Chapitre 9 : Applications des lois de Newton et Kepler à l`étude du

Chapitre 9 : Applications des lois de Newton et Kepler
à l'étude du mouvement des planètes et des satellites
I- Les trois lois de Kepler :
Les lois de Kepler s'applique aussi bien pour une planète en mouvement autour du Soleil que pour un
satellite autour d'un astre.
1- Réécrire la 1ère loi dans pour le système Terre-Lune.
2- Schématiser la situation.
Remarque : Dans la plupart les situations étudiées en TS, les deux foyers de l'ellipse sont très proches et
la trajectoire sera considérée comme circulaire.
3- Donner une manifestation dans la vie quotidienne de la loi des aires.
4- Indiquer sur le schéma de la question 2 à quel moment la vitesse de la Lune est maximale, à quel
moment elle est minimale.
II- Application : Etude de quatre satellites terrestre artificiels :
Données :
Masse de la Terre : MT=5,972.1024 kg
Rayon de la Terre : RT=6378km
Masse du satellite étudié : notée mS
Altitude du satellite étudié : notée h
Constante de gravitation universelle : G=6,67.10-11 SI
1- La premier satellite artificiel :
Si la possibilité théorique de mettre un satellite sur orbite autour de la Terre fut signalée dès 1687 par
Isaac Newton, il a fallu attendre le 4 octobre 1957 pour voir le lancement du premier satellite artificiel,
Spoutnik 1, par les soviétiques.
1.a- Exprimer vectoriellement la force exercée par la Terre sur Spoutnik 1, supposé ponctuel, et la
représenter sur un schéma.
1.b- Quel est le référentiel le plus adapté pour étudier le mouvement du satellite par rapport à la Terre ?
On considérera ce référentiel comme galiléen pour toute la suite du problème.
1.c- En appliquant la deuxième loi de Newton, établir l'expression vectorielle de l'accélération du satellite.
Première loi de Kepler : la loi des orbites : Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre
de gravité d'une planète est une ellipse dont le centre de gravité du Soleil est l'un des foyers.
Troisième loi de Kepler : loi des orbites : Pour toutes les planètes du système solaire, le rapport entre
le carré de la période de révolution T et le cube de la longueur a du demi-grand axe est égal à une même
constante :
T2
a3=constante
Deuxième loi de Kepler : loi des aires : Le segment reliant le centre de gravité du Soleil et de la
planète balaie des aires égales pendant des durées égales.

2- Les satellites artificiels à orbites circulaires :
Etude du mouvement du satellite Hubble dans un référentiel géocentrique :
Le télescope spatial Hubble, qui a permis de nombreuses découvertes et astronomie depuis son lancement
en 1990, est en orbite circulaire à 600km d'altitude et il effectue un tour complet de la Terre en 100
minutes.
2.a- Quel repère est le plus adapté à l'étude de ce mouvement ? Rappeler l'expression du vecteur
accélération dans ce repère.
2.b- En reprenant les résultats de la partie 1 et de la question précédente, montrer sans calcul que le
mouvement circulaire de Hubble est uniforme. Pouvait-on retrouver ce résultat en utilisant la deuxième
loi de Kepler ?
2.c- Exprimer littéralement (= donner la formule avec les lettres) sa vitesse en fonction des grandeurs MT,
RT, h et G. Faire le calcul.
2.d- Exprimer la période T de son mouvement en fonction des grandeurs précédentes puis retrouver la
troisième loi de Kepler appliquée à ce mouvement circulaire. Faire le calcul de la période, le résultat est-il
cohérent avec les données de l'exercice ?
Cas d'un satellite géostationnaire :
Les satellites météorologiques comme Météosat sont des appareils d'observation géostationnaires.
2.e- Qu'appelle-t-on satellite géostationnaire ?
On propose trois trajectoires hypothétiques de satellite en mouvement circulaire uniforme autour de la
Terre :
2.f- Montrer que l'une de ces trajectoire est incompatible avec les lois de la mécaniques.
2.g- Quelle est la seule trajectoire que peut correspondre au satellite géostationnaire ? Justifier.
2.h- Quelle est la période de révolution d'un satellite géostationnaire ?
2.i- Déterminer l'altitude d'un satellite géostationnaire en utilisant le résultat de la question 2.d.
3- Les satellites artificiels à orbites elliptiques :
Les satellites peuvent être placés sur différentes orbites, en fonction de leur mission. Un incident lors de
leur satellisation peut modifier l'orbite initialement prévue. Hipparcos, un satellite d'astrométrie lancé
par la fusée Ariane le 8 août 1989, n'a jamais atteint son orbite prévue. Un moteur n'ayant pas
fonctionné, il est resté sur une orbite elliptique entre 36000km et 500km.
3.a- Sous souci exagéré d'échelle ni d'exactitude de la courbe mathématique, dessiner l'allure de l'orbite
du satellite Hipparcos. Placer sur le schéma le centre d'inertie de la Terre et les points A et P
correspondant respectivement aux valeurs 36000km et 500km données dans le texte.
3.b- En appliquant la loi des aires au schéma précédent montrer, sans calcul, que la vitesse d'Hipparcos
sur son orbite n'est pas constante.
3.c- Préciser en quel(s) point(s) de son orbite sa vitesse est maximale, minimale.

Correction : Chapitre 9 : Applications des lois de Newton et Kepler
à l'étude du mouvement des planètes et des satellites
I- Les trois lois de Kepler :
Les lois de Kepler s'applique aussi bien pour une planète en mouvement autour du Soleil que pour un
satellite autour d'un astre.
1- Réécrire la 1ère loi dans pour le système Terre-Lune.
La trajectoire du centre de gravité de la Lune est un ellipse dont le centre de gravité de la Terre est l'un des
foyers.
2- Schématiser la situation.
Remarque : Dans la plupart les situations étudiées en TS, les deux foyers de l'ellipse sont très proches et
la trajectoire sera considérée comme circulaire.
3- Donner une manifestation dans la vie quotidienne de la loi des aires.
Le patineur, quand on est sur une chaise qui tourne.
4- Indiquer sur le schéma de la question 2 à quel moment la vitesse de la Lune est maximale, à quel
moment elle est minimale.
II- Application : Etude de quatre satellites terrestre artificiels :
Données :
Masse de la Terre : MT=5,972.1024 kg
Rayon de la Terre : RT=6378km
Masse du satellite étudié : notée mS
Altitude du satellite étudié : notée h
Constante de gravitation universelle : G=6,67.10-11 SI
1- La premier satellite artificiel :
Si la possibilité théorique de mettre un satellite sur orbite autour de la Terre fut signalée dès 1687 par
Isaac Newton, il a fallu attendre le 4 octobre 1957 pour voir le lancement du premier satellite artificiel,
Spoutnik 1, par les soviétiques.
1.a- Exprimer vectoriellement la force exercée par la Terre sur Spoutnik 1, supposé ponctuel, et la
représenter sur un schéma.
Première loi de Kepler : la loi des orbites : Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre
de gravité d'une planète est une ellipse dont le centre de gravité du Soleil est l'un des foyers.
Troisième loi de Kepler : loi des orbites : Pour toutes les planètes du système solaire, le rapport entre
le carré de la période de révolution T et le cube de la longueur a du demi-grand axe est égal à une même
constante :
T2
a3=constante
Deuxième loi de Kepler : loi des aires : Le segment reliant le centre de gravité du Soleil et de la
planète balaie des aires égales pendant des durées égales.

1.b- Quel est le référentiel le plus adapté pour étudier le mouvement du satellite par rapport à la Terre ?
On considérera ce référentiel comme galiléen pour toute la suite du problème.
→ référentiel géocentrique.
1.c- En appliquant la deuxième loi de Newton, établir l'expression vectorielle de l'accélération du satellite.
2- Les satellites artificiels à orbites circulaires :
Etude du mouvement du satellite Hubble dans un référentiel géocentrique :
Le télescope spatial Hubble, qui a permis de nombreuses découvertes et astronomie depuis son lancement
en 1990, est en orbite circulaire à 600km d'altitude et il effectue un tour complet de la Terre en 100
minutes.
2.a- Quel repère est le plus adapté à l'étude de ce mouvement ? Rappeler l'expression du vecteur
accélération dans ce repère.
On choisit comme repère t et n (normal, tangent). Dans ce repère :
⃗a=dv
dt ⃗
t+v2
(RT+h)⃗n
2.b- En reprenant les résultats de la partie 1 et de la question précédente, montrer sans calcul que le
mouvement circulaire de Hubble est uniforme.
Pouvait-on retrouver ce résultat en utilisant la deuxième loi de Kepler ?
D'après la 2nd loi de Newton, l'accélération n'a pas de composante tangentielle, par conséquent dv/dt=0, le
mouvement est circulaire uniforme.
D'après la 2ème loi de Kepler : Si la trajectoire est circulaire, alors pour des durées égales, le segment TS
balaie des aires égales uniquement si la vitesse est constante.
2.c- Exprimer littéralement (= donner la formule avec les lettres) sa vitesse en fonction des grandeurs MT,
RT, h et G. Faire le calcul.
Par identification à partir de la question 1.c- et 2.a-, on a :
v2
(RT+h)=G.M T
(RT+h)2

soit :
v=
√
G.M T
(RT+h)
(à savoir faire absolument!)
2.d- Exprimer la période T de son mouvement en fonction des grandeurs précédentes puis retrouver la
troisième loi de Kepler appliquée à ce mouvement circulaire. Faire le calcul de la période, le résultat est-il
cohérent avec les données de l'exercice ?
T = distance parcourue/vitesse
T=2π( RT+h)
√
G.M T
(RT+h)
=2π
√
(RT+h)3
G.M T
pour retrouver la 3ème loi de Kepler, on élève au carré
T2=4π2(RT+h)3
G.M T
→
T2
(RT+h)3=4π2
G.M T
→ on retrouve bien la 3ème loi car on a bien une constante
…
Application numérique pour déterminer la période :
T=2π
√
(RT+h)3
G.M T
=2×3,14
√
(6378.103+600.103)3
6,67 .10−11×5,972 .1024 =5800s
soit 96min, on retrouve bien les 100min
de l'énoncé
Cas d'un satellite géostationnaire :
Les satellites météorologiques comme Météosat sont des appareils d'observation géostationnaires.
2.e- Qu'appelle-t-on satellite géostationnaire ?
Satellite fixe de le référentiel terrestre.
On propose trois trajectoires hypothétiques de satellite en mouvement circulaire uniforme autour de la
Terre :
2.f- Montrer que l'une de ces trajectoire est incompatible avec les lois de la mécaniques.
La situation 2 n'est pas bonne, car pour un mouvement circulaire l'accélération est centripète. Or d'après la
2eme loi de Newton, l'accélération a même sens et même direction que la résultante des forces, ici
l'attraction de la terre. Dans cette situation, accélération et force n'ont pas la même direction, elle est donc
impossible.
2.g- Quelle est la seule trajectoire que peut correspondre au satellite géostationnaire ? Justifier.
Le satellite doit être fixe par rapport à la Terre, donc il doit toujours avoir la même vue sur la Terre, la
figure 3 ne correspond pas à un satellite géostationnaire.
La figure 2 est la bonne, le satellite est toujours au dessus du même point de l'équateur,selon la même
verticale, il suit le mouvement de la Terre. (c'est la seule configuration possible pour un satellite