XIII- Etoiles naines blanches

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XI - STATISTIQUE DES ETOILES NAINES BLANCHES
Historiquement, c’est la première utilisation de la statistique de Fermi-Dirac (1926) .
En astrophysique, une règle empirique est que la brillance d’une étoile est proportionnelle à
sa couleur (longueur d’onde prédominante) : une étoile de couleur rouge n’est pas brillante,
tandis qu’une étoile blanche est brillante ( voir le diagramme de Hertzsprung – Russel ci-
dessous ). Les géantes rouges et les naines blanches constituent des exceptions à cette
règle générale. La raison de cet état de fait est :
i)Les géantes rouges sont des étoiles relativement jeunes, dont le constituant est
principalement de l’hydrogène ; les réactions thermonucléaires se font à grande vitesse, ce
qui donne une grande brillance.
ii)Les naines blanches sont de vieilles étoiles, constituées principalement d’hélium ; les
réactions thermonucléaires se font à faible vitesse, ce qui donne une étoile de faible
brillance.
Naines
blanches
Géantes
rouges
Séquence
principale
rouge couleur
Brillance
Diagramme de Hertzsprung-Russel
blanche
Une étoile naine blanche, dans un modèle simplifié, est représentée par une masse
d’hélium (pour comparaison, la masse du soleil es ), dans
une sphère de haute densité à une température centrale . A
cette température, l’énergie d’agitation thermique est de l’ordre de 1
KgM 30 10≈KgMS30
102=
310 /10 mKg≈
ρ
KT °≈ 7 10
Ke
V
. Cette énergie est
nettement plus élevée que l’énergie d’ionisation de l’atome d’hélium , de l’ordre de 28 eV; on
considérera donc que tout l’hélium de l’étoile est ionisé. L’étoile est ainsi composée de
N
électrons libres, et de noyaux d ‘hélium.
2/N
La masse de l’étoile est :
(
)
pp NmmmNM 22
≈
+
=
où m est la masse d’un électron et la masse d’un proton.
p
m
La densité d’électrons est :
337 /10
2me mV
N
np≈==
ρ
L’énergie de Fermi de ce système vaut :
eV
mg n
F6
2
3/2
210
2
6≈
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
π
ε
Cette valeur est plus grande que l’énergie de masse de l’électron ( ; ceci
entraîne que la dynamique des électrons est relativiste. )511.0 MeV

91
La température de Fermi vaut :
K
k
TF
F°≈= 10
10
ε
On a ainsi : 3
10− ≈
F
T
T. Le gaz de fermions est, statistiquement, dans un état de
dégénérescence complète. La pression cinétique des noyaux d’hélium et la pression de
radiation ( beaucoup plus faibles que la pression cinétique des électrons ) seront négligées.
Nous négligerons aussi la variation spatiale de la densité électronique. Bien que nous ayons
fait beaucoup de simplifications, nous obtenons des résultats qui sont en accord avec
l’expérience, au moins qualitativement.
Le gaz étant macroscopique, les niveaux d’énergie sont très serrés ; nous utiliserons
l’approximation de statistique classique : nous avons un état par volume de l’espace des
phases :
3
h
3
3
0
2
388 F
Pp
h
V
dpp
h
V
NF
ππ
== ∫
L’impulsion de Fermi est donnée par:
F
p
h
n
pF
3/1
8
3⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
π
L’énergie cinétique d’une particule relativiste d’impulsion
p
et de masse au repos est :
m
()
(
)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−+= 1/1 2/1
2
2mcpmc
ε
La vitesse d’une particule est telle que :
()
[
]
2/1
2
/1
/
mcp
mcp
c
dp
d
v+ ==
ε
L’énergie cinétique totale du gaz est donnée par la relation :
()
()
∫⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−+= F
pdppmcpmc
h
V
E
0
2
2/1
2
2
3
01/1
8
π
La pression cinétique du gaz d’électrons est :
()
()
[
]
∫+
== F
pdpp
mcp
mcp
mc
h
pv
V
N
P
0
2
2/1
2
2
2
3
0/1
/8
3
1
π
Introduisons la variable sans dimensions
θ
telle que :
(
)
θ
shmcp
=
On a ainsi :
(
) [
1
2−=
θε chmc
]
et
(
)
θ
thcv
=
Nous avons alors :
()
F
sh
h
cVm
N θ
π
3
3
33
3
8
=
()( ) () ()
∫−= Fdchshch
h
cVm
E
θ
θθθθ
π
0
2
3
54
01
8
()
∫
=Fdsh
h
cVm
P
θ
θθ
π
0
4
3
54
03
8

92
En posant
()
mc
p
shx F
F==
θ
, nous avons :
3
3
33
3
8x
h
cVm
N
π
=
() xB
h
cVm
E3
54
0
π
=
() xA
h
cVm
P3
54
03
π
=
Les fonctions et sont telles que :
() xA () xB
()
(
)
(
)
() xshxxxxA 12
2/1
23321 −
+−+=
()
(
)
() xAxxxB −
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧−+= 118 2/1
23
Les fonctions et sont déterminées numériquement pour n’importe quelle valeur
de
() xA () xB
x
; des comportements asymptotiques sont parfois utiles :
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≈
≈
⇒5
5
5
12
5
8
1xxB
xxA
x≺≺
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−≈
−≈
⇒24
24
86
22
1xxxB
xxxA
x
03691215
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
PV/E
X
Nous avons :
()
()
xB xA EVP =
0
0

93
Ce rapport tend vers la valeur lorsque
3/2 0→
x
(cas non relativiste) ; il tend vers la
valeur lorsque
3/1 ∞→
x
(cas relativiste extrême : photons). Il varie uniformément de la
valeur à la valeur , comme le montre la figure précédente.
3/2 3/1
Considérons maintenant la stabilité d’une naine blanche. Le gaz de l’étoile est soumis
principalement à deux effets antagonistes : une agitation thermique ou pression cinétique qui
le pousse vers l’extension, et une attraction gravitationnelle qui a tendance à le comprimer.
On a supposé que le gaz est distribué avec une densité constante dans une sphère de
rayon . Quand le rayon varie de la quantité : n
RdR
- l’énergie cinétique du gaz varie de la quantité
() dRRRPdVPdEC2
00 4
π −=−=
- l’énergie potentielle gravitationnelle varie de : dR
R
GM
dEg2
2
α =
où
G
est la constante gravitationnelle,
M la masse de l’étoile,
α
est un paramètre, proche de l’unité, ajustable pour tenir compte de la non uniformité de la
densité de l’étoile.
Quand l’étoile est en équilibre, la variation d’énergie totale et nulle :
0
=
+
gC dEdE
ce qui entraîne :
()
4
2
04R
GM
RP
π
α
=
En écrivant la variable
x
sous la forme :
R
mc
m
M
mc
hn
xp
/
8
9
8
33/1
3/1 
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
π
π
En utilisant l’expression de , nous avons :
() xA
2
2
3
3/1 //
6
/
8
9
mc
RGM
R
mc
R
mc
m
M
Ap⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
πα
π
Cette égalité est la relation masse-rayon. Elle est obtenue par une combinaison de
mécanique quantique, de relativité et de gravitation. Elle utilise des paramètres sans
dimension qui sont des rapports de :
- la masse de l’étoile à la masse du proton,
- le rayon de l’étoile à la longueur d’onde Compton de l’électron,
- l’énergie gravitationnelle de l’étoile à l’énergie de masse au repos de l’électron.
Au vu de la complexité de cette relation, nous voyons que nous ne pouvons pas exprimer le
rayon de l’étoile comme fonction explicite de sa masse, sauf dans les cas extrêmes.
Sachant que ,
KgM 30 10≈
x
est de l’ordre de l’unité lorsque Les cas extrêmes
sont définis de la manière suivante : .106mR ≈
a) . On a
mR 6 10 1≺≺
x
et donc :
()
5
5
8xxA ≈ ce qui entraîne :
(
)
3/5
3/12
3/2
40
93
p
Gmm
M
R
−
≈
α
π
b) soit
mR 6 10≺≺ 1
x
. On a :
(
)
24 22 xxxA −≈ . Ceci entraîne :
()
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
≈
3/2
0
3/1
3/1 1
2
9M M
m
M
mc
h
Rp
π

94
avec :
()
2
2/3
2/1
3
0/3
64
9
p
m
Gc
M
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
α
π
Nous voyons que plus la masse de l’étoile est grande , plus le rayon sera petit. Et
surtout, il existe une masse limite pour laquelle le rayon de l’étoile est nul. La relation
masse – rayon n’a pas de solution pour . Nous en concluons que toutes les étoiles
naines blanches ont une masse inférieure à : ce fait est vérifié par l’expérience. Ceci
s’explique par le fait que, au-dessus d’une certaine masse, la pression du gaz est
insuffisante pour résister à l’effondrement gravifique . La masse limite est appelée limite
de Chandrasekhar. Des études détaillées ont conduit à la limite:
0
M
0
MM ≥
0
M
0
M
S
MM 44.1
0
=
(
)
KgMS30 102×=
où est la masse du Soleil
S
M.