SYNTHÈSE MATHS

SYNTHÈSE MATHS (THEORIE)
Ce document reprend les définitions, règles et propriétés de théorie des documents
envoyés. Les exercices ne sont pas repris.
CHAPITRE 1 — NOMBRES RATIONNELS ET FRACTIONS
1.0. Rappels sur les rationnels
Définition
Un NOMBRE RATIONNEL est un nombre que l'on peut écrire sous la forme d'une
fraction.
Notation
L’ensemble des nombres rationnels se note : ℚ.
L’ensemble des nombres rationnels contient les fractions, les nombres décimaux
limités et illimités périodiques, les entiers et les naturels et les pourcentages.
L'ensemble des naturels (ℕ) et l'ensemble des entiers (ℤ) sont donc inclus dans
l'ensemble des rationnels.
Définition
Une FRACTION est un nombre que l'on peut écrire sous la forme a/b.
(a ∈ ℕ ; b ∈ ℕ et b ≠ 0).
Vocabulaire
Dans la fraction 3/4 :
3 est le numérateur.
4 est le dénominateur.
3 et 4 sont les termes.
Définition
Des fractions sont ÉQUIVALENTES si elles représentent la même quantité (si elles
sont égales).
Pour trouver une fraction équivalente à une fraction donnée, il suffit de multiplier (ou
diviser) le numérateur et le dénominateur par un même nombre différent de 0 et 1.
Définition

Une fraction est IRRÉDUCTIBLE si le numérateur et le dénominateur n'ont que le
nombre 1 comme diviseur commun.
Pour simplifier une fraction, on divise le numérateur et le dénominateur de la fraction
par un diviseur commun différent de 1.
Pour rendre une fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur
jusqu'à ce que leur seul diviseur commun soit 1.
1.1 et 1.2. Signe d’une fraction et fractions irréductibles
Deux nombres sont opposés s’ils ont la même valeur absolue et des signes
contraires (définition).
La somme de deux nombres opposés est nulle (propriété).
Règle du signe du quotient de deux entiers
Règle du signe du quotient de deux entiers : la même que pour la multiplication de 2
nombres.
Si les 2 termes ont le même signe, le quotient est positif.
Si les 2 termes ont des signes opposés, le quotient est négatif.
Règle du signe d’une fraction
Règle du signe d'une fraction : la même que celle du quotient ci-dessus.
Une fraction est positive si son numérateur et son dénominateur ont le même signe.
Une fraction est négative si son numérateur et son dénominateur ont des signes
différents.
Quelques cas particuliers
Diviser un nombre par 1 ne change pas le nombre.
Diviser un nombre par (-1) revient à prendre son opposé.
Diviser un nombre par lui-même égal 1.
Diviser 0 par n’importe quel nombre non nul = 0.
Il est impossible de diviser par 0 OU 0 n’est jamais diviseur.
Définitions

Une FRACTION est une écriture d’un quotient de 2 nombres entiers, le dénominateur
étant un naturel non-nul.
En math : a/b si a ∈ ℤ et b ∈ ℕ₀.
Par convention, on ne laisse jamais un signe "–" au dénominateur d'une fraction.
Une FRACTION est IRRÉDUCTIBLE si…
1. on ne peut plus simplifier (diviser) le numérateur et le dénominateur par un
même nombre,
2. le dénominateur ne comporte pas de signe -.
1.3. Encadrement d’une fraction — Comparaison de fractions
2 < 24/11 < 3 est un ENCADREMENT à l’unité près de 24/11.
2 est la valeur approchée par défaut à l’unité de 24/11.
3 est la valeur approchée par excès à l’unité de 24/11.
Sur une droite graduée, le plus grand nombre est celui le plus à droite et le plus petit,
celui le plus à gauche.
Astuce si les deux fractions à comparer sont négatives: on compare leur valeur
absolue puis on change le sens du signe en les rendant négatives.
1.4. Addition et soustraction de fractions
Pour ADDITIONNER (ou soustraire) DES FRACTIONS…
1. on simplifie si possible chaque fraction,
2. on les transforme avec un dénominateur commun (PPCM des
dénominateurs),
3. on additionne (ou soustrait) les numérateurs en gardant le dénominateur
commun,
4. on simplifie la réponse obtenue.
1.5. Multiplication de fractions
Pour MULTIPLIER DES FRACTIONS,
1. on cherche le signe du résultat,
2. on simplifie les fractions (individuellement ou en croix),
3. on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux,
4. on simplifie le produit.
1.6. Division de fractions

Diviser par un nombre, c’est multiplier par son inverse.
Pour DIVISER une fraction par une fraction non nulle…
1. on multiplie la première par l’inverse de la seconde,
2. on applique la règle de multiplication de deux fractions.
Définition
La FRACTION INVERSE de a/b est b/a.
L’inverse de b est 1/b ou b⁻¹.
Propriété de la multiplication
La multiplication est symétrisable.
Le produit d’une fraction non nulle par son inverse vaut 1.
Ou deux nombres sont inverses si leur produit vaut 1.
1.7. Résolution de problèmes avec des fractions
Calculer les 2/3 de … → 2/3 . … → multiplier
Calculer le reste après un partage → soustraire
CHAPITRE 2 — EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES ET ÉQUATIONS
2.1. Expressions algébriques
Définitions
Une EXPRESSION ALGÉBRIQUE est la somme ou la différence de monômes
(expressions dans lesquelles apparaissent des lettres et des nombres). Ex: b + v +
2r.
Dans une expression algébrique,
 les lettres forment la partie littérale. Ex: r
 le nombre qui multiplie les lettres s’appelle le coefficient. Ex : 2
Conventions d’écriture
Dans une expression littérale :

 Le signe "x" n’est pas autorisé puisqu’il peut être confondu avec la lettre x. On
utilise le point comme symbole de multiplication.
 Le signe " . " n’est pas utile devant une lettre (ou une parenthèse). Ex: 3a = 3 .
a ou 4 (2x + 1) = 4 . (2x + 1)
 Le nombre 1 n’est pas utile devant une lettre. Ex: a² = 1 . a²
 On écrit d’abord le coefficient et puis la partie littérale. Ex: a . 3 s’écrit 3a
 Lorsque la partie littérale comprend plusieurs variables, on les écrit par ordre
alphabétique. Ex: 3x . z . 2y² s’écrit 6xy²z
 Lorsqu’on multiplie plusieurs fois la même lettre, on utilise les exposants. Ex: a
. 2b . a = 2a²b
Définitions
Des TERMES SEMBLABLES sont des monômes qui ont la même partie littérale,
c’est-à-dire les mêmes lettres affectées (avec) des mêmes exposants.
RÉDUIRE une expression algébrique, c’est l’écrire de la manière la plus courte et la
plus simple. c’est-à-dire en ayant additionné les termes semblables et en ayant
supprimé les parenthèses.
Règles de calcul
Pour RÉDUIRE UNE SOMME ALGÉBRIQUE, on ne peut additionner ou soustraire
que des termes semblables.
1. On garde les parties littérales identiques.
2. On additionne ou soustrait les coefficients.
Pour RÉDUIRE UN PRODUIT ALGÉBRIQUE…
1. On multiplie les coefficients entre eux.
2. On multiplie les lettres entre elles en utilisant les exposants si nécessaire.
2.2. Équations
Définitions
Une ÉQUATION est une égalité comprenant une ou plusieurs inconnues.
Les inconnues sont notées par des lettres (souvent x).
Cette année, nous travaillerons les équations à une inconnue.
RÉSOUDRE UNE ÉQUATION, c’est chercher la valeur de l’inconnue pour laquelle
l’égalité est vraie.
Propriétés de l’égalité