TRAVAIL PRATIQUE DE BAC I INFO
Analyse numérique — Résumé à recopier
Nom : ____________________________ Promotion : __________________
Exercice 1 : Résolution d’une équation par dichotomie
Soit f(x) = x³ − x − 2 sur [1 ; 2].
a) Existence et unicité de la solution
La fonction f est un polynôme, donc elle est continue et dérivable sur [1 ; 2]. On a f(1) = −2 et f(2) = 4 ; leurs signes
sont opposés. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, f(x) = 0 possède au moins une solution dans ]1 ; 2[.
De plus, f′(x) = 3x² − 1. Sur [1 ; 2], f′(x) ≥ 2 > 0, donc f est strictement croissante. La solution est donc unique.
b) Méthode de la dichotomie (4 itérations)
À chaque étape, on calcule c = (a + b)/2, puis on conserve la moitié de l’intervalle où le signe de f change.
Itération a b c = (a+b)/2 f(c) Nouvel intervalle
1 1,0000 2,0000 1,5000 −0,125000 [1,5000 ; 2,0000]
2 1,5000 2,0000 1,7500 +1,609375 [1,5000 ; 1,7500]
3 1,5000 1,7500 1,6250 +0,666016 [1,5000 ; 1,6250]
4 1,5000 1,6250 1,5625 +0,252197 [1,5000 ; 1,5625]
Après 4 itérations, on prend α ≈ 1,5625. L’encadrement obtenu est 1,5 < α < 1,5625. La longueur de l’intervalle est
0,0625 et l’erreur sur cette approximation est au plus 0,0625.
Exercice 2 : Approximation d’une intégrale par Simpson
Soit I = ∫■² 1/(1 + x²) dx.
a) Calcul exact
Une primitive de 1/(1 + x²) est arctan(x). Donc I = arctan(2) − arctan(0) = arctan(2) ≈ 1,107149.
b) Méthode de Simpson avec n = 6
Le pas est h = (2 − 0)/6 = 1/3. Les points sont x■ = i/3, pour i = 0, 1, …, 6.
i x■f(x■) = 1/(1+x■²) Coefficient
0 0 1,000000 1
1 1/3 0,900000 4
2 2/3 0,692308 2
3 1 0,500000 4
4 4/3 0,360000 2
5 5/3 0,264706 4
6 2 0,200000 1
Formule de Simpson :
S■ = (h/3) × [f■ + f■ + 4(f■ + f■ + f■) + 2(f■ + f■)]
f■ + f■ = 1,2 ; f■ + f■ + f■ ≈ 1,664706 ; f■ + f■ ≈ 1,052308.
La somme entre crochets vaut environ 9,963439. Ainsi, S■ = (1/9) × 9,963439 ≈ 1,107049.
c) Erreur
Erreur absolue : |I − S■| = |1,107149 − 1,107049| ≈ 0,000100 = 1,0 × 10■■.
Erreur relative : environ 0,009 %. La borne théorique donnée par la formule de Simpson est |E| ≤ (b−a)h■/180 ×
max|f■■■(x)|. Avec max|f■■■(x)| = 24, on obtient |E| ≤ 0,0033 environ. L’erreur réelle est inférieure à cette borne.
Conclusion : I = arctan(2) ≈ 1,107149 et l’approximation de Simpson est S■ ≈ 1,107049.
1
/
2
100%
