Chapitre 3 : Angles inscrit et au centre dans un cercle

Chapitre 3 : Angles inscrit et au centre dans un cercle
1. Problème
Hypothèses :
•
ABC est un triangle isocèle.
•
E est le symétrique de B par rapport à A.
L'affirmation suivante est-elle vraie ?
Affirmation : Pour n'importe quelle valeur de ̂
ABC , on a :
̂
̂
EAC=2
ABC
2. Conjecture
Hypothèses :
Conjecture : Il semble que l'affirmation soit vraie.
•
ABC est un triangle isocèle.
•
E est le symétrique de B par rapport à A.
3. Démonstration
Hypothèses :
•
ABC est un triangle isocèle.
•
E est le symétrique de B par rapport à A.
̂ = x.
On note : ABC
̂ = 2x.
On souhaite démontrer que EAC
Une première démonstration
On démontre que : BEC est rectangle en C.
Préliminaires : On a AB = AC = AE et B, A et E sont alignés.
Donc : B, C et E appartiennent au cercle de diamètre [BE].
On sait que : C appartient au cercle de diamètre [BE].
Propriété : Si le cercle circonscrit à un triangle a pour diamètre d'un triangle alors ce triangle est
rectangle.
Conclusion : BEC est rectangle en C.
̂ , ACE
̂ et AEC
̂ :
On détemine les mesures de ACB
• ACB est isocèle en A donc ACB = ABC = x.
• ACB et ACE sont adjacents et complémentaires donc ACE = 90 – x
• EAC est isocèle en A donc AEC = ACE = 90 – x.
̂ :
On détermine la mesure de EAC
Dans un triangle, la somme des mesures des angles en degré est égale à 180, donc :
̂ = 180 – (90 – x + 90 – x)
EAC
= 180 – (180 – 2x)
= 180 – 180 + 2x
= 2x
Une deuxième démonstration
̂ :
On détermine la mesure de BAC
Dans un triangle, la somme des mesures des angles en degré est égale à 180, donc :
̂ = 180 – (x + x)
EAC
= 180 – 2x
̂ :
On détermine la mesure de EAC
̂ et EAC
̂ sont adjacents et supplémentaires, donc :
Les angles BAC
̂ = 180 – (180 – 2x)
EAC
= 180 – 180 + 2x
= 2x
4. Généralisation
Hypothèses :
•
Soit (C), un cercle de centre O.
•
Soient A, B et C trois points de (C) tous distincts tel que ̂
BAC soit saillant
On appelle D, le point d'intersection de [AO) et de (C) distinct de A.
On raisonne par disjonction des cas.
Trois cas peuvent se produire :
Cas 1 : D est confondu avec B ou C.
Cas 2 : D appartient à l'arc de cercle de (C) intercepté par ̂
BAC et n'est confondu ni avec B ni avec C.
Cas 3 : D n'appartient pas à l'arc de cercle de (C) intercepté par ̂
BAC et n'est confondu ni avec B ni
avec C.
Cas 1 : D est confondu avec B ou C.
Dans ce cas, d'après le paragraphe 3, on a :
̂
BOC=2 ̂
BAC
Cas 2 : D appartient à l'arc de cercle de (C) intercepté par
̂
BAC et n'est confondu ni avec
B ni avec C.
Dans ce cas là, les angles ̂
BAD et ̂
DAC d'un part et ̂
BOD et ̂
DOC d'autre part sont adjacents.
En utilisant deux fois le résultat obtenu dans le paragraphe 3, on obtient :
̂
BOD = 2 ̂
BAD et ̂
DOC = 2 ̂
DAC .
On en déduit que : ̂
BOC = ̂
BOD + ̂
DOC = 2 ̂
BAD + 2 ̂
DAC = 2( ̂
BAD + ̂
DAC ) = 2 ̂
BAC
Cas 3 : D n'appartient pas à l'arc de cercle de (C) intercepté par ̂
BAC et n'est confondu ni
avec B ni avec C.
Deux cas peuvent alors se produire :
•
Cas 3.1 : ̂
DAB et ̂
BAC sont adjacents.
Dans ce cas là, ̂
DOB et ̂
BOC sont également adjacents.
En utilisant deux fois le résultat obtenu dans l'étude du cas 1, on obtient :
̂
BOD = 2 ̂
BAD et ̂
DOC = 2 ̂
DAC .
On en déduit que : ̂
BOC = ̂
DOC – ̂
DOB = 2 ̂
DAC – 2 ̂
BAD = 2( ̂
DAC – ̂
BAD ) = 2 ̂
BAC .
•
̂ sont adjacents.
Cas 3.2 : ̂
BAC et CAD
En raisonnant comme dans le cas 1, on obtient également que : ̂
BOC = 2 ̂
BAC .
Remarques :
•
Si B et C sont confondus alors, les angles ̂
BOC et ̂
BAC sont tous les deux nuls et on a donc :
̂
BOC = 2 ̂
BAC .
•
La démonstration dans le cas où ̂
BOC est rentrant est identique.
5. Définitions
Données :
Les points A, B, C et A’ appartiennent au même cercle
(C) de centre O. (On dit qu’ils sont cocycliques).
Définition :
Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet appartient au cercle et dont
les côtés coupent le cercle en des points distincts du sommet.
BA' C et ̂
BAC sont deux angles inscrits dans le cercle (C).
Exemple : ̂
Définition :
Soient A, B et C trois points d’un même cercle (C).
BAC
On appelle arc de cercle du cercle (C) intercepté par l’angle inscrit ̂
l’arc de cercle
d’extrémités B et C qui ne contient pas A.
Exemple :
̂
BAC intercepte l’arc d'extrémités B et C (en rouge).
B et C (en bleu).
̂
BA' C intercepte l'arc d'extrémités
Données :
Les points A et B appartiennent au même cercle (C) de
centre O.
Définition :
Un angle au centre dans un cercle est un angle dont le sommet est le centre du cercle.
Exemple : L'angle saillant
̂
AOB et l'angle rentrant AOB sont deux angles au centre du cercle (C).
Définition :
Soient A et B deux points d’un cercle (C) de centre O.
•
AOB l'arc de
On appelle arc de cercle du cercle (C) intercepté par l'angle au centre ̂
cercle d'extrémités A et B dont la longueur est inférieure ou égale à celle d'un demicercle de même rayon que (C).
•
On appelle arc de cercle du cercle (C) intercepté par l'angle au centre AOB l'arc de
cercle d'extrémités A et B dont la longueur est supérieure ou égale à celle d'un demicercle de même rayon que (C).
Exemple :
AOB intercepte l’arc d'extrémités A et B (en rouge) et l'angle rentrant AOB intercepte
L'angle saillant ̂
l'arc d'extrémités A et B (en bleu).
6. Angle inscrit et angle au centre interceptant un même arc de
cercle dans un cercle.
On a démontré partiellement le théorème suivant (dans le cas où l'angle au centre est saillant) :
Théorème :
Si dans un cercle, une angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc, alors la
mesure de l’angle au centre est égale au double de la mesure de l’angle inscrit.
Cas particulier
Données :
A appartient au cercle de diamètre [BC] et de centre
O.
Par hypothèse, [BC] est un diamètre du cercle donc l’angle au centre ̂
BOC mesure 180°.
On déduit alors de la propriété précédente que l’angle inscrit ̂
BAC
que ̂
BOC mesure 90°.
Donc le triangle ABC est rectangle en A
qui intercepte le même arc de cercle
On redémontre ainsi le théorème vue en quatrième :
Théorème : Si le cercle circonscrit à un triangle à pour diamètre un des côtés du triangle
alors ce triangle est rectangle
7. Angles inscrits interceptant le même arc de cercle dans un cercle
7.1 Problème.
L'affirmation suivante est-elle vraie ?
Affirmation : Si, dans un cercle, deux angles inscrits interceptent le même arc de cercle alors ils sont
égaux.
7.2 Conjecture
Hypothèses
̂
̂
' C et BA
' C interceptent le même arc de
Les angles inscrits BA
cercle d'extrémités B et C dans un cercle de centre O.
̂ et BA
̂
' C , on a formulé la conjecture
Dans le cahier d'exercices, après avoir mesuré les angles BAC
suivante :
Il semble que :
̂
̂
BA
' C = BAC
7.3 Démonstration
On se place dans les mêmes hypothèses que dans le paragraphe 7.2.
̂ et l’angle au centre BOC
̂ interceptent le même arc de cercle par
On sait que : L’angle inscrit BAC
hypothèse.
Théorème : Si dans un cercle, une angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc, alors la
mesure de l’angle au centre est égale au double de la mesure de l’angle inscrit
̂
̂ = BOC
Donc : BAC
2
̂
BOC
̂
'C =
De la même façon, on démontre que : BA
2
̂ = BA
̂
'C
On en déduit que : BAC
7.4 Enoncé de la propriété
On vient de démontrer la propriété suivante :
Propriété :
Si dans un cercle, deux angles inscrits interceptent le même arc de cercle, alors ils ont la
même mesure.