Structures algébriques usuelles

Structures alg´ebriques usuelles
MP Lyc´ee Clemenceau
Table des mati`eres
I Les groupes 2
1) Rappels et compl´ements ........................................... 2
a) D´efinitions ............................................... 2
b) Propri´et´es ................................................ 3
2) Morphisme de groupe ............................................ 3
a) D´efinitions ............................................... 3
b) Propri´et´es ................................................ 4
c) Noyau et image ............................................ 4
d) Composition .............................................. 4
3) Groupes monog`enes et groupes cycliques .................................. 5
a) D´efinitions ............................................... 5
b) Le groupe Z/nZ............................................ 5
4) Ordre d’un ´el´ement dans un groupe .................................... 6
II Les anneaux 6
1) Anneaux .................................................... 7
2) Morphismes d’anneaux ............................................ 8
3) Anneaux int`egres, corps ........................................... 9
4) Id´eaux d’un anneau commutatif ....................................... 9
a) G´en´eralit´e ............................................... 9
b) Id´eaux de Z.............................................. 10
5) L’anneau Z/nZ................................................ 11
6) Anneaux de polynˆomes `a une ind´etermin´ee ................................ 12
III Alg`ebres 13
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Les groupes MP 2015-16 2
I Les groupes
1) Rappels et compl´ements
a) D´efinitions
Rappel : si Eest un ensemble non vide, une loi de composition interne (souvent not´ee l.c.i.) est une
application de E×Edans E.
D´efinition I - 1 : Groupe
Soit Gun ensemble muni d’une loi de composition interne (∗) satisfaisant :
a) l’associativit´e : ∀(x, y, z)∈G3, x ∗(y∗z) = (x∗y)∗z=x∗y∗z
b) il existe un ´el´ement neutre e∈G:∀x∈G x ∗e=e∗x=x
On a alors (avec ces deux premi`eres conditions) un mono¨ıde.
c) tout ´el´ement est sym´etrisable (admet un sym´etrique unique) : ∀x∈G, ∃y∈G / x ∗y=y∗x=e.
On note y=x−1ou −x.
Alors (G, ∗) est appel´e groupe .
Remarque : Groupe multiplicatif
Lorsqu’on utilise la notation (G, ∗)on parle souvent de groupe multiplicatif. Dans ce cas on utilise souvent la
notation abusive : x∗y=xy. De plus le sym´etrique d’un ´el´ement est appel´e inverse et on dit que tout ´el´ement
est inversible. C’est souvent le cas lorsqu’on d´efinit deux lois de composition interne sur un ensemble (cf anneau
plus loin)
D´efinition I - 2 : Groupe ab´elien
Si la loi est commutative, on parle de groupe ab´elien ou commutatif.
D´efinition I - 3 : ordre d’un groupe
Si G est de cardinal fini, alors on parle de groupe fini et le cardinal de G est appel´e ordre du groupe.
D´efinition I - 4 : Groupe produit
Soient (G1,∗1) et (G2,∗2) deux groupes d’´el´ements respectifs e1et e2.
On d´efinit sur l’ensemble G1×G2la loi de composition interne suivante :
∀((x1, y1),(x2, y2)) ∈(G1×G2)2(x1, y1)∗(x2, y2)=(x1∗1x2, y1∗2y2)
G1×G2munis de cette lci est alors un groupe appel´e groupe produit des deux groupes G1et G2.
Remarque : G´en´eralisation
On peut g´en´eraliser cette d´efinition en prenant un nombre fini de groupes.
D´efinition I - 5 : Sous groupes
Soit (G, ∗) un groupe, soit H un sous ensemble non vide de G, stable pour la l.c.i., alors si (H, ∗) est
un groupe, on dit que c’est un sous groupe de (G, ∗).
Remarque :
Par abus de langage, on omet souvent de pr´eciser la loi, et on dit que H est un sous groupe de G

2) Morphisme de groupe MP 2015-16 3
b) Propri´et´es
Proposition I - 1 : Caract´erisation des sous groupes
Soit (G, .) un groupe, d’´el´ement neutre e. On consid`ere H⊂G, alors les propositions suivantes sont
´equivalentes :
1) H est un sous groupe de G
2) H est stable par la l.c.i., e∈Het x∈H⇒x−1∈H
3) H est stable, H6=∅et x∈H⇒x−1∈H
4) H6=∅,∀(x, y)∈H2, x.y−1∈H
Proposition I - 2 : Intersection de sous-groupes
L’intersection quelconque (non vide) de sous-groupes d’un groupe Gest un sous-groupe de G.
D´efinition I - 6 : Sous groupe engendr´e par une partie
Etant donner une partie Anon vide d’un groupe G, l’intersection Hdes sous groupes de Gcontenant A
est le plus petit (au sens de l’inclusion) sous-groupe de Gcontenant A.
Si Aest l’ensemble vide alors H={e}, sinon c’est l’ensemble des produits (finis) d’´el´ements de Aet de
sym´etriques d’´el´ements de A.
Hest appel´e sous groupe de Gengendr´e par A. On le note usuellement Gr(A).
Proposition I - 3 : Sous-groupes de Z
Les sous-groupes de Zsont les sous-groupes engendr´es par un ´el´ement n∈IN, not´e nZ.
2) Morphisme de groupe
a) D´efinitions
D´efinition I - 7 : Morphisme de groupes
Soient (G, .) et (H, ?) deux groupes, et soit fune application de Gvers H. fest appel´ee morphisme de
groupe si elle v´erifie :
∀(x, y)∈G2, f (x.y) = f(x)? f (y)
D´efinition I - 8 : Isomorphisme
Un morphisme bijectif est appel´e isomorphisme
D´efinition I - 9 : Endomorphisme
Un morphisme de (G, .) dans lui mˆeme est appel´e endomorphisme. L’ensemble des endomorphismes
d’un groupe Gest not´e : End (G)
D´efinition I - 10 : Automorphisme
Un endomorphisme bijectif est un automorphisme. L’ensemble des automorphismes de Gest not´e
Aut (G)

2) Morphisme de groupe MP 2015-16 4
b) Propri´et´es
Proposition I - 4 :
Soit f: (G, .)→(G0,∗) un morphisme de groupe, soient eet e0les ´el´ements neutres respectifs de Get
G0,alors on a :
f(e) = e0et fx−1= (f(x))−1
Proposition I - 5 :
Soit f: (G, .)→(G0,∗) un morphisme de groupe,
•soit Hun sous groupe de G, alors f(H) est un sous groupe de G0.
•soit H0un sous groupe de G0,alors f−1(H0) est un sous groupe de G
c) Noyau et image
Soit f: (G, .)→(G0,∗) un morphisme de groupe.
D´efinition I - 11 : Image
f(G) est appel´e l’image du morphisme fet not´e Im (f)
D´efinition I - 12 : Noyau
f−1({e0}) est appel´e le noyau du morphisme fet not´e ker (f)
Gest un sous groupe de lui-mˆeme et le singleton {e0}muni de la loi de G0est un sous groupe trivial de G0,
on d´eduit alors, de la proposition pr´ec´edente, la propri´et´e suivante :
Proposition I - 6 :
f(G) et f−1({e0}) sont des sous groupes respectivement de G0et de G.
Proposition I - 7 : Caract´erisation de l’injectivit´e
fest injective si et seulement si ker (f) = {e}
d) Composition
Proposition I - 8 : Compos´ee
La compos´ee de deux morphismes de groupes est un morphisme de groupes.
Proposition I - 9 :
L’application r´eciproque d’un isomorphisme de groupes est aussi un morphisme de groupes.
Corollaire I - 1 :
L’ensemble des automorphismes d’un groupe Gest un groupe not´e Aut (G)

3) Groupes monog`enes et groupes cycliques MP 2015-16 5
3) Groupes monog`enes et groupes cycliques
a) D´efinitions
D´efinition I - 13 : Groupe monog`ene
On appelle groupe monog`ene tout groupe engendr´e par un seul ´el´ement.
Tout ´el´ement qui engendre le groupe est appel´e g´en´erateur du groupe .
Exemple 3) - 1 :
(Z,+) est un groupe monog`ene. Il est engendr´e par 1.
D´efinition I - 14 : Groupe cyclique
On appelle groupe cyclique tout groupe monog`ene fini.
Exemple 3) - 2 :
Fondamental L’ensemble des racines n i`eme de l’unit´e muni de la multiplication.
b) Le groupe Z/nZ
Rappel :
D´efinition I - 15 : Relation de congruence
Soit n∈IN∗, deux entiers a∈Zet b∈Zsont dits congrus modulo nsi et seulement si b−a∈nZ, ou
encore a+nZ=b+nZ.
On note alors a≡b[n].
On a donc
a≡b[n]⇔(n|(a−b))
Propri´et´e I - 1 :
Cette relation est une relation d’´equivalence sur Z.
On note usuellement ala classe d’´equivalence de alorsque l’entier est fix´e.
Remarque :
Si n= 0, deux entiers sont ´equivalents si et seulement si ils sont ´egaux.
Si n= 1, deux entiers quelconques sont ´equivalents.
Pour la suite on supposera que n>2.
D´efinition I - 16 :
Soit nun entier non nul, on note Z/nZl’ensemble des classes d’´equivalence de la relation de congruence
modulo n.
Proposition I - 10 : Cardinal
L’ensemble Z/nZest de cardinal n. Un ensemble de repr´esentants est donn´e par les classes de 0, 1, ..,
n−1.