2niv2géométrie chap4

Mathématiques 2e Niv.1 et 2 Troisième partie : Géométrie Théorie chapitre 4
COLLEGE SISMONDI (S.Z +G.E) 2012 - 2013 CH. 4, P.27
CHAPITRE 4
CERCLES
§ 4.1 Equation d'un cercle donné par son centre et son rayon
4.1.1 Equation cartésienne d'un cercle
Nous savons déjà qu'un cercle est un ensemble de points situés à une même distance d'un point fixe. Ce
point fixe s'appelle le centre et la distance le rayon du cercle.
Considérons maintenant un plan muni d'un repère orthonormé, un point C = ( x0 ; y0 ) de ce plan et un
nombre réel positif r. Un point P = ( xP ; yP ), appartient au cercle de centre C et de rayon r si la distance de
C à P est égale à r, c’est-à-dire si δ (C; P) = r.
Définition :
Le cercle c de centre C et de rayon r est
l'ensemble des points du plan situés à une
distance constante r du point C ,
δ (C; P) = r,
c'est-à-dire :
€
(x −x0)2+(y −y0)2
= r
P ∈ c
C = (x0 ; y0)
P = (x ; y)
δ(P ; C) = r
Puisque les deux membres de l'égalité ci-dessus sont positifs, elle est équivalente à
€
(x −x0)2+(y −y0)2=r2
qui est donc l'équation cartésienne du cercle c
de centre C = (x0 ; y0) et de rayon r.
C'est cette dernière forme que nous utiliserons comme condition caractéristique d'un cercle.
P = ( x ; y ) est donc un point du cercle de centre C = ( x0 ; y0 ) et de rayon r si ses coordonnées vérifient la
condition (x – x0)2 + (y – y0)2 = r2 ; le cercle de centre C et de rayon r est alors l'ensemble de tous les
points qui vérifient cette condition.
En langage ensembliste: c = {(x; y) | (x - x0)2 + (y - y0)2 = r2 et (x; y) ∈ 2}. R
Exemple :

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1. L'équation du cercle c de centre
C = ( 2 ; –3 ) et de rayon r = 5 est
(x – 2)2 + (y + 3)2 = 52
Cette équation se transforme de la façon suivante:
x2 – 4x + 4 + y2 + 6x + 9 = 25
x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0
Finalement c : x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0
Le point A = ( 5 ; 1 ) est un point du cercle c, car :
xA2 + yA2 – 4xA + 6yA – 12 = 52 + 12 – 4·5 + 6·1 – 12 = 25 + 1 – 20 + 6 – 12 = 0
ou bien car, CA =
€
(5 −2)2+(1+3)2
=
€
32+42
=
€
9+16
=
€
25
= 5 = r.
Le point B = ( 1 ; 3 ) n'est pas un point du cercle c, car
xB2 + yB2 – 4xB + 6yB – 12 = 12 + 32 – 4·1 + 6·3 – 12 = 1 + 9 – 4 + 18 – 12 = 12
ou bien car, CB =
€
(1−2)2+(2 +3)2
=
€
1
2+52
=
€
1+25
=
€
26
> 5 (ce qui montre que le point B est à
l'extérieur du cercle c ).
2. L'équation du cercle c de centre C = (-3; 5) et de rayon r = 20 est :
c : (x + 3)2 + (y - 5)2 = 400 ou x2 + y2 + 6x - 10y -376 = 0
Un cercle c peut aussi être défini par son centre et un de ses points ; dans ce cas, on commence par
déterminer son rayon, qui est égal à la distance du centre au point donné.
Exemple :
Si l'on connaît le point A = (1 ; -2 ) du cercle c de centre C = ( 3 ; 4 ), son rayon est égal à la distance
de C à A:.
On a alors r = δ (C; A) = CA =
(1−3)2+(−2−4)2
=
(−2)2+(−6)2
=
4+36
=
40
.
L'équation de ce cercle est donc (x – 3)2 + (y – 4)2 =
40
( )
2
qui se transforme en x2 – 6x + 9 + y2 – 8y + 16 = 40
x2 + y2 – 6x – 8y – 15 = 0
Finalement l'équation devient : c : x2 + y2 – 6x – 8y – 15 = 0.
On vérifie facilement que le point A appartient à c :
xA2 + yA2 – 6xA – 8yA – 15 = 12 + (-2)2 – 6·1 – 8·(-2) – 15 = 1 + 4 – 6 + 16 – 15 = 0
4.1.2 Forme générale de l'équation d'un cercle
Nous avons vu dans les exemples précédents que l'équation caractéristique du cercle pouvait toujours
s'écrire comme une équation du deuxième degré à deux variables, de la forme
x2 +y2 + ax + by + c = 0 où a, b et c sont des nombres réels.
C'est cette forme que nous appellerons la forme canonique de l'équation d'un cercle.
Pour retrouver le centre et le rayon d'un cercle donc on connaît l'équation sous sa forme canonique, on
utilise la méthode de complétion des carrés que nous avons vue en 1ère année.
y
x
0 1
1
•
•
•
C
A
B
C

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L'équation ci-dessus a donc les caractéristiques suivantes :
a) elle est du 2e degré en x et en y;
b) les coefficients de x2 et de y2 sont égaux;
c) le coefficient du terme en xy est nul.

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Exemple :
L'équation x2 + y2 – 6x + 2y + 1 = 0 se transforme de la façon suivante:
x2 – 6x + y2 + 2y = -1
x2 – 6x + 9 + y2 + 2y + 1 = -1 + 9 + 1
(x – 3)2 + (y + 1)2 = 32
Le cercle donné est donc un cercle de centre C = ( 3 ; -1 ) et de rayon r = 3.
Malheureusement, contrairement à ce qui se passe pour les droites, une équation du type
x2 +y2 + ax + by + c = 0 ne définit pas toujours un cercle réel!
Exemple :
x2 + y2 + 4x – 4y + 24 = 0 se transforme successivement en
x2 + 4x + y2 – 4y = -24
x2 + 4x + 4 + y2 – 4y + 4 = -24 + 4 + 4
(x + 2)2 + (y – 2)2 = -16
Le rayon de ce cercle n'existe pas (car r2 ne peut jamais être égal à -16),
alors que son centre est C = ( -2 ; 2 ) !!
On parle dans ces cas–là de cercles imaginaires.
Cas particuliers
1. Si a = 0, alors l'équation devient x2 +y2 + by + c = 0 qui se transforme en
x2 + (y – yC)2 = r2 (si le cercle est réel).
Le centre du cercle est donc sur l'axe des y (car xC = 0).
2. Si b = 0, alors l'équation devient x2 +y2 + ax + c = 0 qui se transforme en
(x – xC)2 + y2 = r2 (si le cercle est réel).
Le centre du cercle est donc sur l'axe des x (car yC = 0).
3. Si a = 0 et b = 0, alors le cercle (s'il est réel) est centré en l'origine, c'est-à-dire C = ( 0 ; 0 ).
4. Si c = 0, alors l'équation devient x2 +y2 + ax + by = 0 et le point ( 0 ; 0 ) vérifie cette équation:
02 + 02 + a·0 + b·0 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0.
Le cercle passe donc par l'origine, O = ( 0 ; 0 ).
Remarque :
L'équation du cercle est donnée sous forme implicite : c'est une relation contenant x et y qui est égale
à 0. Si l'on voulait l'exprimer sous la forme y = f(x), il faudrait isoler y2 et on aurait alors deux
solutions : y1 = +
€
...
et y2 = -
€
...
.
Du point de vue fonctionnel, le cercle ne peut correspondre au graphique d'une seule fonction.

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4.1.3 Cercle passant par trois points
Nous avons vu en géométrie (cours de 1ère année) que par trois points (non alignés) du plan, on peut faire
passer un et un seul cercle, le cercle circonscrit au triangle formé par ces points et dont le centre se situe à
l'intersection des médiatrices du triangle.
Nous pourrions utiliser cette méthode en géométrie analytique, car nous savons déterminer les équations
des médiatrices d'un triangle, leur point d'intersection (qui serait le centre du cercle) et la distance de ce
point à l'un des points donnés (qui donnerait le rayon). Mais cette méthode est très longue.
Considérons trois points (non alignés) E = ( xE ; yE ), F = ( xF ; yF ) et G = ( xG ; yG ).
Le cercle Γ passant par ces trois points a une équation canonique qui doit pouvoir se mettre sous la forme
x2 + y2 + ax + by + c = 0, dont nous ne connaissons pas encore les coefficients a, b et c.
Mais le point E appartient au cercle Γ , donc ses coordonnées doivent vérifier l'équation du cercle et on doit
avoir : xE2 + yE2 + axE + byE + c = 0.
De la même façon, comme les points F et G appartiennent au cercle, on doit avoir:
xF2 + yF2 + axF + byF + c = 0 et xG2 + yG2 + axG + byG + c = 0
Nous avons donc trois équations dont les inconnues sont les coefficients a, b et c de la forme canonique. Il
ne reste qu'à résoudre un système de trois équations à trois inconnues.
Exemple:
Si E = ( -2 ; 1 ), F = ( 2 ; 5 ) et G = ( 4 ; 3 ), alors E ∈ Γ : xE2 + yE2 + axE + byE + c = 0
(-2)2 + 12 + a·(-2) + b·1 + c = 0
4 + 1 – 2a + b + c = 0
-2a + b + c = -5
De la même façon:
F ∈ Γ : xF2 + yF2 + axF + byF + c = 0 G ∈ Γ : xG2 + yG2 + axG + byG + c = 0
22 + 52 + a·2 + b·5 + c = 0 42 + 32 + a·4 + b·3 + c = 0
4 + 25 + 2a + 5b + c = 0 16 + 9 + 4a + 3b + c = 0
2a + 5b + c = -29 4a + 3b + c = -25
Il faut donc résoudre le système:
−2a+b+c=−5
2a+5b+c=−29
4a+3b+c=−25
"
#
$
%
$
(on utilise la méthode habituelle)
−2a+b+c=−5
2a+5b+c=−29
4a+3b+c=−25
"
#
$
%
$
1
−1
1
−1
−2a+b+c=−5
−4a−4b=24
−6a−2b=20
"
#
$
%
$
−2a+b+c=−5
a+b=−6
3a+b=−10
"
#
$
%
$
1
−1
−2a+b+c=−5
a+b=−6
−2a=4
"
#
$
%
$
d'où les solutions a = -2, b = -4 et c = -5
L'équation du cercle passant par E, F et G est Γ : x2 + y2 – 2x – 4y – 5 = 0.
On peut facilement retrouver le centre et le rayon de ce cercle.