Séries numériques ou vectorielles

Cours de Math´ ematiques
S´ eries num´ eriques ou vectorielles
Sommaire
S´eries num´eriques ou vectorielles
Sommaire
I G´en´eralit´es sur les s´eries ......................... 2
I.1 Espace vectoriel des s´eries, Sous-espace des S´eries convergentes . . . . 2
I.2 Crit`ere de Cauchy. Espace des s´eries normalement convergentes . . . . 3
II S´eries `a termes r´eels positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II.1 Les r`egles de comparaison : O, o ∼................... 4
II.2 Comparaison `a une s´erie g´eom´etrique .................. 6
II.3 S´erie et int´egrale de fonction positive et d´ecroissante ......... 7
III S´eries `a valeurs dans un espace vectoriel norm´e de dimension finie 8
III.1 Cas des s´eries `a valeurs r´eelles et altern´ees ................ 8
III.2 Comparaison d’une s´erie `a une int´egrale ................. 9
IV Familles sommables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
IV.1 D´efinition et caract´erisation des familles sommables .......... 11
IV.2 Suites doubles et interversion des sommations .............. 13
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Cours de Math´ ematiques
S´ eries num´ eriques ou vectorielles
Partie I : G´en´eralit´es sur les s´eries
I G´en´eralit´es sur les s´eries
Kd´esigne le corps Rou Cet (E , k·k) est un Kespace vectoriel norm´e. ` A toute suite u= (un)n∈N
`a valeurs dans Eon associe la suite U= (Un)n∈Nd´efinie par Un=
n
X
k=0
uk. Le couple (u , U)
s’appelle s´erie associ´ee `a la suite uet lorsque l’on convient de noter unle terme g´en´eral de la
suite u, la s´erie (u , U) est dite s´erie de terme g´en´eral unet se note alors Pun. On a ainsi
Xun= (u , U) (1.1)
∀n∈N, Un+1−Un=un+1(1.2)
On dit enfin que la suite Uest la suite des sommes partielles de la s´erie de terme g´en´eral un
d´efinieparlarelation(1.1).
I.1 Espace vectoriel des s´eries, Sous-espace des S´eries convergentes
Soit S(E) l’ensemble des s´eries `a valeurs dans E:
S(E) = n(u , U) = Xun|u= (un)n∈N∈ENo
On dit que la s´erie Pun∈ S(E) est convergente lorsque la suite Ude ses sommes partielles
est convergente dans (E , k·k) . Lorsqu’il en est ainsi la limite de la suite Uest not´ee
∞
X
n=0
unet
s’appelle somme de la s´erie Pun.
Proposition
L’ensemble S(E) des s´eries `a valeurs dans Eest un sous-espace vectoriel de (EN)2et le
sous-ensemble S0(E) des s´eries convergentes `a valeurs dans Eest un sous-espace vectoriel
de S(E). L’application
∞
X
n=0
de S0(E) vers Equi `a une s´erie convergente associe sa somme
est une application lin´eaire.
Proposition Relation Suite-S´ erie
L’application qui, `a la s´erie `a valeurs dans Ede terme g´en´eral un, associe la suite Ude
ses sommes partielles est un isomorphisme de S(E) sur l’espace vectoriel ENdes suites `a
valeurs dans E. L’isomorphisme r´eciproque est l’application qui `a une suite U= (Un)n∈N`a
valeurs dans Eassocie la s´erie de terme g´en´eral und´efini par un=Un−Un−1si n∈N∗et
u0=U0.
☞Si une s´erie Punconverge, la suite uconverge vers 0.
☞Si une suite uest divergente ou convergente vers une limite non nulle la s´erie Punassoci´ee
`a uest divergente : on dit dans ce cas que la s´erie est grossi`erement divergente.
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S´ eries num´ eriques ou vectorielles
Partie I : G´en´eralit´es sur les s´eries
☞Toute suite U∈ENest de mˆeme nature (du point de vue de la convergence) que la s´erie
d´eriv´ee de Ude terme g´en´eral Un+1−Un.Encasdeconvergence,larelation(1.2)donne
∞
X
n=0
(Un+1 −Un) = lim
n→∞ Un−U0.
I.2 Crit`ere de Cauchy. Espace des s´eries normalement convergentes
Toute s´erie convergente Pun`a valeurs dans (E , k·k) v´erifie l’assertion de Cauchy (traduisant
que la suite Ude ses sommes partielles est de Cauchy) :
∀ε∈R∗
+,∃N∈N,∀n>N , ∀p∈N∗,
n+p
X
k=n+1
uk
6ε(CY)
Th´eor`eme Crit` ere de Cauchy
Soit(E,k·k)unespacevectorielnorm´ededimensionfinie.Pourquelas´erie Pun`a valeurs
dansEsoitconvergenteilfautetilsuffitquel’assertion(CY)soitv´erifi´ee.
Corollaire Convergence normale
Soit (E , k·k) un espace vectoriel norm´e de dimension finie et soit u∈ENune suite telle que
la s´erie P||un|| (`a valeurs dans R+) soit convergente. Alors la s´erie Punest convergente.
En outre 
∞
X
n=0
un
6
∞
X
n=0 ||un||.
☞Une s´erie telle que P||un|| converge est dite normalement convergente. L’ensemble des
s´eries normalement convergentes `a valeurs dans un espace vectoriel norm´e Ede dimension
finie est un sous-espace vectoriel de S0(E) .
☞Dans le cas E=Kon parle de s´eries num´eriques et comme la norme est ici la valeur
absolue, on parle de convergence absolue pour une s´erie num´erique Puntelle que la s´erie
P|un|converge. Ainsi toute s´erie num´erique absolument convergente est convergente.
Corollaire
Soit Eun espace vectoriel norm´e de dimension finie q∈N∗et eune base quelconque de
E. Pour que la s´erie Pun`a valeurs dans Esoit convergente (respectivement normalement
convergente) il faut et il suffit que les qs´eries num´eriques associ´ees aux suites composantes de
unrelativement `a la base esoient convergentes (respectivement absolument convergentes).
Ces corollaires montrent l’importance de l’´etude de la convergence des s´eries `a termes r´eels po-
sitifs pour l’´etude de la convergence (normale ou absolue) des s´eries vectorielles ou num´eriques.
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S´ eries num´ eriques ou vectorielles
Partie II : S´eries `a termes r´eels positifs
II S´eries `a termes r´eels positifs
Lorsqu’une s´erie Pun= (u , U) est associ´ee `a une suite u`a valeurs dans R+,la suite Ude ses
sommes partielles est croissante en raison de la relation suite-s´erie :
∀n∈N, Un+1 −Un=un+1 >0.
Il en r´esulte le th´eor`eme simple mais fondamental :
Th´eor`eme
Pour que la s´erie Pun`a termes r´eels positifs soit convergente il faut et il suffit que la suite
U= n
X
k=0
uk!n∈N de ses sommes partielles soit major´ee.
II.1 Les r`egles de comparaison : O, o ∼
Corollaire R` egle de domination
Soient uet vdeux suites r´eelles telles qu’il existe un rang Net un r´eel positif Mv´erifiant
∀n>N , 06un6M vn
Si la s´erie Punest divergente, il en est de mˆeme pour la s´erie Pvn.
Si la s´erie Pvnest convergente, il en est de mˆeme pour la s´erie Pun.
☞On dit qu’une suite u`a termes r´eels positifs est domin´ee par une suite `a termes r´eels
positifs vlorsqu’il existe un r´eel Mtel que pour tout n∈N,06un6M vn. Cette
relation entre suites r´eelles positives se note un=O(vn) : La relation de domination
On’est pas un ordre sur l’ensemble des suites r´eelles positives mais c’est une relations
r´eflexive et transitive.
☞Si deux suites r´eelles positives uet vv´erifient un=O(vn) et vn=O(un) alors les s´eries
associ´ees Punet Pvnsont de mˆeme nature (du point de vue de la convergence) c’est `a
dire qu’elles sont toutes les deux convergentes ou toutes les deux divergentes.
☞On dit que la suite r´eelle uest n´egligeable devant la suite r´eelle vlorsqu’il existe une suite
r´eelle εconvergente vers 0 telle que u=εv . Cette relation entre suites r´eelles u= (un)n∈N
et v= (vn)n∈Nse note un=o(vn) .
On dit que la suite r´eelle uest ´equivalente `a la suite r´eelle vlorsque un−vn=o(vn) ce
que l’on ´ecrit indiff´eremment un=vn+o(vn) ou un∼vn. On v´erifie que la relation ainsi
d´efinie sur l’ensemble RNdes suites r´eelles est r´eflexive, sym´etrique et transitive, c’est
pourquoi on l’appelle relation d’´equivalence. Un d´eveloppement limit´e de unlorsqu’il est
possible donnera ainsi un ´equivalent simple de un, pour lequel la r`egle d’´equivalence
ci-dessous permet de conclure quant-`a la nature de Pun.
Corollaire R` egle d’´ equivalence
Soient uet vdeux suites r´eelles positives telles que un∼vn. Alors les s´eries associ´ees Pun
et Pvnsont de mˆeme nature (du point de vue de la convergence).
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S´ eries num´ eriques ou vectorielles
Partie II : S´eries `a termes r´eels positifs
En effet lorsque un∼vnon a aussi un=O(vn) et vn=O(un) .
Voici quelques exemples simples mais utiles (s´eries de Riemann) :
☞La suite r´eelle de terme g´en´eral Un= ln nest divergente donc la s´erie de terme g´en´eral
Un+1 −Unest divergente. Or
Un+1 −Un= ln1 + 1
n∼1 n(1.3)
Donc la s´erie harmonique X1
ndiverge.
☞Pour tout r´eel α61 et tout n∈N∗, 0 <1
n61 nαDonc par la r`egle de domination X1 nα
diverge lorsque α61 .
☞Pour tout r´eel α > 1 la suite de terme g´en´eral Un=1
nα−1converge (vers 0) donc la s´erie
de terme g´en´eral Un+1 −Unest convergente. Un d´eveloppement limit´e quand ntend vers
l’infini donne
Un+1 =Un1 + 1
n1−α
=Un+1−α
nα+o1 nα
soit encore
Un+1 −Un∼1−α
nα(1.4)
La r`egle d’´equivalence pour les s´erie `a termes positifs montre ainsi que la s´erie X1
nαest
convergente lorsque α > 1 .
☞R` egle de Riemann :Soit uune suite r´eelle telle qu’il existe un r´eel non nul Met un
r´eel αv´erifiant un∼M
nα·La s´erie Punest convergente si et seulement si α > 1.
☞Sommation des relations de domination, de n´ egligeabilit´ e et d’´ equivalence :
Soient uet vdeux suites r´eelles positives telles que un=O(vn). Alors Un=O(Vn), c’est
`a dire
n
X
k=0
uk=On
X
k=0
vk. Si un=o(vn)et si Pundiverge, alors Un=o(Vn). Enfin si
un∼vnet si Pundiverge, alors Un∼Vn.
Soient uet vdeux suites r´eelles positives telles que un=O(vn)et la s´erie Pvnsoit
convergente. Alors
∞
X
k=n+1
uk=O∞
X
k=n+1
vk. Si un=o(vn)alors
∞
X
k=n+1
uk=o∞
X
k=n+1
vk.
Enfin si un∼vnalors
∞
X
k=n+1
uk∼
∞
X
k=n+1
vk.
Parexemplelasommationdesrelationsd’´equivalence(1.3)donne
ln n∼
n
X
k=1
1
k(1.5)
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