Contrôle Physique des Milieux Continus 21 décembre 2023 Sorbonne

Licence de Sciences et Technologies
LU3PY 514 – Physique des Milieux Continus
Contrôle du 21 décembre 2023
documents et calculatrice interdits – durée : deux heures
I. Drainage d’un film liquide dans un cadre
On considère un film liquide vertical, d’épaisseur e, tendu
dans un cadre de hauteur het de longueur horizontale l, placé dans
le champ de pesanteur ⃗g =g⃗ez(voir figure, avec les choix des axes).
Ce film est formé grâce à la présence d’un surfactant dissout (par
exemple du savon) et il s’écoule lentement vers le bas. Dans un
premier temps, le film est alimenté par le haut, de sorte que son
épaisseur eest uniforme et constante. Puis on cesse de l’alimenter
et on observe alors son drainage, c’est-à-dire l’évolution de la loi
e(z, t): à une hauteur zdonnée, l’épaisseur e(z, t)va diminuer en
fonction du temps.
Le liquide est supposé incompressible, de masse volumique ρet de
viscosité η. La pression P0de l’air est uniforme.
A. Film alimenté
On se place en régime stationnaire. Négligeant les effets de
bord (e≪het l), on écrit le champ de vitesse ⃗v =vz(x)⃗ezet le
champ de pression P=P(x, z). La condition aux limites sur les
surfaces verticales l×hdu liquide dépend du surfactant dissout :
on suppose que ce dernier agit comme une couche qui envelopperait
le liquide, c’est-à-dire que la condition aux limites s’écrit ⃗v = 0 sur
les surfaces d’équations x=±e/2. Par ailleurs, on considère que
P=P0en amont et en aval de l’écoulement (z= 0 et h).
x
e
z
l
h
g
�
v = vz(x)ez
��
L’axe Ozest dirigé vers le bas,
le fluide est dans l’épaisseur
−e/2⩽x⩽e/2.
1. On rappelle l’équation de Navier-Stokes pour le fluide incompressible :
ρ∂⃗v
∂t + (⃗v ·# –
grad)⃗v=−# – grad P+ρ⃗g +η∆⃗v.
Dans la géométrie envisagée, que valent les termes (⃗v ·# – grad)⃗v et ∆⃗v ? Comment se simplifie
finalement l’équation ?
2. Écrire les deux projections de l’équation précédente sur les axes xet z.
3. Montrer que la pression est forcément uniforme dans le liquide.
4. Montrer que le champ de vitesse s’écrit
vz(x) = −ρg
2ηx2−e 22.
5. Calculer le débit volumique Dà travers une section horizontale e×l. Justifier que votre résultat
est homogène.
B. Drainage du film
À l’instant t= 0, on coupe l’alimentation du film qui va donc s’écouler. On suppose que
la viscosité rend le phénomène suffisamment lent pour que les solutions précédentes puissent être
transposées, en remplaçant l’épaisseur constante epar la loi e(z, t).

1. Écrire le volume dVde fluide compris entre les hauteurs zet z+dz.
2. Puisque le débit Ddépend à présent de zau travers de l’épaisseur e, comment s’écrit la variation
temporelle d(dV)/dtde ce volume ?
3. Ce même volume varie dans le temps avec l’épaisseur e. En déduire la relation
1
l
∂D
∂z =−∂e ∂t .
4. En utilisant le résultat obtenue en A-5, en déduire l’équation aux dérivées partielles satisfaite par
la loi e(z, t).
5. Hormi une solution constante, cette équation admet une solution qu’on cherche de la forme
e(z, t) = azαtβ. Déterminer les exposants α,βet le facteur a(loi de Reynolds).
6. Représenter dans le plan xz le profil du film à deux instants différents t1̸= 0 et t2> t1.
II. Déformation d’un câble vertical sous son propre poids
On considère un câble de masse volumique ρ, de longueur let de rayon rau
repos. Ce câble est fixé à une de ses extrémités en z= 0 et pend verticalement dans
le champ de pesanteur ⃗g =g⃗ez. Sous l’effet de son poids, il se déforme : on désigne
par ⃗u(⃗r )le vecteur déplacement de ses éléments de matière à l’équilibre. On rappelle
que les composantes εij du tenseur des déformations (linéarisé) εs’écrivent
εij =1
2∂ui ∂rj
+∂uj
∂ri.
Le câble est supposé élastique dans son régime linéaire, avec un module d’Young Eet
un coefficient de Poisson ν: les composantes du tenseur des déformations s’écrivent
en fonction des composantes σij du tenseur des contraintes σselon la loi (avec la
convention d’Einstein)
εij =1
E(1 + ν)σij −νσkkδij ],
où δij est le symbole de Kronecker.
x
y
z
g
�
1. Quelle est force de pesanteur par unité de volume ⃗ fexercée sur les éléments de matière du câble ?
2. On rappelle la condition d’équilibre
d#– ıv σ+⃗ f= 0 avec d#– ıv σ=∂σij
∂rj
⃗ei.
On suppose que toutes les composantes de σsont nulles, sauf σzz , et que celle-ci ne dépend que
de z. Écrire l’équation vérifiée par σ′
zz(z) = dσzz /dz.
3. Au niveau de la fixation en z= 0, quelle est la force exercée par le câble sur son attache ? Quelle
est la force exercée sur la section fixée du câble ? En déduire σzz (0). Montrer que
σzz(z) = −ρg(z−l).
4. Exprimer toutes les composantes εij du tenseur des déformations.
5. Par intégration, déterminer la fonction ux(x, y, z)à une fonction de yet zprès. Par symétrie, que
vaut ux(x= 0, y, z)? En déduire la fonction ux(x, y, z). Comme s’écrit de même uy(x, y, z)?
6. Par intégration, déterminer la fonction uz(x, y, z)à une fonction de xet yprès, puis déterminer
cette fonction. En déduire la fonction uz(x, y, z).
7. Représenter dans le plan xz le profil du câble.
8. Que vaut l’allongement du câble sous son propre poids ? Pour l’acier, ρ≃8×103kg/m3et
E≃200 GPa : que vaut l’allongement d’un câble de longueur l= 10 m ?