Approximation de Bessel : Filtres et Applications

Approximation de
Bessel
Réalisé par :
Ziad Douma
Mohamed Youssouf
ABDESSAMAD ELMOUATASSIM

Biographie de Bessel
Friedrich Wilhelm Bessel est un
mathématicien et astronaute allemand
du XIXᵉsiècle, connu pour ses
contributions majeures à l’analyse
mathématique. Il est célèbre pour les
fonctions de Bessel, utilisées pour
décrire des phénomènes physiques
comme les ondes, les vibrations et la
chaleur. Ces fonctions sont essentielles
en mécanique, électromagnétisme et
traitement du signal, surtout pour les
systèmes à symétrie cylindrique. Il a
aussi amélioré les méthodes de calcul
et la précision des approximations
mathématiques.

Pourquoi l’approximation de Bessel
Pourquoi utiliser le filtre de Bessel ?
•Pour préserver la forme du signal
• Pour éviter toute distorsion temporelle
• Pour obtenir un signal stable sans oscillations
• Pour garantir une réponse fidèle des capteurs
Propriétés correspondantes
-Phase linéaire
→ assure l’absence de déformation du signal
-Délai de groupe constant
→ toutes les fréquences arrivent en même temps
-Aucune ondulation
→ réponse en fréquence totalement lisse
-Très faible distorsion temporelle
→ pas de dépassement ni d’ondulation
-Faible sélectivité
→ transition lente entre bande passante et bande coupée

Modélisation mathématique:
1. Pulsation normalisée:
2. Fonction de transfert (générale):
3. Exemple :
ordre 1
ordre 2
ordre 3

Interprétation graphique:
Interprétation: Contrairement au filtre de Butterworth,
augmenter l'ordre du filtre de Bessel n'améliore pas
toujours l'atténuation aux fréquences élevées. n=10
atténue beaucoup moins que n=3 à Ω = 5, car la priorité
du filtre de Bessel est la phase linéaire, pas la
sélectivité.
Interprétation: Pour tout ordre 𝑛, les courbes sont
normalisées de sorte qu’elles passent par−3dB à Ω=1
correspondant à la fréquence de coupure.