Module de géométrie dans l'espace

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MODULE DE GEOMETRIE DANS L’ESPACE
Cissé BA

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Table des matières
INTRODUCTION GÉNÉRALE ...................................................................................................................... 3
HISTORIQUE SUR L’EVOLUTION DE L’ENSEIGNEMENT DE LA GEOMETRIE ................................................. 5
POINTS, DROITES ET PLANS DE L’ESPACE.................................................................................................. 5
Introduction ......................................................................................................................................... 5
Axiomes d'incidence ............................................................................................................................ 6
Déterminations d’un plan ................................................................................................................. 7
Positions relatives de droites et plans .................................................................................................. 7
Positions relatives de deux droites ................................................................................................... 7
Positions relatives d’une droite et d’un plan ..................................................................................... 8
.......................................................................................................................................................... 10
Positions relatives de deux plans .................................................................................................... 10
PERSPECTIVE CAVALIÈRE ........................................................................................................................ 14
Définition ........................................................................................................................................... 14
Propriétés .......................................................................................................................................... 14

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INTRODUCTION GÉNÉRALE
La géométrie tient de fait une place importante dans les programmes des lycées et des collèges, tant pour
son rôle formateur (en particulier dans l’apprentissage de la rigueur et du raisonnement) que pour sa place
dans l’ensemble des sciences et techniques. Elle permet à l’élève, en partant d’objets simples et intuitifs,
de mettre en œuvre des démonstrations significatives et instructives.
En particulier, la géométrie dans l’espace, initiée dès l’école primaire, va amener l’élève à passer d’une
reconnaissance perceptive de son environnement à une connaissance appuyée sur des propriétés. Elle lui
fournit des outils qui lui permettent de prendre, de communiquer, d’exploiter des informations de l’espace
qui l’entoure puis de résoudre les problèmes auxquels il pourra être confronté. Ce travail s’organise autour
de différentes compétences que l’élève va devoir développer :
1. Observer puis décrire : qui va conduire à la mise en place d’un vocabulaire spécifique, à la définition
des solides usuels, à une modélisation puis plus tard à l’énoncé des axiomes d’incidence ;
2. Fabriquer un solide, réaliser des patrons : occasion d’être confronté aux propriétés de l’objet : la
nature des faces, la position relative des faces ou des arêtes, la forme d’une surface latérale, de
transporter à des objets de l’espace des propriétés connues en géométrie plane ; besoin d’établir des
relations entre l’objet et sa représentation éclatée ;
3. Représenter à l’aide de figures planes : moment où se fera le passage de l’espace au plan et
inversement ; c’est la représentation en perspective cavalière qui est privilégiée ;
4. Interpréter une représentation : l’élève va devoir confronter ce qu’il voit sur un dessin à ce qu’il
sait d’un solide, ces dessins ne pouvant bien souvent être interprétés que si on connaît déjà l’objet
représenté ; il devra y identifier des configurations usuelles, y pratiquer des déductions ; il devra
également être capable d’effectuer des sections planes de ce solide : l’étude de situations de l’espace
débouchant dans la plupart des cas sur des problèmes de géométrie plane;
5. Déterminer le volume : d’abord par dénombrement d’unités pour donner du sens à ce concept puis
par la mise en place de formules de calcul ;
6. Se repérer dans l’espace : l’élève va commencer par prendre des repères de l’espace sensible lui
permettant de distinguer la position d’objets dans cet espace puis plus tard parvenir au traitement
analytique de quelques problèmes. Dans son étude des solides, même si l’observation et la
manipulation des objets doit précéder toute représentation, l’élève sera amené à travailler très tôt et
presque simultanément les trois premiers points qui précèdent, (observer, décrire, fabriquer,
représenter), de manière à mettre en correspondance les informations prises sur l’objet et leurs
représentations sur une figure plane, patron ou dessin en perspective. Au fur et à mesure des années
de collège puis de lycée, les compétences mises en jeu restent les mêmes mais les solides étudiés, les
situations proposées, les tâches demandées deviennent de plus en plus complexes.

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Objectifs généraux du module.
Ce module vise à
 mieux se situer dans l’édifice de la géométrie dans l’espace et de sa didactique ;
 en appréhender les fondements, la structure et la démarche voire quelques repères historiques
essentiels ;
 être mieux outillé techniquement et théoriquement pour aborder les programmes de
l’enseignement moyen et secondaire ;
 familiariser les élèves professeurs avec les connaissances de base relatives à la didactique de la
géométrie dans l’espace.
Les définitions et les propriétés de chaque concept seront analysées et précisées afin de permettre au
stagiaire d’affiner ses démarches en géométrie dans l’espace.
Objectifs spécifiques
 Interpréter un dessin en perspective cavalière.
 Représenter un solide en perspective cavalière.
 Déterminer les positions relatives de deux droites, d'une droite et d'un plan, de deux plans.
 Définir et justifier le parallélisme de deux droites, d'une droite et d'un plan ou de deux plans.
 Définir et justifier l'orthogonalité de deux droites, d'une droite et d'un plan ou de deux plans.

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HISTORIQUE SUR L’EVOLUTION DE L’ENSEIGNEMENT DE LA GEOMETRIE
L'enseignement de la géométrie a connu différentes périodes.
Jusqu'en 1965 l'aspect ponctuel précédait l'aspect vectoriel mais une axiomatique incomplète et imprécise
rendait cette discipline « suspecte » aux yeux des mathématiciens.
De 1965 à 1980, avec l'introduction des mathématiques modernes de la Maternelle à l'Université, l'algèbre
linéaire, abstraite et bien structurée, a été choisie comme point de départ et la géométrie ponctuelle affine
s'en déduisait. Au collège et au lycée l’introduction des notions ensemblistes va de pair avec une géométrie
résolument axiomatisée et abstraite qui s’est inspirée du courant formaliste issu de la critique des
fondements (Frege, Peano, Hilbert). Séduisante sur le plan théorique, cette présentation a conduit à un
échec pédagogique. Les enseignants n'osaient plus dessiner un angle, l'orthogonalité était définie par la
nullité d'un produit scalaire et n'avait plus aucun lien avec la notion physique traditionnelle, les figures
avaient totalement disparu. En classe de quatrième, était donnée, par exemple, la définition suivante : une
droite graduée est un couple (∆, g) où ∆ est un ensemble et g une bijection de ∆ sur R.
Le rejet de l’intuition et la ferveur axiomatique ont très rapidement montré leurs limites, limites que René
Thom dénonçait depuis longtemps : « le vrai problème de l’enseignement des mathématiques n’est pas le
problème de la rigueur mais le problème de la construction du sens, de la justification ontologique des
objets mathématiques. »
Depuis 1980, l'ordre de présentation d'avant 1965 prévaut de nouveau avec toujours les mêmes difficultés
pour définir une axiomatique satisfaisante. Cependant, le recentrage sur l’activité de résolution de
problèmes rapproche du point de vue constructiviste, édulcoré de ses excès logicistes.
Nous n'avons pas la prétention de dégager une axiomatique claire, concise et complète. Nous supposerons
connues les notions de point, de droite, de plan, de parallélisme, de distance, d'orthogonalité et leurs
propriétés de base.
POINTS, DROITES ET PLANS DE L’ESPACE
Introduction
L'espace est un ensemble de points ; certaines parties supposées infinies sont particulièrement
intéressantes : les droites et les plans.
Intuitivement à la manière d’Euclide: