TD No 5 - Anneaux, morphismes, idéaux, anneaux quotients.

UNIVERSITÉ JOSEPH FOURIER, L3B MATHÉMATIQUES, ALGÈBRE
2014/2015
TD No 5 - Anneaux, morphismes, idéaux, anneaux
quotients.
Les anneaux seront supposés commutatifs.
Exo 1. Soit A un anneau. Déterminer les morphismes d’anneaux Z −→
A.
Exo 2. 1) Soit f : A −→ B un morphisme d’anneaux, et soit ω ∈ B.
Montrer que l’application
A[X] −→ B
d
ϕf,ω : X
i
ai X 7−→
i=0
d
X
f (ai )ω i
i=0
est un morphisme d’anneaux.
2) Montrer que, pour tout morphisme d’anneaux ϕ : A[X] −→ B,
il existe un unique morphisme d’anneaux f : A −→ B et un unique
ω ∈ B tel que ϕ = ϕf,ω .
Exo 3. Soit f : A −→ B un morphisme d’anneaux. On suppose que
A est un corps. Montrer que f est injectif.
√
√
Exo 4. Montrer que Q( 2) = {a + b 2 | (a, b) ∈ Q} est un sous-corps
de C et en déterminer les automorphismes.
Exo 5. Soit f un automorphisme de corps de R.
1) Montrer que f|Q = IdQ .
2) Montrer que f est strictement croissante.
3) En déduire que f = IdR .
Exo 6. Vrai ou faux ? Soit f : A −→ B un morphisme d’anneaux.
1) L’image d’un idéal de A par f est un idéal de B.
2) L’image réciproque d’un idéal de B par f est un idéal de A.
Exo 7. Quels sont les idéaux de Z ? de Z/nZ ?
Exo 8. Lesquels sont des sous-anneaux de Z[X] ? des idéaux de Z[X] ?
1) {P ∈ Z[X] | P (1) = 1}
2) {P ∈ Z[X] | P (1) = 0}
3) {P ∈ Z[X] | P (1) ∈ 3Z}
4) {P ∈ Z[X] | P 0 (0) = 0}
Exo 9. Soit A un anneau. Un élément a ∈ A est dit idempotent si
a2 = a. Il est dit nilpotent s’il existe n ∈ N∗ tel que an = 0.
1
2
1) On suppose que A est intègre. Montrer que 0 est le seul élément
nilpotent de A et que 0 et 1 sont les seuls éléments idempotents de A.
2) Montrer qu’aucun inversible de A n’est nilpotent et que 1 est le
seul élément idempotent inversible de A.
3) Montrer que si a est un élément nilpotent de A alors 1 − a est
inversible. Montrer que si a est un élément idempotent de A alors 1 − a
est idempotent.
4) Montrer que si A est commutatif alors l’ensemble des éléments
nilpotents de A est un idéal de A.
Exo 10. Soit A un anneau, et soit I un idéal de A. On introduit
√
I = {x ∈ A | ∃n ∈ N∗ , xn ∈ I}.
p√
√
√
1) Montrer que I est un idéal de A contenant I, et que
I = I.
√
2) Calculer I pour A = Z et I = 0, Z, 4Z, 8Z, 45Z, mZ.
√
3) Montrer que A/ I n’a pas d’élément nilpotent non nul.
Exo 11. Soit ω ∈ C. Déterminer le noyau du morphisme
d’évaluation
√
iπ/4
evω : Q[X] −→ C dans les cas suivants : ω = i, 2 ou e . Que donne
le théorème de factorisation ? Et si on remplace Q par Z ?
Exo 12. L’idéal I est-il premier ? maximal ? principal ? Exprimer A/I
à l’aide d’anneaux plus familiers .
1) A = R[X], I = (X)
2) A = Z[X], I = (X)
3) A = Q[X], I = (X 2 − 2)
4) A = Z[X], I = (X 2 − 2)
5) A = R[X], I = (X 2 − 2)
6) A = R[X], I = (X 2 − 1)
7) A = R[X], I = (X 2 + 1)
8) A = C[X], I = (X 2 + 1)
9) A = Z[X], I = (2, X)
10) A = Z[X], I = (m, X), m ≥ 1 fixé
11) A = R[X, Y ], I = (X + Y )
12) A = R[X, Y ], I = (X, Y ).
Exo 13. Vrai ou faux ?
3
1) Soit B un anneau, et soit A un sous-anneau.
1.a) Si I est un idéal premier de B, I ∩ A est un idéal premier de A.
1.b) Si I est un maximal de B, I ∩ A est un idéal maximal de A.
2) Soit f : A −→ B un morphisme d’anneaux.
2.a) Si J est un idéal premier de B, f −1 (J) est un idéal premier de A.
2.b) Si J est un idéal maximal de B, f −1 (J) est un idéal maximal de
A.
Exo 14. Soit A un anneau. On considère le morphisme d’anneaux
ΘA : Z → A qui à m associe m·1A .
1) Justifier qu’il existe un unique entier c ≥ 0 tel que ker(ΘA ) = cZ.
L’entier c est appelé la caractéristique de A.
2) On suppose que c = 0. Montrer que A contient un sous-anneau
isomorphe à Z.
3) On suppose que c > 0. Montrer que A contient un sous-anneau
isomorphe à Z/cZ.
4) Montrer que la caractéristique d’un anneau intègre est soit nulle,
soit un nombre premier. Que pensez-vous de la réciproque ?
5) Calculer la caractéristique des anneaux suivants :
Z , Z/nZ , Q × Z/3Z , Z/2Z × Z/4Z × Z/10Z
A1 × · · · × An , Ai anneau.
Exo 15. Soit A = Z[i]/(2 + i).
1) Soit m ∈ Z. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur m
pour que l’équation (2 + i)z = m ait une solution z ∈ Z[i].
2) En déduire la caractéristique de A.
3) Montrer que le morphisme ΘA : Z −→ A est surjectif.
4) L’idéal (2 + i) est-il premier ? maximal ?
Exo 16. 1)
[−1, 1] → R.
On note C([−1, 1]) l’anneau des fonctions continues
1.a) Montrer que, pour tout x0 ∈ [−1, 1], mx0 = {f ∈ C([−1, 1]) | f (x0 ) =
0} est un idéal maximal de C([−1, 1]) et que le quotient C([−1, 1])/mx0
est isomorphe à R.
1.b) Montrer que les idéaux maximaux de C([−1, 1]) sont de la forme
mx0 pour un certain x0 ∈ [−1, 1].
1.c) Montrer que l’intervalle [−1, 1] est en bijection avec l’ensemble
des idéaux maximaux de C([−1, 1]).
4
2) On note C(R) l’anneau des fonctions continues R → R. Montrer que
C(R) a un idéal maximal qui n’est pas de la forme {f ∈ C(R) | f (x0 ) =
0}, x0 ∈ R.