Cours 2: Calcul propositionnel. Calcul des prédicats. Complétude

Cours 2: Calcul propositionnel. Calcul des
pr´edicats. Compl´etude.
Olivier Bournez Ecole Polytechnique
[email protected]olytechnique.fr INF423
1
Rappels
Page du cours. Commentaires, avis
sur les cours et les PCs.
Page du cours:
www.enseignement.polytechnique.fr/informatique/INF423.
ILes sujets et corrections des PCs sont en ligne.
Exprimez des commentaires, avis sur les cours et les PCs:
email `a b[email protected], ou
www.enseignement.polytechnique.fr/informatique/INF423/AVIS.
2
Au menu
Logique ?
Calcul propositionnel
Calcul des pr´edicats
Exemples de th´eories du premier ordre
Th´eor`eme de compl´etude
3
Pourquoi s’int´eresser `a de la logique ?
Un moyen de description :
Ides objets ;
Iet de leurs propri´et´es.
Questions :
•que d´ecrit-on ?
•que peut-on d´ecrire ?
Un moyen de faire des raisonnements :
Questions :
•qu’est-ce qu’un raisonnement ?
•peut-on s’assurer de la coh´erence des raisonnements ?
•peut-on m´ecaniser le raisonnement ?
4

Domaines
Math´ematiques.
Informatique :
Iintelligence artificielle, . . .
Iv´erification, preuve assist´ee, conception sˆure, . . .
Iprogrammation,
Isp´ecification, bases de donn´ees, . . .
I...
5
Ingr´edients d’un syst`eme logique
En g´en´eral, on d´ecrit une logique par les ´el´ements suivants :
syntaxe :
Iqu’est-ce qu’une formule ?
Icomment s’´ecrit-elle ?
s´emantique :
Iquel est le sens donn´e `a chaque formule ?
syst`eme de d´eduction :
Iune m´ethode de preuve pour d´eterminer si une formule est
vraie.
6
Au menu
Logique ?
Calcul propositionnel
Calcul des pr´edicats
Exemples de th´eories du premier ordre
Th´eor`eme de compl´etude
7
Rappels
La logique propositionnelle permet essentiellement de
discuter des connecteurs grammaticaux comme la n´egation
(¬), la conjonction (∧) et la disjonction (∨), en composant
des propositions `a partir de propositions donn´ees.
p q ¬p p ∨q p ∧q p ⇒q p ⇔q
0 0 1 0 0 1 1
0 1 1 1 0 1 0
1 0 0 1 0 0 0
1 1 0 1 1 1 1
Elle permet essentiellement de parler de fonctions
bool´eennes, c’est-`a-dire de fonctions de {0,1}n→ {0,1}. En
effet, les variables, c’est-`a-dire les propositions, ne peuvent
prendre que deux valeurs, vrai (cod´e par 1) ou faux (cod´e par
0).
8

Plus pr´ecis´ement
Calcul propositionnel
Syst`emes de d´eduction
Preuves `a la Hibert-Fregge
Bonus Track : Preuves en d´eduction naturelle
Bonus Track : Satisfaction d’un ensemble de formules -
Th´eor`eme de Compacit´e
9
Introduction
On va commencer `a aborder la question suivante :
qu’est-ce qu’une d´emonstration ?
Exemple :
Ion se donne une formule propositionnelle F,
Iet on veut d´ecider si Fest une tautologie.
10
Une premi`ere m´ethode
Premi`ere m´ethode :
IUne formule propositionnelle Fs’´ecrit `a l’aide d’un nombre fini
de variables p1,· · · ,pn.
IOn d´etermine la valeur de Fsur les 2nvaluations possibles de
p1,· · · ,pn, et on v´erifie que c’est bien 1 pour toutes les
valuations.
ISoucis :
1. Complexit´e exponentielle :
pour ngrand,
le temps explose, car 2nest tr`es grand ;
en outre, le temps explose TOUJOURS.
2. Cela ne correspond pas `a ce que l’on aurait pu vouloir appeler
une “d´emonstration”.
11
Des syst`emes de preuve
Preuves `a la Hilbert-Fregge.
D´eduction naturelle.
Preuves par r´esolution.
M´ethode des tableaux.
12

Plus pr´ecis´ement
Calcul propositionnel
Syst`emes de d´eduction
Preuves `a la Hibert-Fregge
Bonus Track : Preuves en d´eduction naturelle
Bonus Track : Satisfaction d’un ensemble de formules -
Th´eor`eme de Compacit´e
13
Preuves `a la Hilbert-Fregge
Principe :
Ion part d’un ensemble d’axiomes, qui sont des tautologies ;
Iet on utilise une unique r`egle de d´eduction, le modus ponens,
aussi appel´e coupure, qui vise `a capturer un type de
raisonnement tout `a fait naturel en math´ematique.
La r`egle du modus ponens dit qu’`a partir de la formule Fet
d’une formule F⇒G, on d´eduit G.
F(F⇒G)
G
Exemple : `a partir de (A∧B) et de (A∧B)⇒Con d´eduit C.
14
On dit qu’une formule Fest une instance d’une formule Gsi
Fs’obtient en substituant certaines variables propositionnelles
de Gpar des formules Fi.
Un axiome de la logique bool´eenne est n’importe quelle
instance d’une des formules suivantes :
1. (X1⇒(X2⇒X1)) (axiome 1 pour l’implication) ;
2. ((X1⇒(X2⇒X3)) ⇒((X1⇒X2)⇒(X1⇒X3))) (axiome 2
pour l’implication) ;
3. (X1⇒ ¬¬X1) (axiome 1 pour la n´egation) ;
4. (¬¬X1⇒X1) (axiome 2 pour la n´egation) ;
5. ((X1⇒X2)⇒(¬X2⇒ ¬X1)) (axiome 3 pour la n´egation) ;
6. (X1⇒(X2⇒(X1∧X2))) (axiome 1 pour la conjonction) ;
7. ((X1∧X2)⇒X1) (axiome 2 pour la conjonction) ;
8. ((X1∧X2)⇒X2) (axiome 3 pour la conjonction) ;
9. (X1⇒(X1∨X2)) (axiome 1 pour la disjonction) ;
10. (X2⇒(X1∨X2)) (axiome 2 pour la disjonction) ;
11. (¬X1⇒((X1∨X2)⇒X2)) (axiome 3 pour la disjonction).
15
Preuve par modus ponens
Soit Tun ensemble de formules propositionnelles, et Fune
formule propositionnelle.
Une preuve de F`a partir de Test une suite finie
F1,F2,· · · ,Fnde formules propositionnelles telle que :
IFnest ´egale `a F,
Iet pour tout i,
•ou bien Fiest dans T;
•ou bien Fiest un axiome de la logique bool´eenne ;
•ou bien Fis’obtient par modus ponens `a partir de deux
formules Fj,Fkavec j<iet k<i.
Notation :
IOn dit que Fest prouvable `a partir de T, not´e T`Fdans
ce cas. Fest dite prouvable si elle est prouvable `a partir de
T=∅.
16

Exemple
Voici une preuve de (F⇒H) `a partir de {(F⇒G),(G⇒H)}:
F1: (G⇒H) (hypoth`ese) ;
F2: ((G⇒H)⇒(F⇒(G⇒H))) (instance de l’axiome 1.) ;
F3: (F⇒(G⇒H)) (modus ponens `a partir de F1et F2) ;
F4: ((F⇒(G⇒H)) ⇒((F⇒G)⇒(F⇒H)))
(instance de l’axiome 2.) ;
F5: ((F⇒G)⇒(F⇒H)) (modus ponens `a partir de F3et
F4) ;
F6: (F⇒G) (hypoth`ese) ;
F7: (F⇒H) (modus ponens `a partir de F6et F5).
17
Validit´e et compl´etude de cette m´ethode de preuve
Th´eor`eme [Validit´e]. Toute formule propositionnelle prouvable
est une tautologie.
Th´eor`eme [Compl´etude]. Toute tautologie est prouvable.
Plus g´en´eralement :
INotons T|=Fpour signifier que tout mod`ele de chacune des
formules de Test un mod`ele de F.
IOn dit que Fest une cons´equence (s´emantique) de T.
IOn a :
T`Fssi T|=F.
18
Plus pr´ecis´ement
Calcul propositionnel
Syst`emes de d´eduction
Preuves `a la Hibert-Fregge
Bonus Track : Preuves en d´eduction naturelle
Bonus Track : Satisfaction d’un ensemble de formules -
Th´eor`eme de Compacit´e
19
D´eduction naturelle
La notion de d´emonstration pr´ec´edente est p´enible `a utiliser
en pratique.
Une alternative : la d´eduction naturelle.
Principe :
IOn manipule des couples (appel´es s´equents) Γ `A, o`u Γ est
un ensemble fini de formules (propositionnelles) et Aest une
formule (propositionnelle).
•Motivation sous-jacente : Γ `Aexprime le fait que sous les
hypoth`eses Γ, on a A.
IOn utilise les r`egles de d´eduction du transparent suivant
•i.e. : on d´efinit inductivement l’ensemble des s´equents
d´erivables par les r`egles du transparent suivant.
•Ici, on consid`ere que les formules incluent aussi ⊥, interpr´et´e
par faux, et >interpr´et´e par vrai.
On dit que Fest prouvable `a partir de T, not´e T`Fsi
T`Fest un s´equent d´erivable. Fest dite prouvable si elle
est prouvable `a partir de T=∅.20