TD Mécanique des fluides : Analyse dimensionnelle & Hagen-Poiseuille

Année académique 2023 - 2024
Université Marien Ngouabi de Brazzaville
Ecole Nationale Supérieure Polytechnique - ENSP
Département des Licences
TD N°1 - MÉCANIQUE DES FLUIDES ET HYDRAULIQUE
ECUE : Mécanique des fluides et Hydraulique
Thème : Unités, dimensions, équations aux dimensions
analyse dimensionnelle, détermination des formules
Date : Mardi 23 avril 2024 à 07h30
Durée : 2 séances Niveau : 2ère année de Licence Maintenance Industrielle - S2 Crédits : 3
Documents et calculatrice autorisées
Contenu du TD actualisé le 23 avril 2024
Exercice 1* : Formule de Perte de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 minutes
La perte de charge régulière exprimée en pression dans une conduite cylindrique, en régime laminaire est donnée
par la relation de Hagen-Poiseuille suivante :
∆P=K·ηα·Uβ·Dγ·Lt
où K = 32 est une constante numérique adimensionnelle, ηest la viscosité dynamique du liquide, Uest la vitesse
caractéristique de l’écoulement, Det Lsont respectivement le diamètre et la longueur de la tuyauterie.
1. En utilisant les équations aux dimensions, montrer qu’il est possible d’obtenir le système matriciel sous la
forme [A]{X}={b}tel que :
1 0 0
1−1−1
1 1 0
| {z }
[A]
α
β
γ
| {z }
{X}
=
1
1 + t
2
| {z }
{b}
où test un paramètre caractérisque de la géométrie de la tuyauterie.
2. En considérant la matrice [A]inversible, déterminer son inverse noté [A]−1.
3. En déduire le vecteur colonne {X}en fonction du paramètre t.
4. Déterminer la valeur de l’exposant tsi k−→ Xk=√6avec t∈N. Expliciter le vecteur {X}.
5. Expliciter la relation de Hagen-Poiseuille précédente. Vérifier l’homogénéité de la relation obtenue.
6. Montrer que la relation de Hagen-Poiseuille en pression peut également se mettre sous la forme :
∆P=K1·ηα·Qβ
v·Dγ−2β·Lt
où K1est un coefficient sans dimension à identifier et Qvest le débit volumique du liquide qui circule dans
la conduite circulaire de diamètre D.
Dr. Adolphe Kimbonguila Manounou, Maître-Assistant A CAMES, UMNG/ENSP Tournez la page s.v.p. . .

TD N°1 de Mécanique des fluides & Hydraulique Semestre 2 - LMI1 Page 2 sur 4
7. Expliciter alors la formule de ∆Pen remplaçant α,β,γet tprécédemment obtenues.
8. Exprimer le débit volumique Qven fonction des autres grandeurs. Comment se nomme la loi obtenue ?
Exercice 2* : Force de résistance à l’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 minutes
La force de résistance à l’écoulement Fd’un liquide de viscosité dynamique µ, traversant une surface S d’une
canalisation est donnée par une loi écrite sous la forme : F=f(µ, S, dv, dx), où dv est une variation de vitesse
et dx une distance. On associe les exposants α,β,γet t, respectivement aux grandeurs µ,S,dv et dx.
1. A partir des équations aux dimensions, montrer qu’il est possible d’obtenir le système matriciel sous la forme
[A]{X}={b}tel que : 
1 0 0
1−1−1
1 1 0
| {z }
[A]
α
γ
t
| {z }
{X}
=
1
2β−1
2
| {z }
{b}
2. En considérant la matrice [A]inversible, déterminer son inverse noté [A]−1.
3. En déduire le vecteur colonne {X}en fonction du paramètre β.
4. Peut-on choisir une valeur de β= 0 pour la force F? Justifier.
5. Déterminer la valeur de βpour que la norme de {X}soit égale à √3. Expliciter alors le vecteur {X}.
6. En déduire l’expression de la force de résistance à l’écoulement F. Comment s’appelle, en mécanique des
fluides, la loi obtenue ?
7. Quelle est en Newton et en daN, la force de résistance à l’écoulement d’un liquide de viscosité dynamique
µ= 1,35 ×10−3Pa.s, traversant une surface de 8m2avec un gradient de vitesse de 1500 s−1.
Exercice 3* : Vitesse de sédimentation d’une bille sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 minutes
La vitesse limite vd’une sphère de rayon aet de masse volumique ρstombant dans un liquide visqueux de
coeficient de viscosité dynamique ηet de masse volumique ρfest fonction de plusieurs paramètres tels que
v=k×f(η, a, g, ∆ρ)avec ∆ρ, la différence des masses volumiques de la bille sphérique et du liquide ; gest
l’accélération de la pesanteur et kun co-facteur représentatif du phénomène physique étudié. On associe les
exposants α,β,γet n, respectivement aux grandeurs η,a,get ∆ρ.
1. A partir des équations aux dimensions, montrer qu’il est possible d’obtenir le système matriciel sous la forme
[A]{X}={b}tel que : 
A11 A12 A13
A21 A22 A23
A31 A32 A33
| {z }
[A]
α
β
γ
| {z }
{X}
=
b1
b2
b3
| {z }
{b}
2. Identifier la matrice [A]et le vecteur {b}.
3. Montrer que la matrice [A]est inversible et déterminer son inverse noté [A]−1.
4. En déduire le vecteur colonne {X}en fonction du paramètre n.
5. Montrer que le vecteur {X}peut se mettre sous la forme {X}=1
2
X1
X2
X3
où X1,X2et X3sont à identifier.
Dr. Adolphe Kimbonguila Manounou, Maître-Assistant A CAMES, UMNG/ENSP Tournez la page s.v.p. . .

TD N°1 de Mécanique des fluides & Hydraulique Semestre 2 - LMI1 Page 3 sur 4
6. Déterminer le paramètre nsachant que {X}t{X}= 6. Expliciter alors le vecteur {X}.
7. En déduire la formule exacte de la vitesse ven prenant le co-facteur k=2
9et en remplaçant ∆ρ= (ρs−ρf).
8. Donner l’ordre de grandeur de la vitesse limite vd’une bille sphérique en verre de rayon a= 5 mm, de masse
volumique ρs= 2530 S.I, tombant dans l’eau à 20°C de masse volumique ρf= 1000 S.I. et de viscocité
dynamique η= 10−3S.I.. On prendra g= 9,81 S.I..
Exercice 4* : Vitesse de sortie d’un piston . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 minutes
Un amortisseur hydraulique est constitué par un cylindre de rayon Rdans lequel peut se déplacer à une vitesse
V0un piston de longueur `laissant un jeu radial a. Le cylindre contient une huile incompressible de viscosité
dynamique ηqui s’écoule par le jeu a. Il a été établi que la vitesse V0du piston par rapport au cylindre est
dépendante de la force Fà laquelle il est soumis, et des caractéristiques géométriques et fluides, telle que
V0=k×f(a, F, η, `, R)où kun co-facteur représentatif du phénomène physique étudié. On associe les exposants
x,y,z,tet γ, respectivement aux grandeurs a,F,η,`et R.
1. A partir des équations aux dimensions :
a) montrer qu’il est possible d’obtenir le système matriciel sous la forme [A]{X}={b}tel que :
A11 A12 A13
A21 A22 A23
A31 A32 A33
|{z }
[A]
x
y
z
| {z }
{X}
=
b1
b2
b3
| {z }
{b}
b) Identifier la matrice [A]et le vecteur {b}.
2. Montrer que la matrice [A]est inversible et déterminer son inverse noté [A]−1.
3. En déduire le vecteur colonne {X}en fonction de tet de γ.
4. Expliciter alors le vecteur {X}avec les considérations suivantes : k−→ Xk2= 11 et γ= 3tavec t∈Z.
5. En déduire la formule exacte de la vitesse V0du piston en prenant le co-facteur k=1
6π.
6. Donner l’ordre de grandeur de la vitesse V0du piston.
On prendra : R= 0,02 S.I ; a= 10−4S.I ; `= 0,02 S.I., F= 104S.I et η= 0,10 S.I..
Exercice* 5 : Formule de Débit-volumique d’un fluide - Loi de Poiseuille . . . . . . . . . . 45 minutes
Le débit volumique Qvde liquide s’écoulant par un tube capillaire cylindrique horizontal est supposé ne dépendre
que de la chute de pression par unité de longueur ∆p/`, du diamètre Ddu tube de section circulaire et de la
viscosité dynamique µdu liquide.
1. Analyse dimensionnelle.
1.1. En utilisant des considérations dimensionnelles, tel que le débit volumique puisse s’écrire :
Qv=K∆p
`x
Dyµz
où K est une constante numérique adimensionnelle.
Montrer qu’il est possible d’obtenir le système matriciel sous la forme [A]{X}={b}tel que :
1 0 1
2−1 1
2 0 1
x
y
z
=
0
−3
1
Dr. Adolphe Kimbonguila Manounou, Maître-Assistant A CAMES, UMNG/ENSP Tournez la page s.v.p. . .

TD N°1 de Mécanique des fluides & Hydraulique Semestre 2 - LMI1 Page 4 sur 4
1.2. En considérant la matrice [A]inversible, déterminer son inverse noté [A]−1.
1.3. En déduire le vecteur colonne {X}et établir la forme générale de la formule donnant le débit Qv.
2. Application.
Considérons un tube rectiligne de section circulaire de diamètre D= 1,25 cm et de longueur `= 10 m.
Il est parcouru par un liquide visqueux incompressible de masse volumique ρ= 800 kg.m−3et de viscosité
dynamique µ= 4 ×10−2S.I. Aux extrémités du tube règnent les pressions statiques pA= 1,3bars et
pB= 2 bars.
2.1. Calculer la variation de pression par unité de longueur du tube.
2.2. Déterminer le débit Qvqui s’écoule en litres/minute. On prendra K=π
128.
Exercice 6* : Loi de Newton - Résistance à l’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 minutes
La force de résistance à l’écoulement Fd’un liquide de viscosité dynamique µ(en Pa.s) traversant une surface S
d’une canalisation est donnée par la loi de Newton écrite sous la forme :
F=c(µ)α.(S)β.dv
dxγ
où les exposants α,β,γet tsont des coefficients constants. Le coefficient cest adimensionnel, unitaire et négatif.
Dans cette expression de F, le terme dv
dx est le gradient de vitesse s’exprimant en s−1.
1. A partir des équations aux dimensions, montrer qu’il est possible d’obtenir le système matriciel sous la forme
[A]{X}={b}tel que : 
1 0 0
1−2 0
1 0 1
| {z }
[A]
α
β
γ
| {z }
{X}
=
1
−1
2
| {z }
{b}
2. En considérant la matrice [A]inversible, déterminer son inverse noté [A]−1.
3. En déduire le vecteur colonne {X}contenant les exposants α,βet γde F.
4. En déduire l’expression de la force Fde résistance à l’écoulement.
5. Quelle est en Newton et en daN, la mesure de la force de résistance à l’écoulement d’un liquide de viscosité
dynamique µ= 1,5×10−2Pa.s, traversant une surface de 3m2avec un gradient de vitesse de 1000 s−1.
Exercice 7* : Formule de la masse volumique d’un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 minutes
La masse volumique ρd’un cylindre de masse m, de rayon Ret de longueur `est donnée par la relation suivante :
ρ=mx
π·`y·R2
1. En utilisant les équations aux dimensions, trouver les deux constantes xet y.
2. En déduire l’expression exacte de la masse volumique ρ.
∗∗∗Bon courage ! Soyez acteur de votre formation et de votre réussite ∗ ∗∗
Dr. Adolphe Kimbonguila Manounou, Maître-Assistant A CAMES, UMNG/ENSP Fin du TD N°1 Mécanique des fluides