Fonctions Logiques : Cours d'Algèbre de Boole et Circuits Logiques

F o n c t i o n s L o g i q u e s / L T B P a g e 1 | 24
FONCTIONS LOGIQUES
1 INTRODUCTION
Les machines numériques sont constituées d’un ensemble de
circuits électroniques.
Chaque circuit fournit une fonction logique bien déterminée
(addition, soustraction, comparaison, …). Pour concevoir et
réaliser ce circuit on doit avoir un modèle mathématique de la
fonction réalisée par ce circuit. Ce modèle doit prendre en considération le
système binaire. Le modèle mathématique utilisé est celui de Boole.
2 ALGEBRE DE BOOLE
En 1854, George BOOLE (mathématicien Anglais), fait des travaux mathématiques dans
lesquels les fonctions (expressions) sont constitués par des variables
qui peuvent prendre les valeurs {OUI, NON} ou bien {VRAI, FAUX}.
C’est l’algèbre de Boole ou calcul booléen.
Ces travaux ont été utilisés pour faire l’étude des systèmes qui
possèdent deux états qui s’exclus mutuellement :
 Le système peut être uniquement dans deux états E1 et E2 tel
que E1 est l’opposé de E2.
 Le système ne peut pas être dans l’état E1 et E2 en même
temps
Ces travaux sont bien adaptés au Système binaire (0 et 1) ou Logique.
Aujourd'hui, l'algèbre de Boole trouve de nombreuses applications en
informatique et dans la conception des circuits électroniques.
3 OPERATEURS LOGIQUES DE BASE
Il existe trois opérateurs de base définis sur l’ensemble binaire   
Les variables sont reliées entre elles par un ensemble d’opérateurs logiques de base.
Dans l’Algèbre de Boole il existe trois opérateurs de base : .
3.1 OPERATEUR OU (OR)
Le OU est un opérateur binaire (deux variables), a pour rôle de réaliser la somme logique
entre deux variables logiques.
 Le OU fait la disjonction (union logique) entre deux variables.
 Cet opérateur est représenté par le symbole « + »
 Le OU est défini par    et se lit : a ou b ( il ne faut pas
confondre avec la somme arithmétique )
 Le tableau ci-contre donne les différentes valeurs des combinaisons.
3.2 OPERATEUR ET (AND)
Le ET est un opérateur binaire (deux variables), a pour rôle de réaliser le Produit logique
entre deux variables booléennes.
 Le ET fait la conjonction (produit logique) entre deux variables.
 Noter par le signe «  » ou bien « × »,
 Le ET est défini par :      et se lit a et b (à ne pas
confondre avec la multiplication arithmétique)
 Le tableau ci-contre donne les différentes valeurs des combinaisons.
Remarques
 Dans la définition des opérateurs ET, OU, nous avons juste donner la définition de base
avec deux variables logiques.
 L’opérateur ET peut réaliser le produit de plusieurs variables logique (ex : ).
 L’opérateur OU peut aussi réaliser la somme logique de plusieurs variables logiques (ex
: ).
A
B
A+B
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
A
B
A.B
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Fonction
Logique
George Boole
(1815-1864)

F o n c t i o n s L o g i q u e s / L T B P a g e 2 | 24
3.3 OPERATEUR NON (COMPLEMENT) (NO)
Le NON est un opérateur unaire (une seule variable) qui a pour rôle d’inverser la valeur d’une
variable.
 Il est représenté par une barre dessus de la variable. On parle aussi de
complément.
 Le complément de a se note : et se lit : a barre ou non a
3.4 PRECEDENCE DES OPERATEURS (PRIORITE DES OPERATEURS)
Pour faciliter leur compréhension, il a été décidé que ces opérations seraient soumises aux
mêmes règles que les opérations mathématiques. La fonction ET (multiplication logique) est
ainsi prioritaire par rapport à la fonction OU (somme logique).
On peut évidemment, pour s'aider, placer des parenthèses dans les opérations.
 Dans une expression on peut aussi utiliser les parenthèses.
 Pour évaluer une expression logique (fonction logique) :
o On commence par évaluer les sous expressions entre les parenthèses.
o Puis le complément (NON),
o En suite le produit logique (ET)
o Enfin la somme logique (OU)
3.5 REGLES DE L'ALGEBRE DE BOOLE
Toutes ces propriétés peuvent être facilement démontrées à l'aide de tables de vérité.
 Associativité
Comme avec les opérations habituelles, certaines parenthèses sont inutiles :
 Commutativité
L'ordre est sans importance :   
 Distributivité
En algèbre de Boole, l’opérateur ET est distributif par rapport au OU (comme avec les
opérations mathématiques habituelles) :
L’opérateur OU est également distributif par rapport au ET (comportement différent par
rapport aux opérateurs des math habituels)
 Idempotence   
 Élément neutre   
 Élément absorbant   
 Complémentarité
 Absorption   
A
0
1
1
0

F o n c t i o n s L o g i q u e s / L T B P a g e 3 | 24
3.6 THEOREMES DE MORGAN
3.6.1 Théorème
De Morgan a exprimé deux théorèmes qui peuvent se résumer sous la forme
suivante :
 La somme logique complimentée de deux variables est égale au
produit des compléments des deux variables.
 Le produit logique complimenté de deux variables est égal au somme
logique des compléments des deux variables.
3.6.2 Généralisation à N variables    
3.6.3 Conséquences
 Transformation
Les théorèmes de Morgan montrent qu'une fonction ET peut être obtenue à partir des
fonctions OU et NON.
De même une fonction OU peut être obtenue à partir des fonctions ET et NON.
 Équivalence
Deux fonctions sont équivalentes si on peut leur faire correspondre la même table de vérité.
Si      . On dit que F est équivalent à G
 Complémentarité
Deux fonctions sont dites complémentaires si l'une est l'inverse de l'autre pour toutes les
combinaisons d'entrées possibles. Si      . On dit que F et G sont
complémentaires.
Augustus De Morgan
(1806-1871)

F o n c t i o n s L o g i q u e s / L T B P a g e 4 | 24
4 FONCTIONS LOGIQUES
4.1 DEFINITION
4.1.1 Système logique
C’est un système dans lequel les variables ne peuvent prendre que deux états.
Exemple de systèmes à deux états
 Un interrupteur est ouvert ou non ouvert (fermé)
 Une lampe est allumée ou non allumée (éteinte)
 Une porte est ouverte ou non ouverte (fermée)
 Remarque : On peut utiliser les conventions suivantes :
o OUI ou VRAI (true)
o NON ou FAUX (false)
o OUI ou 1 (Niveau Haut)
o NON ou 0 (Niveau Bas)
4.1.2 Niveau logique
Lorsque on fait l’étude d’un système logique il faut bien préciser le niveau ou l’état logique
des variables.
Niveau logique
Logique positive
Logique négative
Haut (H : High)
1
0
Bas (L : Low)
0
1
Exemple :
 Logique positive :
o Lampe allumée : 1
o Lampe éteinte : 0
 Logique négative
o Lampe allumée : 0
o Lampe éteinte : 1
4.1.3 Variable logique (booléenne)
Une variable logique (booléenne) est une variable qui peut prendre soit la valeur 0 ou 1.
Généralement elle est symbolisée par un seul caractère alphanumérique (majuscule ou
minuscule) (A, B1, c2, …).
Exemple :
 Une lampe : allumée L = 1 éteinte L = 0
 1er interrupteur ouvert : I1 =1 fermé : I1 =0
 2ème interrupteur ouvert : I2=1 fermé : I2=0
De façon pratique, une fonction logique comprendra
 Entrée : Correspond à une information de commande qui peut être électrique,
pneumatique … (exemple : contact électrique ; capteur de température ; fin de course ; …)
Contact à fermeture :
Contact à couverture :
Désignation
S, a, …
Equation
S, a, …
Etat physique
Non Actionné
Actionné
Non Actionné
Actionné
Etat électrique
Non Passant
Passant
Passant
Non Passant
Etat logique
0
1
1
0
 Sortie : Les sorties sont représentées par des organes qui peuvent être sous tension
ou hors tension (lampes, bobine, …)
Sortie (actionneur, pré-actionneur, voyant, …)
Désignation
L, K, H, …
Etat physique
Ne fonctionne pas
Fonctionne
Etat électrique
Hors tension (pas alimenté)
Sous tension (alimenté)
Etat logique
0
1
Equation
L, K, H, …

F o n c t i o n s L o g i q u e s / L T B P a g e 5 | 24
4.1.4 Fonction logique
 Définition
La fonction logique (binaire) est une application (F) qui, à une combinaison « n » variables
d’entrée de    associe une variable de sortie S.
 Une fonction logique est dite « combinatoire » si pour une des combinaisons
d’entrée correspond un seul état (valeur) de la sortie. Dans ce cas la fonction est
indépendante du temps !
 Une fonction logique ne peut prendre que deux valeurs (0, 1)
 Si une fonction logique possède N variables logiques (entrées), la fonction possède 2n
valeurs (combinaisons).
 Les 2n combinaisons sont représentées dans une table qui s’appelle table de vérité.
 Un système logique combinatoire est un système qui possède plusieurs fonctions
logiques.
4.1.5 Représentation des fonctions logiques
 Écriture algébrique
Elle correspond à écrire l’expression avec des opérateurs de base
 Tableau de vérité
La table de vérité permet de relier les combinaisons d’entrées à la valeur de la sortie. Celle-ci
indique la valeur de chaque sortie pour chaque combinaison d’entrée. Elle comportant une
colonne pour chaque variable (entrée et sortie) et 2n lignes représentant toutes
les combinaisons possibles.
Prenons
Exemple : considérons un système logique détectant parmi des trois (3)
variables d’entrées si on le nombre de 1 est supérieur au nombre de 0. On
appelle F la fonction réalisée par ce système. 3 variables d’entrées
correspondent à 23 combinaisons soit 8 combinaisons.
 Représentation graphique
Elle est utilisée pour la réalisation pratique, le dépannage, …
Plusieurs réalisations sont possibles :
o Schéma à contact
o Logigramme
o Chronogramme
x
z
z
F
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
Systèmes
Logiques
Variables
binaires
d’entrées (E)
…
Variables
de sorties
 )
 )
………