Ecoulement entre deux cylindres (coulement de Couette)

Ecoulement de Couette cylindrique – année 2009/2010 – Daniel Huilier
Ecoulement entre deux cylindres (écoulement de Couette)
Un écoulement simple est celui réalisé dans l’espace compris entre deux cylindres coaxiaux animés d’une
vitesse de rotation constante dans le temps. Le cylindre extérieur (resp. intérieur) a un rayon Re (resp. Ri)
et il est entraîné à la vitesse angulaire Ω e (resp. Ω i ). Nous supposons que les cylindres sont
suffisamment longs (dans la direction axiale) pour que les effets dûs aux extrémités soient négligeables et
pour qu’il n’y ait pas de composante axiale de la vitesse (le problème, tridimensionnel dans la réalité, est
ramené à un problème plan). Si l’écoulement reste stable, nous pouvons supposer que le champ de vitesse
conserve la symétrie cylindrique : la vitesse est indépendante de le coordonnée azimutale θ .
⎛∂
⎛ ∂
⎞
⎞
≡ 0 ⎟ et à symétrie de révolution ⎜
≡ 0 ⎟ de sorte que le champ de
⎝ ∂t
⎝ ∂θ
⎠
⎠
vitesse et de pression est donné par u r (r , z ), uθ (r , z ), u z (r , z ), p(r , z ) en coordonnées cylindriques.
Le mouvement est permanent ⎜
Calcul du champ de vitesse
La direction suivant z est supposée infinie et sans vitesse de débit de sorte que u z (r , z ) = 0 .
La condition d’incompressibilité impose alors que la composante radiale de la vitesse soit nulle.
Considérons en effet un élément de volume délimité par les rayons θ et θ + dθ et par les cercles r et r +
dr. Le volume net de fluide qui entre dans cet élément de volume est :
ru r (r )dθ − (r + dr )u r (r + dr )dθ + uθ (θ )dr − uθ (θ + dθ )dr
Lorsque le fluide est incompressible, cet accroissement de volume est nul, ce qui conduit à :
∂ (rur ) ∂uθ
+
=0
∂r
∂θ
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Ecoulement de Couette cylindrique – année 2009/2010 – Daniel Huilier
Le champ de vitesse étant indépendant de θ pour une raison de symétrie, l’équation conduit à :
u r ( r , z ) = C ( z ) / r . Sur les parois solides en r = Re et r = Ri la vitesse radiale u r (r = Re , z ) et
u r (r = Ri , z ) est nulle (le fluide ne peut traverser ces parois), C(z) est donc nécessairement nulle dans tout
l’écoulement ainsi que la composante u r ( r , z ) . Les fonctions non nulles se réduisent à uθ ( r , z ), p (r , z ) .
Les équations de Navier-Stokes donnent selon les trois projections :
uθ2
∂P
=−
r
∂r
2
⎛∂ u
1 ∂uθ uθ ∂ 2uθ
0 = μ ⎜⎜ 2θ +
− 2 +
r
r
r
r
∂
∂
∂z 2
⎝
−ρ
0 = −ρ g −
⎞
⎟⎟
⎠
∂P
∂z
La dernière des trois équations précédentes s’intègre immédiatement sous la forme :
P(r , z ) = − ρgz + f (r )
En introduisant ce résultat dans la première équation en projection, il vient que :
uθ2 =
r df
= g (r ) , ce qui montre aussi que la seule composante de vitesse non nulle est une fonction de
ρ dr
r seulement. La deuxième équation en projection est alors :
du
u
d 2 uθ 1 duθ uθ
d ⎛ duθ uθ ⎞
+
− 2 =0⇔
+ ⎟ = 0 , soit θ + θ = A
⎜
2
dr
r
dr
r dr r
dr ⎝ dr
r ⎠
A
B
r + avec uθ ( Ri ) = Ω i Ri et uθ ( Re ) = Ω e Re
2
r
2 2
(
(
Ω i − Ω e )Ri2 Re2
Ω e Re2 − Ω i Ri2
Ω i − Ω e )Ri Re 1 Ω e Re2 − Ω i Ri2
et A = 2
uθ (r ) =
r , avec , B =
+
Re2 − Ri2
Re2 − Ri2
Re2 − Ri2
r
Re2 − Ri2
Soit : uθ (r ) =
r
Sur toute facette de normale (r ) il existe une contrainte tangentielle de viscosité (dans la direction
θ ) d’expression générale :
u
1 ∂u r ⎞
B
∂ ⎛u ⎞
⎛ ∂u
σ rθ = μ ⎜ θ − θ +
⎟ = μ r ⎜ θ ⎟ = −2μ 2
r r ∂θ ⎠
r
∂r ⎝ r ⎠
⎝ ∂r
Aussi le fluide exerce sur la paroi interne du cylindre extérieur une force élémentaire tangentielle qui par
B
dθ ;
Re
Son moment par rapport au centre du cylindre s’exprime par dΓ = Re dF de sorte que le couple résultant
unité de longueur dz vaut en module : dF = σ rθ ( Re ) Re dθ = 2 μ
vaut par unité de longueur dz :
Γ=∫
2π
0
2 μBdθ = 4πμ
2
(Ω i − Ω e )Ri2 Re2
Re2 − Ri2
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Calcul du champ de pression :
Avec le résultat précédent, on a :
⎛ A2
ρ uθ2
df
AB B 2 ⎞
r+
=
= ρ ⎜⎜
+ 3 ⎟⎟ ,
dr
r
r
r ⎠
⎝ 4
⎛ A2 2
B2 ⎞
Soit f ( r ) = ρ ⎜⎜
r + AB. ln(r ) − 2 ⎟⎟ + PO ,
2r ⎠
⎝ 8
B2 ⎞
⎛ A2
Et l’expression du champ de pression est : P ( r , z ) = ρ ⎜⎜
r 2 + AB. ln(r ) − 2 ⎟⎟ + PO − ρgz
8
2r ⎠
⎝
Nous pouvons aussi écrire l’équilibre des forces qui s’exercent sur l’élément de volume que nous avons
considéré ci-dessus. Si l’écoulement reste stable, nous pouvons supposer que chaque élément de fluide se
déplace avec une vitesse tangentielle constante sur une trajectoire circulaire. Un tel élément a une
2
accélération centripète égale à uθ / r . Dans la direction radiale, le gradient de pression équilibre cette
accélération centripète. Ecrivons la résultante des forces sur l’élément de volume projetée sur la direction
radiale :
− (r + dr ) p(r + dr ) dθ + r ( pr ) dθ + 2 p(r ) dr
u2
dθ
= − ρ θ r dr dθ
2
r
Les deux premiers termes du membre de gauche proviennent de la pression exercée sur les faces
cylindriques en r et r+dr. Le troisième terme provient de la pression exercée sur les faces radiales en θ
et θ + dθ . D’où :
uθ2
∂p
=ρ
∂r
r
Dans la direction tangentielle, écrivons le couple résultant de l’action des contraintes tangentielles, couple
qui est nul puisque l’élément de volume se déplace à vitesse angulaire constante (notons que la pression
est indépendante de θ , elle n’apparaît donc pas dans l’équation ci-dessous) :
soit :
∂ (rσ rθ )
=0
∂r
− (r + dr ) 2 σ rθ (r + dr )dθ + r 2σ rθ (r )dθ = 0
2
soit : σ rθ = C / r . La contrainte tangentielle est proportionnelle à la vitesse de déformation :
∂ ⎛u ⎞
⎛ ∂uθ uθ ⎞
− ⎟=μr ⎜ θ ⎟
∂r ⎝ r ⎠
r ⎠
⎝ ∂r
σ rθ = μ ⎜
Il faut soustraire uθ / r au gradient de vitesse pour tenir compte du fait qu’une rotation en bloc (rotation
solide avec uθ = ωr ) ne provoque pas de déformation. L’intégration de l’équation de mouvement donne :
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uθ (r ) =
A
+ Br
r
les constantes d’intégration A et B étant déterminées par les conditions aux limites sur les parois :
uθ ( Ri ) = Ω i Ri et uθ ( Re ) = Ω e Re
uθ (r ) =
(Ω i − Ω e )Ri2 Re2 1 + Ω e Re2 − Ω i Ri2 r
Re2 − Ri2
Re2 − Ri2
r
La contrainte tangentielle sur le cylindre extérieur est donc :
(
Ω i − Ω e )Ri2
σ rθ (r = Re ) = 2μ
2
2
Re − Ri
et le couple induit par cette contrainte est :
Γ = 4πμ
(Ω i − Ω e )Ri2 Re2
Re2 − Ri2
Ce couple est proportionnel à la viscosité dynamique du fluide et à la différence de vitesse de rotation des
deux cylindres. Dans le cas o`u le rayon des deux cylindres est très grand devant leur séparation : (Re − Ri
= h << Ri), on retrouve un écoulement identique à celui observé entre deux plaques planes parallèles,
c’est-à-dire un profil de vitesse linéaire. Lorsque le cylindre extérieur est seul en mouvement (Ωi = 0), le
couple exercé sur le cylindre extérieur devient alors Γ = 2πμΩR 3 / h ,où Ω e = Ω et Re ≈ Ri = R .
Ce type d’écoulement entre deux cylindres coaxiaux de diamètres proches est utilisé couramment pour la
mesure des viscosités. La réalisation d’un viscosimètre de Couette est très délicate mécaniquement : il faut
assurer une parfaite concentricité des deux cylindres et éliminer les frottements au maximum. Il faut
également apporter des corrections empiriques aux formules données ci-dessus pour tenir compte des
effets de l’écoulement à l’extrémité des cylindres. Les appareils les plus sophistiqués peuvent travailler à
vitesse de rotation imposée ou à contrainte imposée.
Sources :
Chassaing P. Mécanique des fluides
Cours de Marc Fermigier –ESCPI
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