I. Inégalité triangulaire : II. Somme des angles dans un triangle :

      1 / 3
I. Inégalité triangulaire :
Conséquence : Pour pouvoir construire un triangle, il suffit de vérifier que la mesure du plus grand côté est inférieure à
la somme des mesures des deux autres.
Activité : méthode de construction de triangles connaissant certaines données.
II. Somme des angles dans un triangle :
1) Enoncé de la propriété :
Activité : Conjecture de la somme des angles dans un triangle.
2) Application aux triangles particuliers :
3)
4)
Dans un triangle, la longueur d'un côté est toujours inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
Lorsqu'il y a égalité, les trois points sont alignés.
Autrement dit,
Si,  et  sont  points quelconques, alors
  .
Propriété :
La somme des mesures des  angles d’un triangle est égale à.
Propriété :
Voir la fiche « Somme des angles dans un triangle : une preuve »
Preuve :
Question : Peut-on construire le triangle  avec    ;    et    ?
Dans cet exemple,  est le plus grand côté.
Donc on calcule        .
Comme     
alors le triangle  est constructible.
Exemple :
Pour pouvoir construire un triangle, il
suffit de vérifier que la mesure du plus
grand côté est inférieure à la somme des
mesures des deux autres.
Question : Ecrire les trois inégalités pour le triangle.
Dans le triangle, on a :
Exemple :
 Si un triangle est équilatéral, alors chacun de ses angles mesure.
 Si un triangle a trois angles égaux, alors il est équilatéral.
Propriété :

      2 / 3
III. Droites remarquables dans un triangle :
1) Médiatrices :
Méthode : Savoir tracer la médiatrice d’un segment à l’aide d’un compas et d’une règle.
Activité : les médiatrices d’un triangle sont concourantes, une conjecture.
1er cas : Si les  angles du triangle sont aigus,
alors le centre du cercle circonscrit au triangle est à
l’intérieur du triangle.
2nd cas : Si l’un des angles est obtus, alors le centre du
cercle circonscrit au triangle est à l’extérieur du triangle.
 Si un triangle est isocèle, alors ses angles de base sont égaux.
 Si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle.
Propriété :
 Si un triangle est rectangle, alors il a deux angles complémentaires.
 Si un triangle a deux angles complémentaires, alors il est rectangle.
Propriété :
Dans un triangle, la médiatrice d’un côté est la droite perpendiculaire à ce côté passant par son milieu.
Définition :
 Si un point appartient à la médiatrice d’un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment.
C'est-à-dire, par exemple, si  appartient à la médiatrice de  alors  .
 Réciproquement, si un point est équidistant des extrémités d’un segment alors il appartient à la
médiatrice de ce segment.
C'est-à-dire, par exemple, si  est un point tel que    alors  appartient à la médiatrice de.
Propriété :
Les médiatrices d’un triangle non aplati se coupent en un même point, on dit qu’elles sont concourantes.
Le point de concours des médiatrices est le centre d’un cercle passant par les trois sommets de ce triangle.
Propriété :
Ce cercle est appelé cercle circonscrit au triangle.
Définition :

      3 / 3
Activité : les médiatrices d’un triangle sont concourantes, une preuve.
2) Hauteurs :
Activité : les hauteurs d’un triangle sont concourantes, une conjecture à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique.
1er cas : Si les 3 angles du triangle sont aigus,
alors l’orthocentre du triangle est à l’intérieur du triangle.
2nd cas : Si l’un des angles est obtu, alors l’orthocentre du
triangle est à l’extérieur du triangle.
3) Médianes :
Activité : introduction à la notion de médianes d’un triangle comme des droites passant par un sommet du triangle et
partageant le triangle en deux triangles de mêmes aires.
Activité : les médianes d’un triangle sont concourantes, une conjecture.
Propriété : Chaque médiane partage le triangle en deux triangles de même aire.
Remarque : Si  est le centre de gravité du triangle, alors   2
3 ,   2 3  et   2 3 
Dans un triangle, une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.
Définition :
Dans un triangle, les  hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle.
Propriété :
Dans un triangle, une médiane est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé.
Définition :
Dans un triangle, les trois médianes sont concourantes en un point qui est le centre de gravité du triangle.
Propriété :