Ch 4 FONCTIONS HYPERBOLIQUES

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FONCTIONS HYPERBOLIQUES 4
A. Fonctions exponentielle, puissance et logarithme
1. La fonction exponentielle de base a ( 0a>)
()
()
:
x
Ln a
x
f
xyfxae
→
===
\\
6
Cette fonction est continue et définie sur \ et sa dérivée s'écrit :
(
)
()
()
(
)
()
(
)
''
xLn a xLn a
x
x
a e Ln a e Ln a a== =
Cas particulier : l'exponentielle de base e
Propriétés :
• 01
1 ; eee==
•
()
, x
x
Ln e x∀∈ =\
•
(
)
*, Ln x
x
ex
+
∀∈ =\
•
()
2
,,
x
yxy
x
yeee
+
∀∈ =×\
•
()
2
,,
x
xy y
e
xy e e
−
∀∈ =\
•
()
1
, n
xnxx
x
neee
e
−
∀∈ = ⇒ =]
•
()
()
()
()
''
ux ux
euxe=

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Limites :
• 0
1
lim 1
x
x
ex
→
−=
• lim x
xe
→∞ =+∞
• lim 0
x
xe
→−∞ =
• lim ;
x
x
e
x
α
α
→∞ =+∞ ∈]
2. La fonction logarithme de Neper
() ()
*
:f
x
yfx Lnx
+→
==
\\
6
Cette fonction est continue et définie sur *
+
\ et sa dérivée s'écrit :
()
()
1
'Ln x
x
=
Propriétés :
•
()
10Ln =
•
()
1Ln e =
•
()
, x
x
Ln e x∀∈ =\
•
(
)
*, Ln x
x
ex
+
∀∈ =\
•
() ( )
(
)
(
)
2
,,
x
y Lnx y Lnx Lny∀∈ ×= +\
•
() () ()
2
,,
x
x
yLnLnxLny
y
⎛⎞
∀∈ = −
⎜⎟
⎝⎠
\
•
()
(
)
, n n Lnx n Lnx∀∈ = ×]
•
()
01 , 0xLnx∀<< <

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Limites :
•
()
lim
xLn x →∞ =+∞
•
()
0
lim
xLn x
+
→=−∞
•
()
1
lim 1
1
x
Ln x
x
→=
−
•
()
lim 0 ;
x
Ln x
x
αα
+
→∞ =∈]
•
()
()
00
1
lim lim 1
1
xx
Ln x x
xLnx
αα
α
→→
+==
+
•
(
)
0
lim 0 ; 0
xxLnx
αα
→=>
3. La fonction puissance
()
()
*
:
mLn x
m
f
xyfxxe
+→
===
\\
6
Cette fonction est continue et définie sur *
+
\ et sa dérivée s'écrit :
(
)
1
'
mm
x
mx
−
=

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4. La fonction cosinus hyperbolique
()
:
2
x
x
f
ee
xychx
−
→
+
==
\\
6
La fonction
()
ychx=est une fonction PAIRE.
Cette fonction est continue et définie sur \ et sa dérivée s'écrit :
(
)
(
)
(
)
'ch x sh x=
5. La fonction sinus hyperbolique
()
:
2
x
x
f
ee
xyshx
−
→
−
==
\\
6
La fonction
()
yshx=est une fonction IMPAIRE.
Cette fonction est continue et définie sur \ et sa dérivée s'écrit :
(
)
(
)
(
)
'
s
hx chx=

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6. La fonction tangente hyperbolique
() ()
()
:
x
x
x
x
f
sh x ee
xythxch x e e
−
−
→
−
== =
+
\\
6
La fonction
()
ythx=est une fonction IMPAIRE.
Cette fonction est continue et définie sur \ et sa dérivée s'écrit :
()
()
()
2
1
'th x ch x =
Relations importantes :
(
)
(
)
22
1ch x sh x
−
=
(
)
(
)
x
ch x sh x e
+
=
(
)
(
)
x
ch x sh x e
−
−=
() ()
2
2
11th x
ch x =−
Lien hypertexte : http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_hyperbolique