Méthode du simplexe - Fiche TD n°2

Méthode du simplexe
Fiche TD n°2 L3 MISEG
Chaque variable introduite doit être explicitée. On pourra utiliser Xcas pour résoudre (ou vérifier) le
«simplexe» . Pour résoudre :
y69
4x+ 2y648
2x+ 3y636
maxZ = 30x+ 20y
simplex_reduce([[0,1],[4,2],[2,3]],[9,48,36],[30,20])
Important
Exercice 1
Une entreprise a la faculté de fabriquer, sur une machine donnée, travaillant 45 heures par semaine, trois produits
différents P
1
, P
2
et P
3
. L’article P
1
laisse un revenu net de 4 e , l’article P
2
un revenu de 12 e et l’article P
3
un
revenu de 3 e . Les rendements horaires de la machine sont, respectivement pour chacun des trois produits et
dans l’ordre 50, 25 et 75. Enfin, les ventes possibles sont limitées comme suit : 1 000 objets P
1
, 500 objets P
2
, 1 500
objets P3. Comment répartir la production de façon à maximiser le revenu de l’entreprise ?
Exercice 2
Une usine fabrique 3 produits (P
1
, P
2
et P
3
). Le processus de fabrication est composé de passages successifs dans
les trois ateliers de l’usine; il est décrit ci-dessous :
Produit 1
Ateliers successifs A C B C
Rendements horaires 0,4 30 12 15
Produit 2
Ateliers successifs A B C
Rendements horaires 0,7 10 12
Produit 3
Ateliers successifs A B C
Rendements horaires 2 12 8
Les ateliers A, B, C sont limités respectivement à 3 200, 350 et 300 heures de travail par mois.
Le tableau ci-dessous donne les ventes maximales mensuelles ainsi que le bénéfice associé à chaque produit :
P1P2P3
Vente maximale mensuelle 500 1 250 1 400
Bénéfice en euros 400 300 100
Trouver la production qui assure le bénéfice maximal.
Exercice 3
Un importateur réalise des mélanges de thés verts issus d’une plantation bio artisanale. Les quantités mensuelles
qu’il reçoit sont limités :
Variété Quantité maximale importable Prix d’achat
Dimbula : 200 kg 35 e/kg
Nuwara eliya : 250 kg 25 e/kg
Uva : 120 kg 20 e/kg
Il effectue trois mélanges qu’il vend aux prix respectifs de 68, 57 et 43 euros le kilogramme.
Ces mélanges se définissent comme suit :
23 juin 2018 V. Ledda

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A(Pas moins de 60% de Dimbula.
Pas plus de 20% d’Uva.
B(Pas moins de 15% de Dimbula.
Pas plus de 60% d’Uva.
C(Pas plus de 50% d’Uva.
La demande étant forte, chaque mois, il vend tout son thé. Déterminer les mélanges qui rendent maximaux les
bénéfices de l’importateur. Donner alors la composition de chaque mélange ainsi que le bénéfice maximal.
Exercice 4
Un atelier peut produire trois types d’articles :
— l’article A1à la cadence de 35 objets à l’heure;
— l’article A2à la cadence de 45 objets à l’heure;
— l’article A3à la cadence de 20 objets à l’heure.
Cette production utilise une machine-outil unique, disponible 200 heures par mois.
Le bénéfice unitaire pour l’article A1est de 6 €par objet, pour A2de 4 e, pour A3de 8 e.
Ces article sont vendus en totalité à des grossistes; on a observé qu’on ne pouvait écouler, par mois, plus de 4 900
objets de type A1, ni plus de 5 400 objets de type A2, ni plus de 2 000 objets du type A3.
D’autre part, chaque objet doit être vérifié avant sa commercialisation. Cette vérification est effectuée par une
équipe de 5 techniciens qui ne peuvent consacrer plus de 170 heures par mois à cette tâche. Un objet de type A
1
demande 4 minutes de tests, l’objet A23 minutes et l’objet A32 minutes.
Quelle production assure un bénéfice maximal?
Exercice 5
Une exploitation agricole décide de consacrer au maximum 16 hectares à la culture des céréales P
1
, P
2
, P3 , P
4
,
P
5
. Elle doit pour cela utiliser trois types d’engrais : e
1
, e
2
, e
3
qu’elle ne possède qu’en quantités limitées (8 pour
e1, 4 pour e2et 9 pour e3).
Les années précédentes ont montré que les quantités d’engrais nécessaires par hectare de culture des différentes
céréales sont les suivantes :
P1P2P3P4P5
e111020
e210200
e302001
De plus, l’agriculteur est en droit d’attendre pour l’année prochaine, au vu des récoltes précédentes et du marché
actuel, un bénéfice moyen net (en milliers d’euro) par hectare de 3 pour P
1
, 4 pour P
2
, 1 pour P
3
, 7 pour P
4
et 2
pour P5.
Dans ces conditions, combien d’hectares l’exploitation doit-elle consacrer à chacune des cultures pour maximiser
son bénéfice?
Exercice 6
On considère le tableau du simplexe suivant :
426−2 1 0 0 0 0 20
2 3 −1 5 0 1 0 0 0 12
1 1 1 1 0 0 1 0 0 100
3 0 0 4 0 0 0 1 0 50
−3 10 12 6 0 0 0 0 1 240
3 7 2 10 0 0 0 0 0 0
1. Combien y a-t-il de variables dans le problème initial?
2. Combien y a-t-il de contraintes?
3. Écrire la fonction économique
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4. Comment «traduire» la troisième ligne du tableau?
5. Après avoir donné des noms aux colonnes, donner le nom de la variable qui rentre en base et celui de celle
qui sort de la base, si l’on applique l’algorithme du simplexe au tableau ci-dessus.
Exercice 7
Une entreprise commercialise trois eaux de toilette P
1
, P
2
et P
3
à partir de trois essences végétales rares E
1
, E
2
et
E3. Le stock d’essences végétales est donné par le tableau ci-dessous :
E1E2E3
12 `20 `14 `
Le tableau suivant donne les besoins, exprimés en litre, en essences végétales rares pour réaliser 100 ` de chaque
eau de toilette.
P1P2P3
E1121
E2233
E3211
Les bénéfices pour chaque eau de toilette sont respectivement de 12 e/`, 20 e/`et 8 e/`.
1. Écrire le programme linéaire associé à la situation exposée. (Les variables d’écart seront notées e1,e2, etc.
2. Déterminer la production qui assure le bénéfice maximum en utilisant la méthode du simplexe.
3. Quelle est le bénéfice maximum?
Exercice 8Exercice 8
Soit x,y,zet t4 réels positifs trouver le maximum de x+ 4y−z+tlorsque :
x+ 4y−t68
−x+y+z68
y−2z64
x+t68
Exercice 9
On reprend le problème d’une entreprise qui produit chaque mois trois produits à partir de trois composants en
quantité limité selon le tableau suivant :
P1P2P3quantités disponibles
M11 1 4 23
M21 6 2 42
M32 6 1 58
Bénéfices ( milliers d’euro) 3 7 2
De plus, on ne peut écouler qu’au plus 6 P1par mois.
1. Déterminer la répartition optimale de la production.
2. L’entreprise peut revendre les matières premières non utilisées aux prix respectifs de 2, 1 et 2 (milliers
d’euro). Que devrait faire l’entreprise?
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1 Éléments de correction
Les éléments de correction n’ont pas pour objectif de donner un corrigé type. Parfois la rédaction est volontairement
lacunaire, c’est au lecteur de combler les manques pour parfaire sa compréhension des sujets abordés.
Correction 8 
140−1 1 0 0 0 8
−1 1 1 0 0 1 0 0 8
0 1 −2 0 0 0 1 0 4
1 0 0 1 0 0 0 1 8
1 4 −1 1 0 0 0 0 0 
L1←1
4L1
L2←L2−1
4L1
L3←L3−1
4L1
L4←L4
L5←L5−1L1
1
41 0 −1 41 40 0 0 2
−5
40 1 1 4−1 41 0 0 6
−1
40−21 4−1 40 1 0 2
1 0 0 1 0 0 0 1 8
0 0 −1 2 −1 0 0 0 −8
L1←L1+ 1L3
L2←L2−1L3
L3←4L3
L4←L4−4L3
L5←L5−8L3
0 1 −200010 4
−103001−1 0 4
−1 0 −8 1 −1 0 4 0 8
208010−4 1 0
2 0 15 0 1 0 −8 0 −24 
L1←L1+1
4L4
L2←L2−3
8L4
L3←L3+ 1L4
L4←1
8L4
L5←L5−15
8L4
1
21 0 0 1 40 0 1 44
−7
40 0 0 −3 811 2−3 84
1 0 0 1 0 0 0 1 8
1
40 1 0 1 80−1 21 80
−7
40 0 0 −7 80−1 2−15 8−24
En donnant les valeurs : 0 à la variable x , 4 à la variable y , 0 à la variable z , 8 à la variable t , on obtient un
maximum de 24
Énoncé de l’exercice n°8.Énoncé de l’exercice n°8.
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