PDF_MT10_ChapIII5 Fichier - UTC

5. Arithm´etique dans les anneaux
1, l’anneau mod`ele
2Expression de l’arithm´etique dans un anneau commutatif
3Propri´et´e des anneaux int`egres
4Lien entre ´el´ement premier et ´el´ement irr´eductible
5Anneau euclidien, principal, factoriel
6Aeuclidien =⇒Aprincipal
7Aprincipal =⇒Afactoriel
8Acorps ⇐⇒ A[X]principal
9Afactoriel =⇒A[X]factoriel

1. , l’anneau mod`ele
(,+,0,·,1) est un anneau commutatif int`egre.
Propi´et´es arithm´etiques de
1division euclidienne
2les id´eaux de sont les n
3factorisation unique (`a l’ordre et au signe pr`es)
et aussi : Algorithme d’Euclide, Th´eor`eme de B´ezout, Lemme de Gauss
Remarque :
∗={−1; 1}et donc : “au signe pr`es” = “`a un inversible pr`es”

2. Expression de l’arithm´etique dans un anneau commutatif
Soit un anneau (A, +,0,∗, e)commutatif.
•Soit a∈A. Le plus petit id´eal de Acontenant as’appelle l’id´eal engendr´e
par aet se note (a).
D´efinition (id´eal principal)
On dit que I⊂A, est un id´eal principal s’il existe a∈Atel que I= (a).
Exercices :
1(a) = aA ={a∗x:x∈A}
2u∈A∗⇐⇒ (u) = A
•Soient a, a0∈A.
adivise a0
a|a0d´ef ⇐⇒ (∃b∈A)a∗b=a0⇐⇒ a0∈(a)⇐⇒ (a0)⊂(a)

arithm´etique dans un anneau commutatif (2)
•Exercice : On d´efinit une relation d’´equivalence sur Apar
∀a, a0∈A, a ∼a0d´ef ⇐⇒ (∃u∈A∗)a∗u=a0
D´efinition (´el´ements associ´es)
On dit que les ´el´ements aet a0de Asont associ´es si a∼a0.
Exercice : a∼a0=⇒a|a0et a0|a⇐⇒ (a)=(a0)
(r´eciproque fausse en g´en´eral . . .)
•D´efinition (un pgcd)
Soient a, a0∈A. On dit que d∈Aest un pgcd de aet a0si
d|a, d|a0et (∀c∈A)c|aet c|a0=⇒c|d
existence ? unicit´e ?
s’il existe, pgcd(a, a0)d´esigne un pgcd quelconque de aet a0.

arithm´etique dans un anneau commutatif (3)
•D´efinition (un ppcm)
Soient a, a0∈A. On dit que m∈Aest un ppcm de aet a0si
a|m, a0|met (∀c∈A)a|cet a0|c=⇒m|c
existence ? unicit´e ?
s’il existe, ppcm(a, a0)d´esigne un ppcm quelconque de aet a0.
•D´efinition (premiers entre eux)
Soient a, a0∈A. On dit que aet a0sont premiers entre eux (ou ´etrangers) si
leurs seuls diviseurs communs sont les inversibles. Dans ce cas, l’ensemble
des pgcd est A∗, on notera simplement pgcd(a, a0)∼e.