TD No 5 - Anneaux, morphismes, idéaux, anneaux quotients.

UNIVERSIT´ E JOSEPH FOURIER, L3B MATH´ EMATIQUES, ALG` EBRE 2014/2015
TD No5 - Anneaux, morphismes, id´eaux, anneaux
quotients.
Les anneaux seront suppos´es commutatifs.
Exo 1. Soit Aun anneau. D´eterminer les morphismes d’anneaux Z−→
A.
Exo 2. 1) Soit f:A−→ Bun morphisme d’anneaux, et soit ω∈B.
Montrer que l’application
ϕf,ω :
A[X]−→ B
d
X
i=0
aiXi7−→
d
X
i=0
f(ai)ωi
est un morphisme d’anneaux.
2) Montrer que, pour tout morphisme d’anneaux ϕ:A[X]−→ B,
il existe un unique morphisme d’anneaux f:A−→ Bet un unique
ω∈Btel que ϕ=ϕf,ω.
Exo 3. Soit f:A−→ Bun morphisme d’anneaux. On suppose que
Aest un corps. Montrer que fest injectif.
Exo 4. Montrer que Q(√2) = {a+b√2|(a, b)∈Q}est un sous-corps
de Cet en d´eterminer les automorphismes.
Exo 5. Soit fun automorphisme de corps de R.
1) Montrer que f|Q= IdQ.
2) Montrer que fest strictement croissante.
3) En d´eduire que f= IdR.
Exo 6. Vrai ou faux ? Soit f:A−→ Bun morphisme d’anneaux.
1) L’image d’un id´eal de Apar fest un id´eal de B.
2) L’image r´eciproque d’un id´eal de Bpar fest un id´eal de A.
Exo 7. Quels sont les id´eaux de Z? de Z/nZ?
Exo 8. Lesquels sont des sous-anneaux de Z[X] ? des id´eaux de Z[X] ?
1) {P∈Z[X]|P(1) = 1}2) {P∈Z[X]|P(1) = 0}
3) {P∈Z[X]|P(1) ∈3Z}4) {P∈Z[X]|P0(0) = 0}
Exo 9. Soit Aun anneau. Un ´el´ement a∈Aest dit idempotent si
a2=a. Il est dit nilpotent s’il existe n∈N∗tel que an= 0.
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1) On suppose que Aest int`egre. Montrer que 0 est le seul ´el´ement
nilpotent de Aet que 0 et 1 sont les seuls ´el´ements idempotents de A.
2) Montrer qu’aucun inversible de An’est nilpotent et que 1 est le
seul ´el´ement idempotent inversible de A.
3) Montrer que si aest un ´el´ement nilpotent de Aalors 1 −aest
inversible. Montrer que si aest un ´el´ement idempotent de Aalors 1 −a
est idempotent.
4) Montrer que si Aest commutatif alors l’ensemble des ´el´ements
nilpotents de Aest un id´eal de A.
Exo 10. Soit Aun anneau, et soit Iun id´eal de A. On introduit
√I={x∈A| ∃n∈N∗, xn∈I}.
1) Montrer que √Iest un id´eal de Acontenant I, et que p√I=√I.
2) Calculer √Ipour A=Zet I= 0,Z,4Z,8Z,45Z, mZ.
3) Montrer que A/√In’a pas d’´el´ement nilpotent non nul.
Exo 11. Soit ω∈C.D´eterminer le noyau du morphisme d’´evaluation
evω:Q[X]−→ Cdans les cas suivants : ω=i, √2 ou eiπ/4.Que donne
le th´eor`eme de factorisation ? Et si on remplace Qpar Z?
Exo 12. L’id´eal Iest-il premier ? maximal ? principal ? Exprimer A/I
`a l’aide d’anneaux plus familiers .
1) A=R[X], I = (X)
2) A=Z[X], I = (X)
3) A=Q[X], I = (X2−2)
4) A=Z[X], I = (X2−2)
5) A=R[X], I = (X2−2)
6) A=R[X], I = (X2−1)
7) A=R[X], I = (X2+ 1)
8) A=C[X], I = (X2+ 1)
9) A=Z[X], I = (2, X)
10) A=Z[X], I = (m, X), m ≥1 fix´e
11) A=R[X, Y ], I = (X+Y)
12) A=R[X, Y ], I = (X, Y ).
Exo 13. Vrai ou faux ?

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1) Soit Bun anneau, et soit Aun sous-anneau.
1.a) Si Iest un id´eal premier de B, I ∩Aest un id´eal premier de A.
1.b) Si Iest un maximal de B, I ∩Aest un id´eal maximal de A.
2) Soit f:A−→ Bun morphisme d’anneaux.
2.a) Si Jest un id´eal premier de B, f−1(J) est un id´eal premier de A.
2.b) Si Jest un id´eal maximal de B, f−1(J) est un id´eal maximal de
A.
Exo 14. Soit Aun anneau. On consid`ere le morphisme d’anneaux
ΘA:Z→Aqui `a massocie m·1A.
1) Justifier qu’il existe un unique entier c≥0 tel que ker(ΘA) = cZ.
L’entier cest appel´e la caract´eristique de A.
2) On suppose que c= 0.Montrer que Acontient un sous-anneau
isomorphe `a Z.
3) On suppose que c > 0.Montrer que Acontient un sous-anneau
isomorphe `a Z/cZ.
4) Montrer que la caract´eristique d’un anneau int`egre est soit nulle,
soit un nombre premier. Que pensez-vous de la r´eciproque ?
5) Calculer la caract´eristique des anneaux suivants :
Z,Z/nZ,Q×Z/3Z,Z/2Z×Z/4Z×Z/10Z
A1× ··· × An, Aianneau.
Exo 15. Soit A=Z[i]/(2 + i).
1) Soit m∈Z.Trouver une condition n´ecessaire et suffisante sur m
pour que l’´equation (2 + i)z=mait une solution z∈Z[i].
2) En d´eduire la caract´eristique de A.
3) Montrer que le morphisme ΘA:Z−→ Aest surjectif.
4) L’id´eal (2 + i) est-il premier ? maximal ?
Exo 16. 1) On note C([−1,1]) l’anneau des fonctions continues
[−1,1] →R.
1.a) Montrer que, pour tout x0∈[−1,1], mx0={f∈ C([−1,1]) |f(x0) =
0}est un id´eal maximal de C([−1,1]) et que le quotient C([−1,1])/mx0
est isomorphe `a R.
1.b) Montrer que les id´eaux maximaux de C([−1,1]) sont de la forme
mx0pour un certain x0∈[−1,1].
1.c) Montrer que l’intervalle [−1,1] est en bijection avec l’ensemble
des id´eaux maximaux de C([−1,1]).

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2) On note C(R) l’anneau des fonctions continues R→R. Montrer que
C(R) a un id´eal maximal qui n’est pas de la forme {f∈ C(R)|f(x0) =
0},x0∈R.