 ) + o(h) (remarquer que ce o(h) est à valeurs dans F ).
Notation :
f 0 , Df ,
df (x)
dx
2 Operations algebriques
Theoreme :
Soit λ ∈ K. Si f et g sont dérivables en un point x0 de I (resp. sur I) (resp. de classe C 1 sur
I), alors il en est de même de λf + g.
Notation :
On note C 1 (I, F ) l’espace vectoriel des fonctions de classe C 1 sur I à valeurs dans F .
Theoreme :
Soit u ∈ L (F, G). Si f est dérivable en un point x0 de I (resp. sur I) (resp. de classe C 1 sur
I), alors il en est de même de u ◦ f et (u ◦ f )0 (x0 ) = u(f 0 (x0 )) (resp (u ◦ f )0 = u ◦ f 0 ).
Corollaire :
Soit n la dimension de F et B = (e1 , . . . , en ) une base. On note fi = e∗i ◦ f les fonctions
coordonnées de f . Alors f est dérivable en un point x0 de I (resp. sur I) (resp. de classe C 1 sur I) si et
seulement si il en est de même de fi pour tout i ∈ [[1, n]] et dans ce cas les coordonnées du vecteur dérivé en
x0 sont les dérivées en x0 des fonctions coordonnées.
Theoreme :
Soient F, G et H trois espaces vectoriels normés sur le même corps K et B bilinéaire de
F × G dans H. Soient f : I → F et g : I → G. On définit h : I →
H
.
x 7→ B f (x), g(x)
Si f et g sont dérivables en un point
x0 de I (resp. sur I) (resp. de classe C 1 sur I), alors il en est de même
0
0
de h et h (x0 ) = B f (x0 ), g(x0 ) + B f (x0 ), g 0 (x0 ) .
Remarque :
Ceci s’applique en particulier aux produits scalaire, externe et vectoriel. On retrouve une
formule bien connue dans le cas particulier du produit ordinaire.
Remarque :
Le résultat se généralise au cas n-linéaire.
Theoreme :
Soit ϕ : J → I dérivable en un point x0 de J (resp. sur J) (resp. de classe C 1 sur J) et
f : I → F dérivable
en y0 = ϕ(x0 ) (resp. sur I) (resp. de classe C 1 sur I). Alors f ◦ ϕ est dérivable
en x0
1
0
0
0
0
0
0
(resp. sur J) resp. de classe C sur J) et (f ◦ ϕ) (x0 ) = ϕ (x0 )f (y0 ) (resp. (f ◦ ϕ) = ϕ · f ◦ ϕ .
1
B Fonctions de classe C k
1 Denition
Denition :
Pour k ∈ N, k > 1 on dit qu’une fonction f : I → F est de classe C k sur I si elle est
dérivable et que f 0 est de classe C k−1 . On appelle alors dérivée d’ordre k de f la dérivée d’ordre k − 1 de f 0 ,
étant entendu que la dérivée d’ordre 1 est la dérivée définie en A.
On dit que f est de classe C ∞ si elle est de classe C k pour tout entier k.
Notation :
f (k) , Dk f ,
Remarque :
dk f (x)
dxk
Il est souvent commode de considérer que f est de classe C 0 si elle est continue et que sa
dérivée d’ordre 0 est f elle-même.
2 Operations algebriques
Theoreme :
Soit λ ∈ K et k ∈ N∗ . Si f et g sont de classe C k (resp. C ∞ ) sur I, alors il en est de même
de λf + g.
Notation :
On note C k (I, F ) l’espace vectoriel des fonctions de classe C k sur I à valeurs dans F .
Theoreme :
Soit u ∈ L (F, G). Si f est de classe C k (resp. C ∞ ) sur I, il en est de même de u ◦ f et
(u ◦ f )(k) = u ◦ f (k) .
Corollaire :
Soit k ∈ N∗ . Soit n la dimension de F et B = (e1 , . . . , en ) une base. On note fi = e∗i ◦ f les
fonctions coordonnées de f . Alors f est de classe C k (resp. C ∞ ) sur I si et seulement si il en est de même de
fi pour tout i ∈ [[1, n]].
Theoreme :
(Leibniz) Soient F, G et H trois espaces vectoriels normés sur le même corps K et B bilinéaire
∗
de F × G dans H. Soient f : I → F et g : I → G. On définit h : I →
H
. Soit k ∈ N .
x 7→ B f (x), g(x)
k
X
Si f et g sont de classe C k (resp. C ∞ ) sur I, il en est de même de h et h(k) (x) =
C`k B f (`) (x), g(k−`) (x) .
`=0
Theoreme :
Soit ϕ : J → I de classe C (resp. C ) sur J et f : I → F de classe C k (resp. C ∞ ) sur I.
k
∞
Alors f ◦ ϕ est de classe C k (resp. C ∞ ) sur J.
3 Dieomorphismes
Denition :
Soit f : J → I et k ∈ N∗ . On dit que f est un C 1 -difféomorphisme si elle est bijective de
classe C k et que sa réciproque f −1 est aussi de classe C k .
Theoreme :
Une bijection ϕ : I → J est un C k -difféomorphisme si et seulement si elle est de classe C k
et que sa dérivée ne s’annule pas sur I.
2
C Fonctions de classe C k par morceaux
1 Denitions
Denition :
Soit k ∈ N∗ et f : [a, b] → F . On dit que f est de classe C k par morceaux (abrégé dans ce
k
cours en Cpm
) si il existe :
Un entier n ∈ N∗
Une suite finie de points de [a, b] : x0 = a < x1 < · · · < xn−1 < xn = b
Pour chaque i ∈ [[0, n − 1]] une fonction gi ∈ C k ([xi , xi+1 ], F ) telle que gi
Remarque :
]xi ,xi+1 [
=f
]xi ,xi+1 [
On dit que le partage (x0 , . . . , xn ) est adapté à la fonction f . Il est immédiat que tout sur-
partage d’un partage adapté à f l’est encore. Les partages adaptés sont tous les sur-partages du partage
fondamental constitué de tous les points de discontinuité de f et de non-existence ou discontinuité de ses
dérivées successives.
Il revient au même d’exiger que la fonction f soit de classe C k sur chaque ]xi , xi+1 [ ET QUE elle-même et
ses dérivées successives jusqu’à la k ième aient des limites à gauche et à droite en tout point xi (sauf à gauche
en x0 et à droite en xn ).
Pour ` ∈ [[1, k]], on note encore D` f : [a, b] → F la fonction qui à x associe f (`) (x) lorsqu’elle existe.
Elle n’est pas définie sur tout I mais seulement sur [a, b] privé d’un nombre fini de points.
k
si pour tout segment [a, b] inclus
Denition : Soit k ∈ N∗ et f : I → F . On dit que f est de classe Cpm
k
dans I, la fonction f [a,b] est de classe Cpm
.
k
sur un intervalle peut avoir une infinité de points de discontinuité, contraireUne fonction de classe Cpm
k
sur un segment.
ment à une fonction de classe Cpm
k
Theoreme : Les fonctions de classe Cpm
sur un segment [a, b] (resp. sur un intervalle I) et à valeurs dans
k
k
F forment un espace vectoriel sur le corps K de référence de F noté ici Cpm
([a, b], F ) (resp. Cpm
(I, F )).
k
Remarque : Cpm ([a, b], F ) ⊂ B ([a, b], F ), espace vectoriel des applications bornées de I dans F .
k
(I, F ).
Ce n’est pas vrai pour Cpm
2 Accroissements nis
Theoreme : f : I → F est constante si et seulement si elle est dérivable de dérivée nulle.
1
Theoreme : Soit f : I → F une fonction de classe C 0 et Cpm
. Elle est constante si et seulement si Df
est nulle partout où elle est définie.
3