Modélisation Numérique de la Convection Naturelle dans une Cavité

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MODELISATION ET SIMULATION NUMERIQUE DE LA CONVECTION NATURELLE DAN UNE CAVITE
 Sujet 1
 POSITION DU PROBLEME
On se propose d’étudier numériquement le phénomène de convection naturelle dans une enceinte carrée de côté L dont les
parois sont différentiellement chauffées comme l’indique la figure ci-dessous.
On pose les hypothèses simplificatrices suivantes :
- Ecoulement laminaire, permanent, bidimensionnel
- Fluide newtonien et incompressible
- Transfert par rayonnement et dissipation d’énergie visqueuse dans
l’équation de la chaleur supposés négligeables
- Propriétés physiques du fluide considérées constantes hormis de la
masse volumique dans le terme de la force de gravité qui satisfait à
l’hypothèse de Boussinesq :  = o [1 – (T – Tf)].
 FORMULATION MATHEMATIQUE DU PROBLEME
Les équations de transfert dans la cavité découlent des lois de
conservation : de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie.
En utilisant la formulation  - , ces équations et les conditions aux
limites associées sont exprimées de la manière suivante :
1. Equation de continuité
2. Equation de la quantité de mouvement
3. Equation de la verticité
4. Equation de la fonction de courant
5. Composantes de la vitesse
 ,   
6. Equation de l’énergie
 avec   
7. Conditions aux limites
 Paroi inférieure : y = 0 , 0  x  L
u(x,0) = 0 , v(x,0) = 0 , (x,0) = 0 , T(x,0) = Tc ,
0
2
2
)0,(
y
y
x
 Paroi supérieure : y = a , 0  x  L
u(x, L) = 0 , v(x, L) = 0 , (x, L) = 0 , T(x, L) = Tf ,
Ly
y
Lx  2
2
),(
 Paroi latérale gauche : x = 0 , 0 < y < L
y
Tf
g
x
L
O
Tf
Tc
Tc
L
L
L

2
u(0,y) = 0 , v(0,y) = 0 , (0,y) = 0 , T(0, y) = Tc ,
0
2
2
),0(
x
x
y
 Paroi latérale droite : x = L , 0 < y < L
u(L,y) = 0 , v(L,y) = 0 , ( L,y) = 0, T(L, y) = Tf ,
Lx
x
yL  2
2
),(
TRAVAIL DEMANDE
On souhaite déterminer numériquement les champs de température et de vitesse en présentant les résultats par des profils
des isothermes et des lignes de courant (isocourant). Pour ce faire, on demande de :
1. Ecrire les équations et conditions aux limites adimensionnelles en prenant comme :
Grandeurs de référence : Lr = L , 
 , Tr = T = Tc – Tf
Variables adimensionnelles :
 ,     ,     ,     ,   ,   , 
Les nombres adimensionnels caractéristiques sont :
- Nombre de Prandtl :  
- Nombre de Grashof :  
- Nombre de Rayleigh :   
2. Discrétiser ces équations adimensionnelles par la méthode implicites aux différences finies. Elles seront résolues à
l’aide de l’algorithme de Gauss-Seidel.
3. En se référant du code de calcul disponible, écrire le programme FORTRAN qui permet de calculer la température, la
vorticité, la fonction de courant et les composantes de la vitesse dans le système physique étudié.
Compiler et exécuter le programme pour :
L = 1,0 , N = 201 , M = 201 ,  = 10– 4, Pr = 0,71 et Ra = 103 , Ra = 104 puis Ra = 105.
4. Tracer les courbes des isothermes et des lignes de courant pour chaque valeur de Ra à l’aide du logiciel ORIGIN.
Interpréter les résultats obtenus.
Groupe 1 : - DONALD
- NABARY Yellonge Baldent
- HERY Miotimiora

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 Sujet 2
 POSITION DU PROBLEME
On se propose d’étudier numériquement le phénomène de convection naturelle dans une enceinte carrée de côté L dont les
parois sont différentiellement chauffées comme l’indique la figure ci-dessous.
On pose les hypothèses simplificatrices suivantes :
- Ecoulement laminaire, permanent, bidimensionnel
- Fluide newtonien et incompressible
- Transfert par rayonnement et dissipation d’énergie visqueuse dans
l’équation de la chaleur supposés négligeables
- Propriétés physiques du fluide considérées constantes hormis de la
masse volumique dans le terme de la force de gravité qui satisfait à
l’hypothèse de Boussinesq :  = o [1 – (T – Tf)].
 FORMULATION MATHEMATIQUE DU PROBLEME
Les équations de transfert dans la cavité découlent des lois de
conservation : de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie.
En utilisant la formulation  - , ces équations et les conditions aux
limites associées sont exprimées de la manière suivante :
1. Equation de continuité
2. Equation de la quantité de mouvement
3. Equation de la vorticité
4. Equation de la fonction de courant
5. Composantes de la vitesse
 ,   
6. Equation de l’énergie
 avec   
7. Conditions aux limites
 Paroi inférieure : y = 0 , 0  x  L
u(x,0) = 0 , v(x,0) = 0 , (x,0) = 0 , T(x,0) = Tf ,
0
2
2
)0,(
y
y
x
 Paroi supérieure : y = a , 0  x  L
u(x, L) = 0 , v(x, L) = 0 , (x, L) = 0 , T(x, L) = Tf ,
Ly
y
Lx  2
2
),(
 Paroi latérale gauche : x = 0 , 0 < y < L
u(0,y) = 0 , v(0,y) = 0 , (0,y) = 0 , T(0, y) = Tc ,
0
2
2
),0(
x
x
y
y
Tf
g
x
L
O
Tc
Tf
Tc
L
L
L

4
 Paroi latérale droite : x = L , 0 < y < L
u(L,y) = 0 , v(L,y) = 0 , ( L,y) = 0, T(L, y) = Tc ,
Lx
x
yL  2
2
),(
TRAVAIL DEMANDE
On souhaite déterminer numériquement les champs de température et de vitesse en présentant les résultats par des profils
des isothermes et des lignes de courant (isocourant). Pour ce faire, on demande de :
1. Ecrire les équations et conditions aux limites adimensionnelles en prenant comme :
Grandeurs de référence : Lr = L , 
 , Tr = T = Tc – Tf
Variables adimensionnelles :
 ,     ,     ,     ,   ,   , 
Les nombres adimensionnels caractéristiques sont :
- Nombre de Prandtl :  
- Nombre de Grashof :  
- Nombre de Rayleigh :   
2. Discrétiser ces équations adimensionnelles par la méthode implicites aux différences finies. Elles seront résolues à
l’aide de l’algorithme de Gauss-Seidel.
3. En se référant du code de calcul disponible, écrire le programme FORTRAN qui permet de calculer la température, la
vorticité, la fonction de courant et les composantes de la vitesse dans le système physique étudié.
Compiler et exécuter le programme pour :
L = 1,0 , N = 201 , M = 201 ,  = 10– 4, Pr = 0,71 et Ra = 103 , Ra = 104 puis Ra = 105.
4. Tracer les courbes des isothermes et des lignes de courant pour chaque valeur de Ra à l’aide du logiciel ORIGIN.
Interpréter les résultats obtenus.
Groupe 2 : - RAFALIMANANA Miarintsoa Delurs
- RAZAFINDRAHERY Augustin Fanoel