Cours de Physique : Mouvement du Centre d'Inertie

PHYSIQUE — TERMINALE C / D
CHAPITRE 2 : MOUVEMENT DU CENTRE D’INERTIE D’UN SOLIDE
Version initiale — cours détaillé et démonstratif
Cette version présente le cours de manière continue, avec les définitions, démonstrations, exemples et exercices,
sans la structure interactive ajoutée ensuite.
I. OBJECTIFS DU CHAPITRE
Définir un système matériel ; distinguer forces intérieures et extérieures ; définir le centre d’inertie ; définir un
référentiel galiléen ; rappeler le principe d’inertie ; définir la quantité de mouvement ; établir la relation
fondamentale ; appliquer le théorème du centre d’inertie ; déterminer accélération et équations horaires ;
analyser MRU et MRUV ; résoudre un problème de dynamique.
II. SITUATION-PROBLÈME
Un bus roule à vitesse constante puis accélère brutalement. Un passager semble partir vers l’arrière. Au
freinage, il semble partir vers l’avant. Pourquoi le corps ne change-t-il pas spontanément son état de mouvement
?
III. LA FORCE
Une force est une action mécanique susceptible de modifier le mouvement, maintenir l’équilibre ou provoquer
une déformation. C’est une grandeur vectorielle définie par un point d’application, une direction, un sens et une
intensité. Unité : newton (N).
IV. SYSTÈME MATÉRIEL
Un système matériel est l’objet ou l’ensemble d’objets choisi pour l’étude. Exemple : voiture seule, remorque
seule ou ensemble voiture + remorque. Le choix du système détermine les forces extérieures.
V. FORCES INTÉRIEURES ET EXTÉRIEURES
Les forces intérieures sont les interactions entre parties du système. Les forces extérieures sont exercées par
des éléments extérieurs : poids, réaction du sol, traction, frottements, résistance de l’air. Méthode : choisir le
système, identifier les forces extérieures, les représenter, choisir le référentiel puis appliquer le théorème.
VI. CENTRE D’INERTIE
Le centre d’inertie, noté G, est un point particulier permettant de représenter le mouvement global du système.
Pour une boule homogène, G est le centre ; pour une barre homogène et symétrique, G est le milieu. Dans un
repère : OG = xG i + yG j + zG k.
VII. CENTRE D’INERTIE DE DEUX MASSES
Pour deux masses m1 en A et m2 en B : m1·GA + m2·GB = 0. Sur un axe : xG=(m1xA+m2xB)/(m1+m2).
Démonstration : m1(xA−xG)+m2(xB−xG)=0 ; donc m1xA+m2xB=(m1+m2)xG.
VIII. RÉFÉRENTIEL GALILÉEN
Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d’inertie est vérifié. Le référentiel terrestre peut
être considéré comme galiléen dans de nombreuses situations usuelles.
IX. SYSTÈME ISOLÉ ET PSEUDO-ISOLÉ

Un système est isolé s’il ne subit aucune force extérieure. Il est pseudo-isolé lorsque des forces existent mais
que leur résultante est nulle : ΣFext=0.
X. QUANTITÉ DE MOUVEMENT
Pour une masse m animée d’une vitesse v : p=m·v. La direction et le sens de p sont ceux de v. Unité : kg·m·s■¹.
XI. THÉORÈME DU CENTRE D’INERTIE
Dans un référentiel galiléen : ΣFext=m·aG. La résultante des forces extérieures détermine donc l’accélération du
centre d’inertie.
XII. DÉMONSTRATION
p=m·v. Si m est constante : dp/dt=m·dv/dt=m·a. Avec ΣFext=dp/dt, on obtient ΣFext=m·a. Pour le système, on
applique cette relation au centre d’inertie : ΣFext=m·aG.
XIII. CONSÉQUENCE FONDAMENTALE
aG=ΣFext/m. Si ΣFext=0, alors aG=0 et vG est constante. Le centre d’inertie est alors au repos ou en
mouvement rectiligne uniforme.
XIV. MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORME
Si aG=0, alors vG=v0 constante. En une dimension : xG(t)=xG0+v0t. Démonstration : dxG/dt=v0 puis intégration.
XV. MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORMÉMENT VARIÉ
Si a est constante : a=dv/dt. Intégration : v=v0+at. Puis v=dx/dt : x=x0+v0t+1/2at².
XVI. RELATION DE TORRICELLI
À partir de v=v0+at et x=x0+v0t+1/2at², éliminer t pour obtenir v²=v0²+2a(x−x0).
XVII. CHUTE LIBRE
Si l’air est négligé, le solide est soumis uniquement à son poids P=m·g. Le TCI donne a=g. Pour une chute sans
vitesse initiale, axe vers le bas : v=gt ; y=1/2gt² ; v²=2gy.
XVIII. EXEMPLE GUIDÉ
Voiture : m=1000 kg, F=3000 N, résistances négligées. Horizontalement F=ma, donc a=F/m=3 m·s■².
XIX. AVEC FROTTEMENT
Pour une force motrice F et un frottement f : F−f=ma, donc a=(F−f)/m. Si F>f : accélération ; si F=f : a=0 ; si F<f :
ralentissement avec l’axe choisi dans le sens du mouvement.
XX. MÉTHODE UNIVERSELLE
1. Choisir le système. 2. Choisir le référentiel. 3. Faire le bilan des forces. 4. Faire le schéma. 5. Écrire le TCI. 6.
Projeter. 7. Résoudre. 8. Vérifier unités, signe et cohérence.
XXI. ERREURS À ÉVITER
Ne pas écrire F=ma sans bilan des forces. Ne pas confondre masse m en kg et poids P=mg en N. Ne pas croire
qu’un objet en mouvement doit forcément avoir une résultante non nulle. Résultante nulle signifie a=0, pas

forcément v=0.
XXII. RÉSUMÉ À FAIRE NOTER
Le centre d’inertie G permet d’étudier le mouvement global d’un système. Dans un référentiel galiléen :
ΣFext=m·aG. Si ΣFext=0, alors aG=0 et vG est constante. Quantité de mouvement : p=m·v. MRU : x=x0+v0t.
MRUV : v=v0+at ; x=x0+v0t+1/2at² ; v²=v0²+2a(x−x0).

XXIII. EXERCICES D’APPLICATION
1) m=2 kg, deux forces opposées de 10 N : déterminer la résultante et l’accélération. 2) m=5 kg, résultante 20 N :
déterminer a, puis v après 4 s si v0=3 m/s. 3) véhicule m=1000 kg, force motrice 4000 N, résistance 1000 N :
déterminer a et v après 10 s si v0=5 m/s. 4) balle abandonnée de 20 m, g=10 m/s² : déterminer accélération,
équation horaire, vitesse après 2 s et distance parcourue. 5) solide m=2 kg, F=12 N, f=4 N, v0=3 m/s :
déterminer a, v(t), x(t), v(5 s).
XXIV. FORMULAIRE ESSENTIEL
Centre d’inertie : m1·GA+m2·GB=0. Position : xG=(m1xA+m2xB)/(m1+m2). Quantité de mouvement : p=m·v.
Relation fondamentale : ΣFext=dp/dt. TCI : ΣFext=m·aG. MRU : x=x0+v0t. MRUV : v=v0+at ; x=x0+v0t+1/2at² ;
v²=v0²+2a(x−x0). Chute libre : a=g.