Séries Entières

Chapitre 2 : Séries entières
Sommaire
I)
Généralité – Rayon de convergence ............................................................................................. 15
1)
Définition ................................................................................................................................... 15
2)
Rayon de convergence .............................................................................................................. 15
3)
Détermination pratique du rayon de convergence ................................................................... 17
4)
Opération sur les séries entières ............................................................................................... 18
II)
Propriété de la somme des séries entières ................................................................................... 18
1)
Continuité .................................................................................................................................. 18
2)
Dérivabilité ................................................................................................................................ 19
3)
Intégration ................................................................................................................................. 20
4)
Exemples de calcul de sommes ................................................................................................. 20
A)
Exemples de calcul de somme d’une série entière ............................................................... 20
B)
Exemples de calcul de somme d’une série numérique ......................................................... 21
III)
Développement d’une fonction en série entière ...................................................................... 21
1)
Série de Mac Laurin ................................................................................................................... 21
2)
Méthode pratique de développement en série entière – Développements usuels ................. 23
IV)
A)
Par la formule de Mac Laurin ................................................................................................ 23
B)
Par somme, dérivation, intégration ...................................................................................... 24
C)
A partir d’une équation différentielle ................................................................................... 25
D)
Fractions rationnelles ............................................................................................................ 26
E)
Par un produit de Cauchy ...................................................................................................... 26
Applications ............................................................................................................................... 27
1)
Calcul de sommes ...................................................................................................................... 27
2)
Résolutions de certaines équations différentielles ................................................................... 27
3)
L’exponentielle complexe.......................................................................................................... 27
14
I) Généralité – Rayon de convergence
1) Définition
Définition : On appelle série entière d’une variable complexe (ou d’une variable réelle ) une série
de la forme : ∑
(ou ∑
) où ( ) est une suite de nombres réels ou complexes. Les
nombres
sont appellées les coefficients de la série entière.
Remarques :
 Les fonctions sommes partielles d’une série entière sont des fonctions polynômes.

, la série entière converge et ∑
Si
.
Exemple 1 :
Un polynôme est une série entière : tous les coefficients sont nuls à partir d’un certain rang.
Exemple 2 :
 ∑

∑
et ∑
( )
sont des séries entières.
est une série entière, et
2
∑
Exemple 3 :
Les séries ∑ (
) ,∑
(
)
,∑ .
/ ne sont pas des séries entières. Ce sont des séries de
fonctions – dont les séries entières sont des cas particuliers – qui ne sont pas au programme.
Exemple 4 :
La série géométrique ∑
est une série entière qui converge absolument si | |
; sa norme vaut
∑
Exemple 5 :
La série ∑
est une série entière qui converge absolument pour tout
d’Alembert, pour
: |(
)
|
| |
, car d’après la règle de
→
Il est naturel de s’interroger sur l’ensemble des
pour lesquels la série entière converge.
2) Rayon de convergence
|) est bornée. Alors pour tout
Lemme d’Abel : Soit ∑
une série entière et
tel que (|
|
|
|
|,
∑
tel que
la série
est absolument convergente.
15
tel que | |
Preuve : Soit
on a : |
|
|
. / |
| | et
|
tel que |
| | |
,
| | avec | |
Comme ∑ . / est une série géométrique de raison | |
majoration, ∑
|
.
.
donc convergente, par le théorème de
est absolument convergente.
Le lemme d’Abel justifie la définition suivante :
Définition : Le nombre
de la série entière ∑
.
D’après le lemme d’Abel :
 Si | |
, alors ∑
 Si | |
, alors ∑
| |
Le disque ouvert *
*
(|
|)
+ s’appelle le rayon de convergence
est absolument convergente.
diverge.
+ est appelé disque de convergence de la série entière.
Remarques :
 Sur le cercle | |
, on ne peut pas conclure a priori : La série entière peut converger ou
diverger
 Pour une série entière d’une variable réelle, le disque de convergence est réduit à un
, appelé intervalle de convergence.
intervalle ouvert -
divergence
convergence
absolue
? (sur le cercle)
Exemple 1 :
La série géométrique ∑
converge absolument quand | |
et diverge si | |
+.
⁄| |
convergence vaut
et le disque de convergence est *
Exemple 2 :
La série entière ∑
diverge quand
. Ainsi
. Le rayon de
et le disque de convergence est * +.
16
Exemple 3 :
La série entière ∑
est le plan est
converge absolument pour tout
. Ainsi
et le disque de converge
tout entier.
3) Détermination pratique du rayon de convergence
Théorème : Soit ∑
une série entière,
 Si ∑
converge pour un certain
(respectivement (|
| |
rayon de convergence de ∑
est tel que
| |
 Si ∑
diverge pour un certain
, alors
Théorème (équivalence, comparaison) :
∑
Soient ∑
et deux séries de rayon de convergence
| |, alors
 Si il existe
, tel que | |
| |, alors
 Si | |
Règle de d’Alembert : Soit ∑
et
,
|
une série entière, si
|) est bornée), alors le
|
|
,
|
,
*
+,
alors
Exemple 1 :
Considérons la série entière ∑
, Alors |
|
|
→
|
. Ainsi, d’après d’Alembert,
.

Si

Si
,∑
∑ est la série harmonique qui diverge.
,∑
∑
(
)
est une série numérique qui converge (car vérifie le critère des
séries altérnées)
⇢ Ceci illustre le fait qu’en général, on ne peut rien dire sur la nature de la série sur le cercle de
convergence, car elle peut converger ou diverger.
Exemple 2 :
 Considérons la série entière ∑
|
(
|
)
(
)
(
)
(
, pour tout
).
D’après la règle de d’Alembert
(
|
.
(
.
)
(
(
/
.
/
, pour tout
)
)
.
/
→
.
.
.
 Considérons la série entière ∑
|
/
,
)(
)
.
,
/
.
/
→
/
D’après la règle de d’Alembert
.
17
/
/
Règle de Cauchy : Soit ∑
|
une série entière de rayon de convergence . Alors,
|
Exemple :
Soit ∑
(
,
)
. Par suite, d’après la règle de Cauchy,
.
4) Opération sur les séries entières
Proposition : Opération Algébrique
Soient ∑
et ∑
deux séries entières de rayon de convergence
et ,
 Pour tout
, la série entière ∑
a pour rayon de convergence
et
∑
∑
pour | |
.
) vérifie
 Le rayon de convergence de la série entière somme ∑(
*
+ et si
*
+.
, alors
)
∑
∑
De plus, pour tout | |
,∑ (
Proposition : Produit de Cauchy de deux séries entières
Soient ∑
et ∑
deux séries entières de rayon de convergence
et
convergence de la série entière produit de Cauchy définie par ∑ (∑
*
+.
) (∑
) ∑ (∑
De plus, pour | |
, (∑
) .
, alors le rayon de
vérifie
)
⇢ Généralisation du produit de deux polynômes.
Exemple :
La série entière ∑
a un rayon de convergence qui vaut 1. Pour | |
,∑
, et elle
converge.
Pour | |
,(
(∑
)
)
(∑
)
∑
(∑
)
∑
(
)
II) Propriété de la somme des séries entières
Définition : La somme d’une série entière ∑
⁄| |
définie sur son cercle de convergence *
de rayon de convergence
+ par ( ) ∑
.
est une fonction
1) Continuité
Théorème : Soit ∑
une série entière de rayon de convergence
de cette série entière est continue sur le disque ouvert de convergence *
. Alors la fonction somme
+.
⁄| |
Exemple 1 :
La série entière ∑
a pour rayon de convergence
. Ainsi
∑
est continue sur .
18
Exemple 2 :
La série entière ∑
*
a pour rayon de convergence
∑
. Ainsi
est continue sur
+
⁄| |
Jusqu’à la fin du chapitre, nous allons considérer des séries entières d’une variable réelle que l’on note
. Nous allons étudier les propriétés de la fonction somme définie par :
,
{
∑
où
est le rayon de convergence de la série entière et ( ) est une suite de nombres
complexes.
2) Dérivabilité
Soit ∑
une série entière de rayon de convergence
-
,
est de classe
sur ∑
a même rayon de convergence que ∑
et
)
)
∑ (
. On peut dire que : (∑
{
Théorème : La fonction somme de la série entière
De plus, la série entière ∑
( )
∑
∑
.
(
,.
,,
)
En appliquant ce résultat par récurrence, on obtient :
,.
Théorème : La fonction somme de la série entière est de classe
sur ( )
Pour tout
,
est la fonction somme d’une série entière qui a pour rayon de convergence
, ( )( ) ∑
, et :
(
)
Remarque : Les séries entières ∑
.
Exemple 1 :
La série entière ∑
a
et ∑
ne sont pas forcement de même nature en
-
En dérivant cette expression, on obtient :
-
et donc :
,
(
∑
)
Exemple 2 :
Trouver la somme de la série entière ∑
|
→
|
Pour
-
aussi( ∑
-
comme rayon de convergence et
(
) (
,∑
)
∑
(
)
(
,, ∑
(
)
.
)
(
)
∑
, le rayon de convergence de cette série est
car :
.
,∑
∑
)
.
∑
(
)
(
)
D’après Exemple 1 et
/.
Exemple 3 :
La série entière ∑ a pour rayon de convergence
. Notons la somme de la série entière définie sur .
. Son intervalle de convergence est donc
19
( )
Alors pour
∑
( )
et
∑
∑
∑
∑
)
qui vérifie ( )
Ainsi, est solution de l’équation différentielle
solution de cette équiation differentielle est .
Donc ( )
(
( )
(car ( )
). L’unique
DL de
3) Intégration
Théorème : Soit ∑
une série entière de rayon de convergence
a même rayon de convergence . De plus,
-
, ∫ (∑
-
Enfin,
)
∑
, ∫ (∑
∑
∫
)
∑
.∫
-
[∑
]
∑
/
Exemple :
A partir de la somme d’une série géométrique, on a
En intégrant, on obtient :
DL de (
, la série primitive ∑
∑
,∑
(
)
(
(
)
)
(
)
)
4) Exemples de calcul de sommes
A) Exemples de calcul de somme d’une série entière
(
 ∑
)
(
Le rayon de convergence de cette série entière est
-
Soit
On a : ∑
,. On remarque que (
(
)
∑
(
∑
 ∑
(
)(
(
)
(
∑
(
)
(
)
∑
)
(
∑
(
∑
(∑
)
(∑
)
(∑
)
( ∑
)
)
( ∑
)
∑
.
/
.
(
(
→
).
)
)
(
)
)
car (
)
)
/
)
)
20
Le rayon de convergence de cette série entière est
On remarque que (
-
Pour
∑
(
)(
)(
.
)
.
/
,, on a :
∑
)
∑
∑
(∫
∑
∑
)
∫ (∑
)
∫
(
(∑
))
/ (
.
(∫
)
∫ (∑
∫
(
∑
∫
)
)
où
)
(
et
)
pour
B) Exemples de calcul de somme d’une série numérique
 Calculer ∑
et ∑
-
On a vu que, pour

∑

∑
,:
(
(
)
)
(En dérivant et en intégrant ∑
)
Les rayons de convergence de ces séries sont égaux à
remplaçant
∑
-
,, on obtient en
par :
. /
III)
. Comme
( ) et ∑
Développement d’une fonction en série entière
Les paragraphes précédents nous on t donné les principales propriétés de la fonction somme d’une
série entière. Il s’agit maintenant de déterminer à quelles conditions une fonction donnée est la
somme d’une série entière.
1) Série de Mac Laurin
,(
Définition : Une fonction définie sur ) est developpable en série entière sur s’il existe une série entière ∑
de rayon de convergence supérieur ou égal à tel que :
, ( ) ∑
21
,
Exemple :
La fonction
,
est developpable en série entière sur -
, car
∑
pour
,,
Théorème : Soit une fonction développable en série entière sur ,, ( ) ∑
, et les coefficients
Alors,
est de classe
sur sont uniques et déterminés par :
( )(
)
-
C’est-à-dire, pour
,, ( )
( )(
)
La série entière ∑
série entière si il existe.
Idée-Preuve :
( )
( )
( )
( )
( )
( )(
Donc
∑
( )(
)
.
est appelée série de Mac-Laurin de . On a unicité du developpement en
par le théorème de dérivabilité d’une série entière,
(
(
)
et ( )
∑
( )(
( )
( )
( )
( )
( )
)
)
)
Réciproquement, supposons que est une fonction réelle d’une variable réelle de classe
sur
,.
La question est de savoir si la série de Mac-Laurin de a un rayon de convergence non nul, et si cette
série converge bien vers ( ) pour tout
,.
Rappel : Formule de Mac-Laurin
,
( )
( )
(
d’ordre n :
Pour que l’on ait
.
)(
(
( )(
( )
( )
)
-
où
, et
le reste de Lagrange
)
)
( )
∑
( )(
)
, il faut et il suffit que
tende vers 0 quand
Théorème : Soit une fonction d’une variable réelle de classe
sur ,(
Pour que soit développable en série entière sur ,, il faut et il suffit que :
( )
-
,
-
,
Dans ce cas, le développement en série entière de
(
Le rayon de convergence
)
)
coïncide avec sa série de Mac Laurin :
( )
, ( )
(
).
∑
de la série de Mac Laurin de
( )
vérifie : -
, -
,.
22
Corollaire : Si il existe Alors
(
, et
,
est développable en série entière sur -
Preuve : |
( )(
)
| |
|
car ∑
| |
|
( )
) tels que :
( )|
,.
converge pour tout
Remarque : Cette condition n’est pas nécessaire.
∑
est développable en série entière et
( )
( )
.
(
)
vérifie
-
,(
)
non borné.
Remarque : ATTENTION ! Il existe des fonction
qui ne sont pas développables en séries entières.
Contre-exemple :
( )
{
⁄
est une fonction
et
( )
( )
.
La série de Mac Laurin de est la série nulle et son rayon de convergence est
Or : ( )
, * +.
Ainsi ne peut pas être développable en série entière sur tout intervalle Cet exemple montre qu’une série de Mac-Laurin de
.
,.
peut converger, mais pas vers .
Remarque : Le développement en série entière de se confond formellement pour ses (
)
premiers termes avec la partie régulière du développement limité de au voisinage de 0.
Cependant, les conditions envisagées sont différentes puisque dans le développement limité, est
fixé et tend vers 0, tandis que dans la série, tends vers
et est quelconque dans ,.
2) Méthode pratique de développement en série entière –
Développements usuels
A) Par la formule de Mac Laurin
Cette formule a souvent un intérêt plus théorique que pratique, les difficultés venant du fait que
est rarement calculable de façon simple.
Cependant, quelques fonctions usuelles s’appliquent à cette méthode.
a) Fonction exponentielle
Pour ( )
, on a : ( ) ( )
Pour tout
,
| ( ) ( )| | |
Par le corollaire, est développable en série entière.
∑
(
)
23
( )
b) Fonction circulaire
Les fonctions sinus et cosinus sont de classe
∑(
∑(
)
)
et leurs dérivées successives sont majorées par 1.
(
(
)
(
)
(
)
)
B) Par somme, dérivation, intégration
a) Fonctions hyperboliques
Comme
et
. Du développement en série entière de
∑
∑
(
(
(
)
)
(
)
, on en déduit,
)
b) À partir de la somme de la série géométrique
-
∑
,(
)
On obtient :
-
)
∑(
,(
)
Par intégration :
(
)
)
∑(
(
∑(
)
-
)
-
∑
,(
,(
)
)
De la même manière :
Par intégration : (Car (
-
)
∑(
)
,(
)
)
∑(
)
-
,(
)
24
c) Soit la fonction définie sur -
Pour tout
,,
( )
,, par ( )
.
/
,
,,
Or pour tout
Par intégration :
( )
. / ∑
∑
∑
-
(
)
,
-
∑
,(
)
C) A partir d’une équation différentielle
Etant donné une fonction
, cette méthode consiste à écrire une équation differentielle qui vérifie
, puis en utilisant l’unicité du develloppement en série entière, à écrire la fonction de cette équation
differentielle sous la forme d’une série entière.
Illustrons ceci par un exemple.
) où
Considérons la fonction définie par : ( ) (
.
( )
(
) , donc est solution de :
On a pour
(
) ( )
( )
{
( )
Nous allons chercher les solutions de cette équation différentielle sous la forme d’une série entière
∑
, dont nous déterminerons les coefficients par identification, puis le rayon de convergence.
( ) ∑
∑ (
)
On a : ( ) ∑
)
∑
Et par suite : (
)∑ (
)
∑ (
)
∑
C’est-à-dire : ∑ (
∑
(
)
∑
∑
En décalant les indices :
Les deux membres représentant une même série entière, par unicité :
{(
)
) (
)
{
Or ( )
On obtient donc : 2
(
Et par suite :
(
) (
)
)
∑
Ainsi : (
, par unicité de l’équation différentielle.
Il reste à trouver le rayon de convergence.
(
) (
) est nul dès que
 Si
. Donc
dès que
Ainsi
|
 Si
|
|
|
Dans ce cas,
Conclusion :
(
)
∑
(
)
(
)
Par suite :
√
(
)
(
)
|
-
,
(
)
(
(
)
25
)
(
√
Puis en changeant
par
(
)
)
(
(
)
)
et par intégration :
(
)
(
(
)
(
(
)
)
)
(
(
)
)
D) Fractions rationnelles
Exemple : Développer en série entière la fonction
définie par ( )
En décomposant en éléments simples on obtient : ( )

Pour
-
Ainsi pour tout

Pour

Pour
-
,,
(
,, on a :
.
)
Conclusion : Pour tout
( )
1
)
)
| |
∑
.∑
/
)
∑
(
) (
. / pour | |
∑
/
∑
,
(
∑
, Or
(
∑
(
∑
)
0 (|
1
, quand
0,
∑(
)
∑(
)
E) Par un produit de Cauchy
Exemple : Développer en série entière la fonction
Or
∑
(
)
Ainsi : ( )
∑
et
.∑
(
)
/ (∑
( )
Le rayon de convergence
Si
(
(
∑(
de cette série vérifie
, la série numérique ∑ .∑
/ ∑
définie par : ( )
)
) )
∑
(
.∑
)
(
)
/
) (∑ )
*
diverge car
+
∑
→
Ainsi :
26
|
)
IV)
Applications
⤏ voir poly.
1) Calcul de sommes
2) Résolutions de certaines équations différentielles
3) L’exponentielle complexe
27