Algorithmique II - TD 1: Approximation de e^x et Nombres Parfaits

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Algorithmique II - TD 1:
Approfondissement des bases en algorithmique
Exercice 1:
Écrire un algorithme qui calcule une approximation de exavec la formule :
ex=1+x+x2
2!+ · · · + x100 100!
~
Solution 1: Écrire un algorithme qui calcule une approximation de exavec la formule :
Algorithme : Approximation de expar série de Taylor
Variable
x,resultat,Terme : Réel
k: Entier
DEBUT
Écrire("entrez une valeur : ")
Lire(x)
Si x>10 ou x<−10 Alors
Écrire("Attention :", x ," doit être compris entre −10 et 10 pour éviter les dépassements
de capacité.")
Sinon
resultat ←1.0
Terme ←1.0
Pour kallant de 1à100 Faire
Terme ←Terme ∗x/k
resultat ←resultat +Terme
FinPour
Écrire("L’approximation est :", resultat)
FinSi
FIN
Exercice 2:
Un entier positif est dit parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs propres (excepté lui-même).
Par exemple :
6=1+2+3,28 =1+2+4+7+14
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1. Écrire une fonction booléenne estParfait qui renvoie vrai si son argument est un nombre
parfait.
2. Écrire un algorithme qui aiche tous les nombres parfaits inférieurs à 1000. ~
Solution 2:
1. Écrire une fonction booléenne estParfait qui renvoie vrai si son argument est un nombre
parfait.
Fonction estParfait(n: Entier) : Booléen
Variable
i,somme : Entier
DEBUT
somme ←0
Pour iallant de 1àn/2Faire
Si nmod i=0alors
somme ←somme +i
FinSi
FinPour
Si somme =nalors
Retourner vrai
FinSi
Retourner faux
FIN
2. Écrire un algorithme qui aiche tous les nombres parfaits inférieurs à 1000.
Algorithme : Nombres parfaits inférieurs à 1000
Variable
i: Entier
DEBUT
Pour iallant de 1à999 Faire
Si estParfait(i)alors
Écrire(i)
FinSi
FinPour
FIN 
Exercice 3:
1. Écrire une procédure calculSommeEtMoyenne qui calcule la somme et la moyenne d’un
tableau de réels de taille N.
2. Écrire un programme principal qui :
•Déclare un tableau Tab de type réel et de taille N.
•Lit les éléments du tableau au clavier et les aiche.
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•Aiche la somme et la moyenne du tableau Tab.~
Solution 3:
Procédure calculSommeEtMoyenne(tab : Tableau de Réel, N: Entier)
Variable
i: Entier
somme,moyenne : Réel
DEBUT
somme ←0
Pour iallant de 0àN−1Faire
somme ←somme +tab[i]
FinPour
moyenne ←somme/N
Écrire("Somme :", somme)
Écrire("Moyenne :", moyenne)
FIN
Algorithme : Programme principal
Variable
Tab : Tableau[100] de Réel
N,i: Entier
DEBUT
Écrire("Entrez la taille du tableau (max 100) :")
Lire(N)
Si N<1ou N>100 alors
Écrire("Taille invalide")
Sinon
Pour iallant de 0àN−1Faire
Écrire("Entrez l’élément", i+1, " :")
Lire(Tab[i])
FinPour
Écrire("Tableau saisi :")
Pour iallant de 0àN−1Faire
Écrire(Tab[i])
FinPour
calculSommeEtMoyenne(Tab, N)
FinSi
FIN
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Exercice 4:
Définir un algorithme qui permet d’ajouter une seconde à un temps représenté sous la forme (heure,
minute, seconde), en utilisant la procédure ajouterUneSeconde.~
Solution 4:
Procédure ajouterUneSeconde(heure,minute,seconde : Entier)
Variable
nouvelleSeconde : Entier
DEBUT
nouvelleSeconde ←seconde +1
Si nouvelleSeconde =60 alors
nouvelleSeconde ←0
minute ←minute +1
Si minute =60 alors
minute ←0
heure ←heure +1
Si heure =24 alors
heure ←0
FinSi
FinSi
FinSi
seconde ←nouvelleSeconde
Écrire("Nouveau temps :", heure, "h", minute, "m", seconde, "s")
FIN
Exercice 5:
Dans une entreprise, le calcul des jours de congés payés s’eectue de la manière suivante :
•Si un employé a moins d’un an d’ancienneté, il a droit à 2 jours de congé par mois.
•Sinon, il a droit à 28 jours minimum.
•Si c’est un cadre :
–À partir de 35 ans et plus de 3 ans d’ancienneté, il obtient 2 jours supplémentaires.
– À partir de 45 ans et plus de 5 ans d’ancienneté, il obtient 4 jours supplémentaires,
en plus des 2 précédents.
1. Définir la fonction nombreJoursCongés qui calcule le nombre de jours de congés à partir de
l’âge, de l’ancienneté et de l’appartenance au collège cadre d’un employé.
2. Définir une fonction principale et aicher le résultat.
~
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Solution 5:
1. Fonction nombreJoursConges( age , anciennete : Entier, estCadre : Booléen) : En-
tier
Variable
joursConges : Entier
DEBUT
Si anciennete <12 alors
joursConges ←2∗anciennete
Sinon
joursConges ←28
Si estCadre alors
Si age >=35 et anciennete >(3∗12)alors
joursConges ←joursConges +2
FinSi
Si age >=45 et anciennete >(5∗12)alors
joursConges ←joursConges +4
FinSi
FinSi
FinSi
Retourner joursConges
FIN
2. Fonction principale() : Entier
Variable
age,anciennete : Entier
estCadre : Booléen
DEBUT
Écrire("Entrez l’âge de l’employé :")
Lire(age)
Écrire("Entrez l’ancienneté de l’employé (en mois) :")
Lire(anciennete)
Écrire("L’employé est-il cadre? (vrai/faux) :")
Lire(estCadre)
Écrire("Jours de congés :", nombreJoursConges(age,anciennete,estCadre) )
Retourner 0
FIN 
Exercice 6:
Écrire un algorithme permettant de calculer la Somme des n premiers entiers élevés à la puissance 5 :
•Écrire une fonction itérative.
•Écrire une fonction récursive.
~
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