B2 - CATÉGORIES - ALGÈBRE HOMOLOGIQUE

Actes, Congrès intern, math., 1970. Tome 1, p. 301 à 308.
B2 - CATÉGORIES - ALGÈBRE
HOMOLOGIQUE
HOMOLOGIE DES ALGÈBRES COMMUTATIVES
par MICHEL ANDRÉ
A une ^4-algèbre commutative B, on sait associer un complexe de ß-modules LB/A
défini à une homotopie près. Ce complexe peut être utilisé pour définir des groupes
d'homologie H„ (A, B, W) et des groupes de cohomologie H" (A, B, W) en présence
d'un ß-module W. Pour le faire on considère simplement l'homologie des deux com-
plexes suivants :
LB/A ®BW et Horn* (LB/A, W).
La définition du complexe LB/A utilisée par D. Quillen [9] et l'auteur [1] permet de
donner aux groupes d'homologie deux propriétés essentielles, aussi importantes que la
suite exacte et la propriété d'excision pour les groupes relatifs en homologie singulière.
D'une part il existe une suite exacte *
... -• Hn (A9 B, W) -> Hn (A, C, W) -+ h„ (B, C, W)
-> JVi (4 B,W) ... ^ H0(B, C,W)^0
en présence d'une ^-algèbre commutative B, d'une R-algèbre commutative C et d'un
C-module W. D'autre part il existe un isomorphisme naturel **
Hn (A, B, W) 0 Hn (A, C, W) a Hm (A, B ®
AC,
W)
en présence de deux A-algèbres commutatives R et C et d'un B (g) ^C-module W et
cela sous la condition
Torf(B, C) = 0 i = 1, 2, ..., n.
A l'aide de ces deux propriétés, de quelques suites spectrales et de résultats concernant
les basses dimensions, il est possible de développer une théorie assez complète de l'homo-
logie des anneaux commutatifs. D. Quillen a publié un premier résumé de cette
théorie [8]. A un niveau plus élémentaire, l'auteur a publié des notes [2] qui contien-
nent une bibliographie relativement complète du sujet. On peut considérer les pages
suivantes comme une suite du résumé de D. Quillen.
1. Anneau gradué associé.
Si l'on excepte les dimensions 0 et 1, tous les groupes d'homologie peuvent se ramener
au type suivant : H„ (A, A/I9 W) où A est un anneau commutatif quelconque, où J
est un idéal de A quelconque et où W est un y4/7-module quelconque. Le foncteur
Tor est apparu une première fois à propos de l'isomorphisme ** de l'introduction,

302 M. ANDRÉ B2
il apparaît une deuxième fois dans la suite spectrale de D. Quillen (section 6 de [8]),
suite spectrale qui joue un rôle important dans l'étude de H^ (A, A/I, W).
THéORèME 1.1. — Soient un anneau A et un idéal I et considérons B = A/I. Alors
il existe une suite spectrale
E*M = Hp+i[SÏLBIA] => Totf (B, B)
où S% est la q-ième composante du fondeur « algèbre symétrique » SB de la catégorie des
B-modules dans la catégorie des B-aïgèbres.
Le corollaire suivant de ce théorème sera utilisé ci-dessous.
COROLLAIRE 1.2. — Soient un anneau A et un idéal I tels que le A/I-module I/I2 soit
projectif. Alors Valgèbre graduée Tor£ (A/I, A/I) est isomorphe à Valgèbre extérieure
du A/I-module Tor£ (A/I, A/I) ^ I/I2 si et seulement si les groupes d'homologie
Hn (A, A/I, A/I) sont nuls sauf en dimension n = 1.
Considérons toujours un anneau A et un idéal / et en outre l'anneau gradué associé
Gx(A) = £/n/JB+1.
En géométrie algébrique, on sait passer de la >4-algèbre A/I à la Gr (i4)-algèbre A/I et
inversement. En particulier il existe une suite spectrale (voir la p. 11-17 de [10]), qui
converge vers le module gradué Tor£ (A/I, A/I) et dont le terme E1 jouit de la pro-
priété suivante
£ Elpq = Tor™ (A/I, A/Q.
p + q = n
Il existe un résultat analogue pour les groupes d'homologie étudiés ici (proposition 23.8
de [1]).
PROPOSITION 1.3. — Soient un anneau noethérien A et un idéal I. Alors il existe une
suite spectrale qui converge vers H^ (A, A/I, A/I) et dont le terme E1 satisfait à Végalité
suivante
Y E\t = Hn(Gt(A),AH,AIT)
p + q = n
Il est assez difficile d'utiliser cette suite spectrale. On obtient de meilleurs résultats
si l'on approche l'anneau A non pas par l'anneau Gr (A) mais par l'ensemble des
anneaux A/Ik. En bref: on répète pour la cohomologie des anneaux munis de topologies
adiques ce qui se fait classiquement pour la cohomologie des groupes topologiques
totalement discontinus, les anneaux noethériens correspondant aux groupes discrets.
On considère donc un anneau A, un idéal I et un .4/J-module W et pour chaque n ^ 0,
on définit un nouveau groupe de cohomologie
Hn(A, A/I, W) = lim Hn(A/Ik, A/I, W)
k-*oo
qui doit approcher le groupe de cohomologie Hn (A, A/I, W) dans une certaine mesure.
Pour la définition de H", on a utilisé le fait que Hn est un foncteur contravariant de la
première variable.

B =
A--
C =
= B0
Î
-il«
I
= C„
-+
->
—•
Bi
Î
ili
1
Ci
HOMOLOGIE DES ALGÈBRES COMMUTATIVES 303
Dans l'introduction, il a été question d'un isomorphisme naturel pour Phomologie
et dualement pour la cohomologie
Hn (A, B ®
AC,
W) s Hn (A, B9 W) © Hn (A, C, W)
si l'égalité suivante est satisfaite
TorJ^R, C) = 0 î= 1, 2,...,n.
Ce résultat peut être généralisé.
PROPOSITION 1.4. — Soit un diagramme commutatif d'homomorphismes d'anneaux
• • • Bn-1 -+
Bn
= B'
î î
\ ï
... c,_, -+ c„ = c
Supposons nul Vhomomorphisme
Torf'-(£,_!, C,..!) -+ Tor^(Rf,C,)
pour i = 1, 2, ..., n. Soit W un B' ®A. C-module. Alors le carré commutatif suivant
composé oVhomomorphismes naturels peut être complété d'une diagonale A
Hn(A', B' ®A,C, W) -> Hn(A', B', W) © Hn(A', C, W)
i ^^ i
H" (A, B ®
AC,
W) -• Hn (A, B, W) © H" (A, C, W).
Considérons toujours un anneau A et un idéal J. Une résolution d'Artin-Rees d'un
v4-module M est une résolution projective de ce module
• -. 4P.4 P-i 4 ... p, 4 p0
qui jouit de la propriété suivante : pour tout n > 0 et pour tout k > 0, il existe un
I = l(k, n) ^ k avec
(IlP„)n(dPn+1)<=:Ik(dPn+1).
II revient au même d'affirmer que l'homomorphisme naturel
Tor*+1 (M, A/I1) -> Tov^, (M, A/Ik)
est nul. Si le module M possède une résolution d'Artin-Rees, alors toute résolution
projective de ce module est une résolution d'Artin-Rees. En particulier un module de
type fini sur un anneau noethérien possède une résolution d'Artin-Rees.
Lorsque le >4-module A/I possède une résolution d'Artin-Rees, on peut faire usage
de la proposition 1.4 et démontrer que l'homomorphisme naturel
Hn(A, A/F, W) -> Hn (A, A/Is, W)
est nul pour s suffisamment grand par rapport à r. On a donc l'égalité suivante
lim Hn(A,A/Ik, W) = 0
fc-»oo

304 M. ANDRÉ B2
Par l'intermédiaire de la suite exacte * de l'introduction pour chacune des situations
suivantes
A -> A/Ik -> A/I
de l'égalité ci-dessus découle un isomorphisme
lim Hn (A/Ik, A/I, W) s Hn (A, A/I, W)
ft-» oo
THéORèME 1.5. — Soient un anneau A et un idéal I. Supposons que le A-module I
possède une résolution d'Artin-Rees. Alors l'homomorphisme naturel
Hn(A, A/I, W) -+ Hn(A, A/I, W)
est un isomorphisme pour tout n ^ 0 et pour tout A/I-module W.
En particulier pour un anneau A noethérien, on a toujours un isomorphisme
Hn (A, A/I, W) s Hn (A, A/I, W)
On peut aussi démontrer le théorème précédent en utilisant la suite spectrale du théo-
rème 1.1 (voir le théorème 6.15 de [8]).
Il est possible de calculer les deuxièmes groupes d'homologie grace à l'égalité
H2(A, A/I, W) s Tori04/1, W)/Torl(A/I, A/I).Torf (A/I, W).
Par conséquent (d'après un résultat de S. Eilenberg) un anneau local et noethérien A
d'idéal maximal J est régulier si et seulement si le groupe H2 (A, A/I, A/I) est nul.
Il est possible de généraliser ce résultat en prenant soin d'utiliser les groupes de cohomo-
logie Hn.
THéORèME 1.6. — Soient un anneau A et un idéal I. Alors les trois conditions suivantes
sont équivalentes :
1. le A/I-module I/I2 est projectif et la A/I-algèbre graduée Gr (A) est isomorphe
à l'algèbre symétrique du A/I-module I/I2,
2. le groupe H2 (A, A/I, W) est nul pour tout A/I-module W,
3. le groupe Hn (A, A/I, W) est nul pour tout n ^ 1 et pour tout A/I-module W.
La démonstration utilise les deux propriétés fondamentales * et ** décrites dans
l'introduction et aussi l'égalité suivante
H1 (A, A/Ik, W) s UomAÌI(Ik/Ik+1, W).
En fait toute la démonstration est basée sur un diagramme commutatif
B -• B/J
i i avec A (g) BB/J s A/I
A -> A/I
où l'anneau B et l'idéal J sont suffisamment simples pour que la cohomologie de la
R-algèbre B/J soit triviale. A vrai dire le procédé fonctionne parfaitement seulement
sous certaines conditions : par exemple A local noethérien ou encore J nilpotent.
On est amené à remplacer l'anneau A et l'idéal J par la famille des anneaux A/Ik et
des idéaux nilpotents I/Ik. Comme conséquence il faut remplacer le groupe

HOMOLOGIE DES ALGÈBRES COMMUTATIVES 305
Hn (A, A/I, W) par l'ensemble des groupes H" (A/Ik, A/I, W). Une démonstration
complète se trouve dans [2], pages 212-229.
COROLLAIRE 1.7. — Soit une algèbre topologique A sur un anneau topologique C.
Supposons que la topologie de A est donnée par un idéal I et que la C-algèbre topologique
discrète A/I est formellement lisse. Alors la C-algèbre topologique A est formellement
lisse si et seulement si le A/I-module I/I2 est projectif et donne une algèbre symétrique
qui est isomorphe à la A/I-algèbre graduée Gr (A).
Il suffit de démontrer que l'hypothèse de lissité pour la C-algèbre A/I implique
l'existence d'un isomorphisme
Exalcotop C(A, W) ^ H2 (A, A/I, W).
Pour une démonstration directe de ce corollaire on se reporte au corollaire 19.5.4
de [4].
Il est possible de résumer les résultats précédents à l'aide d'une proposition dont la
démonstration fait usage de la proposition 1.2, du théorème 1.5 et du théorème 1.6.
PROPOSITION 1.8. — Soient un anneau A et un idéal I tels que le A/I-module I/I2 soit
projectif. Alors les quatre conditions suivantes sont équivalentes:
1. l'algèbre graduée Tor£ (A/I, A/I) est isomorphe à l'algèbre extérieure du A/I-
module Tori (A/I, A/I) ïê I/I2,
2. l'algèbre graduée Gr (A) est isomorphe à l'algèbre symétrique du A/I-module I/I2
et le A-module I possède une résolution d'Artin-Rees,
3. le groupe H2 (A, A/I, A/I) est nul et le A-module I possède une résolution d'Artin-
Rees,
4. le groupe Hn (A, A/I, W) est nul pour tout n ^ 1 et pour tout A/I-module W.
2. Basses dimensions.
Il a déjà été question de l'isomorphisme suivant qui, entre autre, permet d'identifier
nos deuxièmes groupes d'homologie avec ceux de Lichtenbaum-Schlessinger [7] :
H2 (A, A/I, W) s Tor^ {A/I, W)/To4 (A/I, A/I). Torf (A/I, W).
On peut démontrer le résultat suivant qui en fait ne concerne que des algèbres et modu-
les gradués Tor.
THéORèME 2.1. — Soient un anneau B et un idéal J, un anneau A avec un idéal I et
un homomorphisme de B dans A qui envoie J dans I. Alors il existe une suite exacte
naturelle
H2(B,B/J,A/I) -> H2 (A, A/JA, A/I) -• Tor? (B/J9 A)/I Tor? (B/J9 A) ->
H^B, B/J, A/I) -• H1 (A, A/JA, A/I) -> 0.
Si A est un anneau local d'idéal maximal / et si x = (xl9.. .,xn) est un système
minimal de générateurs d'un idéal K de l'anneau A, alors on peut choisir un anneau B