Séries Entières

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Chapitre 2 : Séries entières
Sommaire
I) Généralité – Rayon de convergence ............................................................................................. 15
1) Définition ................................................................................................................................... 15
2) Rayon de convergence .............................................................................................................. 15
3) Détermination pratique du rayon de convergence ................................................................... 17
4) Opération sur les séries entières ............................................................................................... 18
II) Propriété de la somme des séries entières ................................................................................... 18
1) Continuité .................................................................................................................................. 18
2) Dérivabilité ................................................................................................................................ 19
3) Intégration ................................................................................................................................. 20
4) Exemples de calcul de sommes ................................................................................................. 20
A) Exemples de calcul de somme d’une série entière ............................................................... 20
B) Exemples de calcul de somme d’une série numérique ......................................................... 21
III) Développement d’une fonction en série entière ...................................................................... 21
1) Série de Mac Laurin ................................................................................................................... 21
2) Méthode pratique de développement en série entière – Développements usuels ................. 23
A) Par la formule de Mac Laurin ................................................................................................ 23
B) Par somme, dérivation, intégration ...................................................................................... 24
C) A partir d’une équation différentielle ................................................................................... 25
D) Fractions rationnelles ............................................................................................................ 26
E) Par un produit de Cauchy ...................................................................................................... 26
IV) Applications ............................................................................................................................... 27
1) Calcul de sommes ...................................................................................................................... 27
2) Résolutions de certaines équations différentielles ................................................................... 27
3) L’exponentielle complexe .......................................................................................................... 27

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I) Généralité – Rayon de convergence
1) Définition
Définition : On appelle série entière d’une variable complexe  (ou d’une variable réelle ) une série
de la forme :  (ou ) où  est une suite de nombres réels ou complexes. Les
nombres  sont appellées les coefficients de la série entière.
Remarques :
 Les fonctions sommes partielles d’une série entière sont des fonctions polynômes.
 Si , la série entière converge et 
 .
Exemple 1 :
Un polynôme est une série entière : tous les coefficients sont nuls à partir d’un certain rang.
Exemple 2 :
  et  sont des séries entières.
  est une série entière, et 
Exemple 3 :
Les séries ,  ,
 ne sont pas des séries entières. Ce sont des séries de
fonctions – dont les séries entières sont des cas particuliers – qui ne sont pas au programme.
Exemple 4 :
La série géométrique  est une série entière qui converge absolument si  ; sa norme vaut
Exemple 5 :
La série 
 est une série entière qui converge absolument pour tout , car d’après la règle de
d’Alembert, pour  : 
Il est naturel de s’interroger sur l’ensemble des  pour lesquels la série entière converge.
2) Rayon de convergence
Lemme d’Abel : Soit  une série entière et  tel que 
 est bornée. Alors pour tout
 tel que , la série  est absolument convergente.

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Preuve : Soit  tel que  et  tel que 
, .
on a : 
 avec  .
Comme 
 est une série géométrique de raison   donc convergente, par le théorème de
majoration,  est absolument convergente.
Le lemme d’Abel justifie la définition suivante :
Définition : Le nombre  s’appelle le rayon de convergence
de la série entière .
D’après le lemme d’Abel :
 Si , alors  est absolument convergente.
 Si , alors  diverge.
Le disque ouvert  est appelé disque de convergence de la série entière.
Remarques :
 Sur le cercle , on ne peut pas conclure a priori : La série entière peut converger ou
diverger
 Pour une série entière d’une variable réelle, le disque de convergence est réduit à un
intervalle ouvert  appelé intervalle de convergence.
Exemple 1 :
La série géométrique  converge absolument quand  et diverge si . Le rayon de
convergence vaut  et le disque de convergence est   .
Exemple 2 :
La série entière  diverge quand . Ainsi  et le disque de convergence est .
convergence
absolue
? (sur le cercle)
divergence

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Exemple 3 :
La série entière 
 converge absolument pour tout . Ainsi  et le disque de converge
est le plan est  tout entier.
3) Détermination pratique du rayon de convergence
Théorème : Soit  une série entière,
 Si 
 converge pour un certain  (respectivement   est bornée), alors le
rayon de convergence  de est tel que 
 Si  diverge pour un certain , alors 
Théorème (équivalence, comparaison) :
Soient  et deux séries de rayon de convergence  et ,
 Si il existe , tel que , alors 
 Si , alors 
Règle de d’Alembert : Soit  une série entière, si 
,
alors 
Exemple 1 :
Considérons la série entière 
, Alors 
. Ainsi, d’après d’Alembert,
.
 Si , 
 est la série harmonique qui diverge.
 Si , 
 est une série numérique qui converge (car vérifie le critère des
séries altérnées)
Ceci illustre le fait qu’en général, on ne peut rien dire sur la nature de la série sur le cercle de
convergence, car elle peut converger ou diverger.
Exemple 2 :
 Considérons la série entière 
, pour tout ,
D’après la règle de d’Alembert .
 Considérons la série entière 
, pour tout ,
D’après la règle de d’Alembert
.

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Règle de Cauchy : Soit  une série entière de rayon de convergence . Alors, 
Exemple :
Soit , 
. Par suite, d’après la règle de Cauchy, .
4) Opération sur les séries entières
Proposition : Opération Algébrique
Soient  et  deux séries entières de rayon de convergence  et ,
 Pour tout , la série entière  a pour rayon de convergence  et
 pour .
 Le rayon de convergence  de la série entière somme  vérifie
 et si , alors .
De plus, pour tout ,  
Proposition : Produit de Cauchy de deux séries entières
Soient  et  deux séries entières de rayon de convergence  et , alors le rayon de
convergence de la série entière produit de Cauchy définie par 
 vérifie
.
De plus, pour ,  
 .
Généralisation du produit de deux polynômes.
Exemple :
La série entière  a un rayon de convergence qui vaut 1. Pour , 
, et elle
converge.
Pour , 
II) Propriété de la somme des séries entières
Définition : La somme d’une série entière  de rayon de convergence  est une fonction
définie sur son cercle de convergence    par 
 .
1) Continuité
Théorème : Soit  une série entière de rayon de convergence . Alors la fonction somme
de cette série entière est continue sur le disque ouvert de convergence   .
Exemple 1 :
La série entière 
 a pour rayon de convergence . Ainsi 
 est continue sur .