Exercices de Mathématiques : Probabilités & Statistiques

Exercice 1 :
Un magasin d’électroménager vend exclusivement des lave-linge et des sèche-linge.
Des études statistiques ont montré que, lorsqu’un client entre dans ce magasin :
 la probabilité qu’il achète un lave-linge vaut 0,6 ;
 la probabilité qu’il achète un sèche-linge vaut 0,46 ;
 la probabilité qu’il achète les deux appareils vaut 0,42.
Soient les évènements L « le client achète un lave-linge » et S « le client achète un sèche-linge »
1. Compléter le tableau suivant avec les probabilités correspondantes.
L
L
Total
S
S
Total
2. Un lave-linge coûte 500 € et un sèche-linge coûte 300 €. Soit D la variable aléatoire égale à la dépense
en euros du client.
a. Déterminer la loi de probabilité de D.
b. Calculer l’espérance de D. Interpréter le résultat.
c. Le service clientèle du magasin sait qu’il se présente chaque semaine 50 clients au magasin.
Quel chiffre d’affaires hebdomadaire le magasin peut-il espérer réaliser grâce à la vente de ces deux appareils ?
Exercice 2 :
Une entreprise conditionne des pièces mécaniques sous forme de sachets.
Le service qualité a relevé deux types de défauts sur les 120 000 sachets produits par jour :
 360 sachets présentent une erreur d’étiquetage, défaut noté D1.
 600 sachets ont été déchirés, défaut noté D2.
 120 sachets présentent simultanément les deux défauts D1 et D2.
On peut s’aider d’un tableau ou de diagrammes pour répondre à la question suivante.
1. On choisit un sachet au hasard parmi les 120 000 sachets.
a. Montrer que la probabilité que le sachet choisi présente uniquement le défaut D1 est de 0,002.
b. Calculer la probabilité que le sachet ne présente aucun défaut.
2. Pour l’entreprise, le coût de revient d’un sachet sans défaut est 2,45€, celui d’un sachet ayant
seulement le défaut D1 est 4,05€, celui d’un sachet ayant seulement le défaut D2 est 6,45€
et celui d’un sachet ayant les deux défauts est 8,05€.
On note X la variable aléatoire qui, à chaque sachet choisi, associe son coût de revient.
a. Donner la loi de probabilité de X.
b. Calculer l’espérance mathématique de X. Interpréter le résultat.
c. Calculer le prix de revient moyen de tous les sachets produits.

Exercice 3 :
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Dans une urne on place n jetons : un seul jeton est rouge et tous les autres sont blancs.
On mise 2 € puis l'on tire successivement, au hasard et avec remise, deux jetons de l'urne.
Les deux tirages sont donc indépendants.
On perd 2 € si l'on tire deux fois le jeton rouge, on gagne 1 € si l'on tire deux fois un jeton blanc
et l'on gagne 9 € dans les autres cas.
On note X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur à l'issue du jeu.
a. Déterminer la loi de probabilité de X.
b. Montrer que, pour tout n > 1, E ( X ) =
n ² + 16 n 19
n ²
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c. Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de n l’espérance est maximale.