TD MPSI - Analyse dimensionnelle et calcul scientifique (exercices)

MPSI TD N°0 : Analyse dimensionnelle et calcul scientifique Mannai Chaker
TD N°0 : Analyse dimensionnelle et calcul scientifique
Niveau : MPSI | Enseignant : Mannai Chaker
EX 1 - Dimensions fondamentales
1. Donner la dimension d’une énergie E, d’une puissance P, et d’une force Fdans le système
international (M,L,T,I).
2. Déterminer la dimension de la charge électrique q.
3. La loi de Coulomb donne l’expression de la force d’interaction électrostatique Fentre deux
charges fixes qet q′distantes de r:
F=1
4πϵ0
qq′
r2
où ϵ0est la permittivité diélectrique du vide. Déterminer la dimension de ϵ0en fonction des
dimensions de base (M,L,T,I).
EX 2 - Détermination de dimensions par homogénéité
1. En électrocinétique, la tension u(t)aux bornes d’un condensateur dans un circuit R, L, C
série vérifie l’équation différentielle suivante :
d2u
dt2+ω0 Q
du
dt+ω2
0u= 0
Par homogénéité de l’équation, déterminer la dimension de la pulsation propre ω0et du
facteur de qualité Q.
2. L’évolution de la pression atmosphérique pen fonction de l’altitude zdans un modèle d’at-
mosphère isotherme à la température T0s’écrit :
p(z)=p0e−Mg
RT0(z−z0)
où Mest la masse molaire de l’air, gla pesanteur terrestre, et Rla constante des gaz parfaits.
a) Que représente la grandeur p0?
b) Déterminer la dimension du rapport H=RT0
Mg . Que représente physiquement cette
grandeur ?
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EX 3 - Hauteur maximale d’une montagne sur une planète
On cherche à déterminer par analyse dimensionnelle la hauteur maximale hmax qu’une montagne
peut atteindre sur une planète sans que la roche à sa base ne s’effondre sous son propre poids.
1. Soit ρla masse volumique de la roche. Exprimer la pression pexercée à la base d’une colonne
de roche de hauteur hsoumise au champ de pesanteur g.
2. La roche commence à se déformer de manière plastique lorsque cette pression atteint une
fraction η≈1% de son énergie de cohésion volumique EV=E0
Vatome
, où E0≈1eV =
1,6×10−19 J est l’énergie de liaison par atome.
a) En exprimant la masse d’un atome sous la forme matome =A·mp(où A≈30 est le
nombre de masse moyen des silicates et mp≈1,67×10−27 kg est la masse d’un nucléon),
exprimer EVen fonction de ρ,E0,Aet mp.
b) En déduire l’expression analytique de la hauteur maximale hmax en fonction de η,E0,
A,mpet g. Vérifier l’homogénéité dimensionnelle de la formule obtenue.
3. Applications numériques :
a) Calculer la valeur de hmax pour la Terre (g= 9,81 m·s−2). Comparer ce résultat à
l’altitude du Mont Everest (8,8km).
b) Sur la planète Mars, l’accélération de la pesanteur vaut gMars ≈3,7m·s−2. Déterminer la
hauteur maximale théorique des montagnes martiennes et comparer au Mont Olympus
(21,2km).
EX 4 - Période de rotation d’un satellite
On cherche à déterminer la période de rotation Td’un satellite tournant autour de la Terre avec
une trajectoire circulaire de rayon r. La période de rotation s’écrit sous la forme :
T=k·Gα·rβ·Mγ
T
où Gest la constante de gravitation universelle, MTla masse de la Terre, kune constante adimen-
sionnelle, et α,β,γdes nombres réels.
Par analyse dimensionnelle, déterminer les valeurs des exposants α,β,etγ. Quel résultat fonda-
mental de la mécanique céleste retrouve-t-on ?
EX 5 - Énergie d’une explosion atomique
En 1950, suite au visionnage de photographies de la première explosion nucléaire, le physicien G. I.
Taylor propose une estimation de l’énergie Edégagée par la bombe uniquement grâce à l’analyse
dimensionnelle. Il considère que le rayon R(t)de la boule de feu dépend du temps técoulé depuis
l’explosion, de l’énergie E, et de la masse volumique de l’air ambiant ρ.
1. En posant R(t)=C·Eα·ρβ·tγ(où C≈1est une constante sans dimension), déterminer
les valeurs des exposants α,βet γpar analyse dimensionnelle.
2. Une photo montre qu’au bout d’une durée t= 1,0ms, le rayon atteint R= 70 m. Sachant
que la masse volumique de l’air vaut ρ= 1,2kg ·m−3:
a) Calculer l’énergie Edégagée par l’explosion en Joules (J).
b) Convertir cette énergie en kilotonnes de TNT (sachant qu’ 1kt de TNT = 4,184 ×
1012 J).
Note historique : L’énergie exacte déclassifiée plus tard était d’environ 20 kt de TNT. L’analyse dimensionnelle a
permis à Taylor de lever le secret défense américain !
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EX 6 - Grandeurs de Planck
Dans le cadre de la mécanique non électromagnétique, toute grandeur physique s’exprime en fonc-
tion des trois dimensions fondamentales M,L,T.
En 1901, Max Planck propose de construire un système d’unités universelles fondé sur trois
constantes fondamentales : la constante de gravitation G, la vitesse de la lumière dans le vide
c, et la constante de Planck h(définie par E=hν, où νest une fréquence).
1. Retrouver les dimensions des trois constantes G,cet hen fonction de M,L,T.
2. À partir du triplet (G, c, h), déterminer l’expression analytique et la valeur numérique des
trois grandeurs de Planck suivantes :
a) La masse de Planck mP.
b) La longueur de Planck lP.
c) Le temps de Planck tP.
3. En introduisant la constante de Boltzmann kB(telle que le produit kBTest homogène à une
énergie), déterminer la dimension de kB. En déduire l’expression analytique puis la valeur
numérique de la température de Planck TP.
Données numériques en unités du SI :
G= 6,67×10−11 m3·kg−1·s−2, c = 3,00×108m·s−1, h = 6,63×10−34 J·s, kB= 1,38×10−23 J·K−1
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