TP : nombre de diagonales d`un polygone convexe 1°S5

TP : nombre de diagonales d'un polygone convexe 1°S5
Prérequis
1) A , B , C alignés équivaut à
⃗
AB
et
⃗
AC
sont colinéaires .
2) Dans un repère orthonormé (O ;
⃗
i
,
⃗
j
), si
A(xA;yA)
,
B(xB; yB)
alors la droite (AB) a
pour coefficient directeur
m=yB−yA
xB−xA
et pour ordonnée à l'origine
p=yA−m xA
.
3) On admettra qu'un polygone est convexe si ces diagonales sont à l'intérieur du polygone .
Activité
1) a) Les points A (3,2) , B(2, -2) et C(-4;3) sont-ils alignés ?
b) Combien de droites distinctes peut-on tracer en utilisant les trois points A , B et C ?
c) Déterminer une équation de chacune de ces droites sous la forme « réduite » y=m x +p.
2) Placer le point D(-3, -1) ; combien de droites distinctes supplémentaires peut-on alors
tracer ? Combien a-t-on de droites au total ? Le quadrilatère ABDC est-il convexe ?
3) Placer le point E(5,0) ; combien de droites distinctes supplémentaires peut-on alors
tracer ? Combien a-t-on de droites au total ? Le pentagone ACBDE est-il convexe ? Combien
a-t-il de diagonales ?
4) Placer un nouveau point F à coordonnées entières , n'appartenant à aucune des droites du
dessin et tel que AFCBDE soit un hexagone convexe . Combien de droites supplémentaires
peut-on tracer ? Les dessiner .
Combien a-t-on de droites au total ? Combien de diagonales ?
5) a) Ecrire un algorithme permettant de déterminer le nombre de diagonales d'un polygone
convexe à n côtés .
b) Quel est le nombre de diagonales d'un myriagone convexe ?

Corrigé DM1 première S1
première partie
1) a) le vecteur
⃗
AB
a pour coordonnées (-1;-4) et le vecteur
⃗
AC
a pour coordonnées (-7;1) ;
Le déterminant est égal à : det=(-1)(1)-(-4)(-7)=-29 ; il est non nul donc les points ne sont
pas alignés car les deux vecteurs ne sont pas colinéaires .
b) ABC forme un triangle donc il y a trois droites distinctes passant par A , B , C .
c) Droite (AB) : son coefficient directeur est
m=−4
−1=4
; comme y=4 x+p en prenant x=3 et
y=2(coordonnées de A) on trouve 4(3)+p=2 donc p=-10 .
L'équation de la droite (AB) est
y=4 x−10
;
par la même méthode , on trouve que l'équation de la droite (AC) est :
y=− 1
7x+17 7
et que celle de
la droite (BC) est
y=− 5
6x−1 3
;
2) A partir de D on peut tracer trois droites supplémentaires ; il y a en tout pour ces 4 points 6
droites .
3) A partir de E on peut tracer quatre droites supplémentaires ; il y a en tout pour ces 5 points
10 droites .
4) A partir de F on peut tracer cinq droites supplémentaires ; il y a en tout pour ces 6 points 15
droites .

Deuxième partie (1ère S1)
1) a)
Nb de points 6 7 8 9 10 11
Nb de
droites
15 21 28 36 45 55
b) Par addition , on obtient 2 S=(1+10)+(2+9)+....+(9+2)+(10+1)=(11)+(11)+...(11)+(11)=10(11)
donc S=110/2=55 ;
1 correspond à la droite formée par deux points , puis à chaque qu'on ajoute un point la somme
augmente de 2 , puis de 3 jusqu'à 10 pour le 11ème point qui forme 10 nouvelles droites avec les 10
autres points du dessin .
2) On pose
N=1+2+...+(n−2)+(n−1)
le nombre de droites car le n ème point forme n-1
nouvelles droites avec les n-1 autres points ;
procédons avec la méthode du 1)b) :
2 N =(1+n−1)+(2+n−2)+....+(n−2+2)+(n−1+1)=n+n+...+n+n=n(n−1)
car il y a n-1
termes à cette somme ; On en déduit que
N=n(n−1)
2
.
3) Un myriagone convexe possède 10000 côtés et est formé par 10000 points placés dans les mêmes
conditions que précédemment . Par ces 10000 points passent
N=10000 (10000−1)
2=4995000
droites . Parmi elles , il y a les 10000 côtés qui ne sont pas des diagonales donc le nombre de
diagonales est de 4995000-10000=4985000.

Devoir maison N°1 1°S2
On considère un repère orthonormé (O ;
⃗
i
,
⃗
j
)
Première partie
1) a) Les points A (3,2) , B(2, -2) et C(-4;3) sont-ils alignés ?
b) Combien de droites distinctes peut-on tracer en utilisant les trois points A , B et C ?
c) Déterminer une équation de chacune de ces droites sous la forme « réduite » y=m x +p.
2) Placer le point D(-3, -1) ; Combien de droites distinctes supplémentaires peut-on alors
tracer ? Combien a-t-on de droites au total ?
3) Placer le point E(5,0) ;Combien de droites distinctes supplémentaires peut-on alors
tracer ? Combien a-t-on de droites au total ?
4) Placer un nouveau point F à coordonnées entières et n'appartenant à aucune des droites
du dessin . Combien de droites supplémentaires peut-on tracer ? Les dessiner .
Combien a-t-on de droites au total ?
Deuxième partie
1) a) Si on avait placé 12 points deux à deux distincts et tels qu' aucun triplet de points ne soit
alignés , combien de droites distinctes pourrait-on tracer passant par deux points du dessin ?
b) On pose S= 1 +2 +3 +4 +5 + 6+ 7 + 8 + 9+10+11 et
S= 11+10+9+ 8 +7 +6 +5 +4 +3 +2 +1
Justifier que 2 S = 11 (12) et en déduire S .
Expliquer pourquoi on retrouve le résultat de la question 1)a) .
2) Démontrer que pour n points deux à deux distincts et tels qu' aucun triplet de points ne soit
alignés le nombre N de droites distinctes passant par deux points du dessin est
N=nn−1
2
.
3) Quel est le nombre de diagonales d'un dismyriagone convexe ?

Corrigé DM1 première S2
première partie
2) a) le vecteur
⃗
AB
a pour coordonnées (-1;-4) et le vecteur
⃗
AC
a pour coordonnées (-7;1) ;
Le déterminant est égal à : det=(-1)(1)-(-4)(-7)=-29 ; il est non nul donc les points ne sont
pas alignés car les deux vecteurs ne sont pas colinéaires .
b) ABC forme un triangle donc il y a trois droites distinctes passant par A , B , C .
c) Droite (AB) : son coefficient directeur est
m=−4
−1=4
; comme y=4 x+p en prenant x=3 et
y=2(coordonnées de A) on trouve 4(3)+p=2 donc p=-10 .
L'équation de la droite (AB) est
y=4 x−10
;
par la même méthode , on trouve que l'équation de la droite (AC) est :
y=− 1
7x+17 7
et que celle de
la droite (BC) est
y=− 5
6x−1 3
;
2) A partir de D on peut tracer trois droites supplémentaires ; il y a en tout pour ces 4 points 6
droites .
3) A partir de E on peut tracer quatre droites supplémentaires ; il y a en tout pour ces 5 points
10 droites .
4) A partir de F on peut tracer cinq droites supplémentaires ; il y a en tout pour ces 6 points 15
droites .