manuscrit

NNT : 2016SACLS138
Thèse de doctorat
de
L’Université Paris-Saclay
préparée à
L’Université Paris-Sud
École doctorale 580
Sciences et Technologies de l’Information et de la Communication
Spécialité Informatique
par
M. Aladin Virmaux
Théorie des représentations combinatoires de tours de monoïdes
Application à la catégorication et aux fonctions de parking
Thèse présentée et soutenue à Orsay, le lundi 13 juin 2016 :
Composition du Jury :
M. Nicolas M. Thiéry Professeur de l’Université Paris-Sud Directeur de thèse
M. Nantel Bergeron Professeur à York University Rapporteur
M. Stuart Margolis Professeur à Bar Ilan University Rapporteur
M. Alin Bostan Chargé de Recherche Examinateur
M. Jean-Christophe Novelli Professeur de l’Université Marne-la-Vallée Examinateur
M. Jean-Éric Pin Directeur de Recherche Examinateur
Mme. Michèle Sebag Directrice de Recherche Examinatrice

Remerciement
À mes grands parents.
Je tiens à remercier en premier lieu mon directeur de thèse Nicolas M. Thiéry pour m’avoir encadré
et soutenu tout au long de ce travail avec une patience et une disponibilité presque innies. Je suis tout
aussi reconnaissant à Florent Hivert de m’avoir fait découvrir la combinatoire algébrique en stage de M2,
puis pour avoir continué à m’épauler durant ma thèse. Plus généralement, je tiens à rappeler à Florent
et Nicolas toute ma gratitude pour les innombrables (un comble pour un combinatoricien !) discussions
que nous avons eues et tout le plaisir que j’ai eu à travailler avec eux.
Je remercie Nantel Bergeron et Stuart Margolis d’avoir rapporté ma thèse. Leurs nombreuses sugges-
tions ont permis de remodeler positivement de nombreuses parties du présent manuscrit. Merci beaucoup
à Jean-Éric Pin, Alin Bostan, Jean-Cristophe Novelli et Michèle Sebag d’avoir bien voulu faire partie de
mon jury de thèse. Je suis particulièrement honoré de la diversité scientique des membres du jury et de
l’attention qu’ils ont portée à mon travail.
Durant ma thèse, j’ai eu l’honneur de rencontrer bon nombre de mes collègues de part le monde. Ces
rencontres ont été déterminantes dans mes recherches et m’ont permis de découvrir, entre autres, de
nombreux aspects de l’informatique et des mathématiques, nourrissant ainsi mon intarissable curiosité
de jeune chercheur. J’aimerais remercier en particulier les communautés de développeurs et utilisateurs
de Sage et de Sage-combinat, desquelles j’ai pu rencontrer de très nombreux chercheurs d’horizons variés,
soudés autour de la collaboration et du partage de code. Je remercie Anne Schilling pour m’avoir invité
à l’Université UC Davis durant le printemps 2014.
Je remercie tous mes collègues du LRI et en particulier de l’équipe GALAC pour leur présence au
quotidien durant ces dernières années. J’ai beaucoup appris grâce à vous : merci encore.
Enn je remercie ma famille et mes amis pour leur compagnie et leur soutien indéfectible.

Table des matières
1 Introduction 1
2 Combinatoire algébrique 7
2.1 Mots et permutations ...................................... 8
2.2 Partitions ............................................. 10
2.2.1 Partition d’un entier ................................... 10
2.2.2 Compositions d’un entier ................................ 11
2.2.3 Partitions d’ensembles .................................. 11
2.2.4 Partitions ordonnées d’ensemble ............................ 12
2.3 Chemins de Dyck ......................................... 12
2.4 Monoïdes ............................................. 13
2.4.1 Relations de Green .................................... 14
2.4.2 Monoïdes K-triviaux ................................... 14
2.4.3 Quelques exemples .................................... 15
2.4.4 Structure des J-classes ................................. 17
2.5 Modules et algèbres de dimensions nie ............................ 19
2.5.1 Produit tensoriel ..................................... 20
2.5.2 Induction et restriction des modules .......................... 22
2.5.3 Séries de composition .................................. 23
2.5.4 Produits tensoriels d’algèbres .............................. 25
2.5.5 Décomposition par blocs ................................. 25
2.5.6 Algèbres semi-simples .................................. 27
2.5.7 Modules projectifs .................................... 28
2.6 Groupes de Grothendieck .................................... 29
2.7 Algèbres de Hopf ......................................... 31
2.7.1 Exemples classiques d’algèbres de Hopf ........................ 32
2.7.2 Fonctions symétriques .................................. 33
2.7.3 Fonctions quasi-symétriques libres ........................... 35
2.7.4 Fonctions symétriques non-commutatives ....................... 36
2.7.5 Algèbre de Hopf de Loday et Ronco .......................... 38
3 Représentations des monoïdes nis 41
3.1 Équivalence avec la théorie des modules ............................ 41
3.2 Représentations des groupes nis ................................ 42
3.3 Représentations des groupes symétriques ............................ 43
3.4 Théorie des espèces ........................................ 45
3.4.1 Dénition ......................................... 45
3.4.2 Fonction génératrice et arithmétique des espèces ................... 46
3.4.3 Série indicatrice des cycles ................................ 47
3.5 Construction de Cliord – Munn – Ponizovskiĭ des modules simples ............. 47
3.6 Modules de Schützenberger ................................... 48
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