La méthode d`Euler - Lycée Pierre Gilles de Gennes

Première S1
2013 - 2014
à rendre le lundi 27 janvier
Devoir à la maison n°6
La méthode d’Euler
f étant une fonction dérivable sur un intervalle I dont la fonction dérivée f ′ est connue. Dans un repère, C est la courbe
représentative de f . À partir d’un point M0 (x0 ; y0 ) connu de C , la méthode d’Euler permet de tracer une ligne polygonale
qui représente «approximativement» la courbe C . Voici son algorithme 1 de mise en œuvre.
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Variables : f ′ : fonction ; x0 , y0 , x1 , y1 , h : nombres réels ; n, k : nombres entiers
Entrées : f ′ , x0 , y0 , h, n
Début
Pour k de 1 jusqu’à n faire
x1 ← x0 + h
y1 ← y0 + h × f ′ (x0 )
Placer le point M0 (x0 ; y0 )
Placer le point M1 (x1 ; y1 )
Tracer le segment [M0 M1 ]
x0 ← x1
y0 ← y1
FinPour
Fin
1. Montrer que le point M1 appartient à la tangente à C au point M0 .
On admet qu’il existe une fonction f dérivable sur ]0; +∞[ telle que :
f (1) = 0 et pour tout réel x ∈]0; +∞[, f ′ (x) =
1
.
x
2. Quel est le point M0 dans ce cas ?
3. On désire appliquer l’algorithme d’Euler à cette fonction en ce point M0 .
a) Reproduire et compléter le tableau ci-dessous en indiquant à 10−3 près les valeurs x0 , y0 , x1 et y1 obtenues aux lignes
3 et 4 lorsque l’on applique l’algorithme pour h = 0, 1 et n = 10.
k
1
2
...
x0
...
y0
...
x1
...
y1
...
b) Reproduire et compléter le tableau ci-dessous en indiquant à 10−3 près les valeurs x0 , y0 , x1 et y1 obtenues aux lignes
3 et 4 lorsque l’on applique l’algorithme pour h = −0, 1 et n = 10.
k
1
2
...
x0
...
y0
...
x1
...
y1
...
c) Sur une feuille de papier millimétré :
• tracer un repère orthonormé (unité 5 cm) ;
• tracer la ligne polygonale obtenue lorsque l’on applique l’algorithme dans les deux cas vu précédemment (on
attend une précision au millimètre).
4. Pour information : La fonction étudiée ci-dessus n’est autre que la fonction logarithme népérien notée ln sur la calculatrice.
a) Donner l’erreur à 10−3 près en ln(0, 8) et la valeur approchée que vous avez calculée.
b) Recommencer pour ln(2).
c) Comment procéder si l’on veut réduire l’erreur commise ?
En utilisant l’algorithme d’Euler, écrire un programme dans le langage de votre calculatrice pour obtenir une valeur
approchée à 10−2 près de ln(2). Vous donnerez la valeur approchée à 10−4 ainsi obtenue, les valeurs de h et de n
utilisées.
1. Si vous voulez programmer cet algorithme sur votre calculatrice vous utiliserez les fonctions Ligne(X0,Y0,X1,Y1) sur TI et F-Line
X0,Y0,X1,Y1 sur Casio.
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