Mécanique des fluides & hydraulique - TD N°4

Année académique 2023 - 2024
Université Marien Ngouabi de Brazzaville
Ecole Nationale Supérieure Polytechnique - ENSP
Département des Masters & Ingénieurs (DMI)
TRAVAUX DIRIGÉS N◦4
ECUE : Mécanique des fluides et hydraulique
Thème : Dynamique des fluides visqueux et non visqueux,
Etude, dimensionnement et choix des pompes/turbines
Date : Lundi 05 août 2024 à 15h30
Durée : 04h00 Niveau : 1ère année Ingénieurs Electromécanique & Génie Civil - Semestre 2 Crédits : 3/4
Documents et calculatrice autorisées
Exercice 1** : Installation cristalliseur-décanteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 minutes
Un décanteur est alimenté depuis un cristalliseur via une pompe centrifuge avec un débit Qvde 300 m3/h. Le
niveau (constant) de solvant dans le cristalliseur est de h = 2 m au-dessus de celui dans le décanteur (également
à niveau constant). La pression dans le ciel du cristalliseur est de p1= 1,2bar. Pour un bon fonctionnement
du décanteur, la pression à son entrée doit être de p2= 1,5bar (Figure 1).
Figure 1– Schéma de l’installation cristalliseur-décanteur.
La canalisation entre le cristalliseur et la pompe mesure L1= 1,5m de long et a un diamètre interne D1de
15 cm. Elle est en acier, de rugosité ε1= 0,1mm. Elle comporte une vanne de fond de cuve (dont le coefficient
de perte de charge singulière vaut k2= 12) et un coude arrondi (dont le coefficient de perte de charge singulière
vaut k1= 0,7.
La canalisation entre la pompe et le décanteur est identique à celle côté aspiration, mais mesure L2= 7 m
de long. Elle ne comporte pas de singularité.
La pompe a un rendement η= 57%. On assimile les propriétés de la suspension produite par le cristalliseur
à celles du solvant, soit une masse volumique de ρ= 875 kg/m3et une viscosité dynamique de µ= 5×10−3S.I..
Dr. Adolphe Kimbonguila M., Maître-Assistant A CAMES, UMNG/ENSP Tournez la page s.v.p. . .

TD N◦4 de Mécanique des fluides et hydraulique Semestre 2 - IEM1 -IGC1 Page 2 sur 7
La relation de Churchill ci-dessous permet de calculer le coefficient de frottement λou de perte de charge
linéaire/régulière :
λ
2=
2,457 ·ln "7
Re0,9
+ 0,27 ·ε
D#−1
−2
1. Quel est le régime d’écoulement dans le circuit hydraulique ? Justifier.
2. Calculer la hauteur manométrique totale Hpompe (en mètre de colonne d’eau) que doit fournir la pompe.
3. Calculer la puissance Pmde l’arbre du moteur électrique qui l’entraîne la pompe.
Exercice 2* : Vidange d’une cuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 minutes
La cuve à vider se présente sous forme d’un réservoir parallélépipédique de 10 m de longueur, 5m de largeur et
2m de profondeur (Figure 2). Cette cuve de section S, est remplie d’un liquide qui se vide par un orifice percé
dans un fond horizontal débouchant à l’air libre (point P) et dont la section vaut s= 0,5dm2. On considère
que l’écoulement du liquide est incompressible et stationnaire. Ce liquide se comporte comme un fluide parfait.
z=zM
zP= 0
z
P
M
patm
s
S
patm
Figure 2– Vidange d’une cuve parallélépipédique.
1. Approche intuitive et naîve de la vidange.
a) Exprimer puis calculer en secondes, le temps Tvnécessaire à la vidange totale de la cuve.
b) Exprimer ensuite ce temps sous le format . . .heures. . .minutes. . .secondes.
2. Equation de la vidange.
a) Calculer la vitesse d’écoulement du fluide au point P. A quelle relation elle obéit ?
b) Etablir l’équation différentielle de la vidange de cette cuve.
c) Exprimer, analyser, puis calculer en secondes, le temps T∗
vnécessaire à la vidange totale de la cuve.
d) Exprimer T∗
vsous la forme . . .heures. . .minutes. . .secondes.
3. Comparaison des deux approches.
a) Comparer les temps de vidange Tvet T∗
v. Justifier cette différence.
b) Que faut-il faire pour améliorer ces résultats ? Justifier.
4. Le temps de vidange est-il fonction de la nature du fluide à vidanger ? Justifier.
5. La gravité peut-elle être considérée comme un moteur de la vidange ? Justifier.
Dr. Adolphe Kimbonguila M., Maître-Assistant A CAMES, UMNG/ENSP Tournez la page s.v.p. . .

TD N◦4 de Mécanique des fluides et hydraulique Semestre 2 - IEM1 -IGC1 Page 3 sur 7
Exercice 3** : Dimensionnement et choix d’une pompe centrifuge . . . . . . . . . . . . . . . 60 minutes
On souhaite remplir une cuve de stockage au moyen d’une pompe centrifuge qui débiterait 50 m3/h à travers
le circuit suivant :
— En amont de la pompe, L1= 20 m de conduite rectiligne horizontale de diamètre D1= 100 mm, en
acier inoxydable de rugosité ε= 0,02 mm, branchée directement en partie basse de la paroi du bac
d’alimentation : rétrécissement brusque (k1= 0,5) et clapet anti-retour (k2= 0,5). Le niveau supérieur
du bac d’alimentation est à 2m au-dessus de l’axe de la pompe.
— En aval, L2= 35 m de conduite identique (même diamètre D2=D1, même rugosité ε2=ε1),
comprenant deux coudes de coefficient k3= 0,25. Le liquide qui sort en jet horizontal à 17 m au-
dessus du niveau supérieur du bac d’alimentation est recueilli dans la cuve de stockage.
Le liquide pompé a les caractéristiques suivantes :
— Masse volumique de 1000 kg/m3;
— Viscosité de 1,14 ×10−3S.I ;
— Pression de vapeur saturante de pvs = 5500 Pa.
On utilisera le diagramme de Moody-Mourine donné sur la Figure 8, page 7/7 pour le calcul des
coefficients de pertes de charges linéaires.
1. Faire le schéma de l’installation hydraulique on y faisant apparaître les éléments essentiels constitutifs du
circuit et indispensables aux calculs ultérieurs.
2. Montrer que la caractéristque du circuit peut se mettre sous la forme :
Hpompe =A+B·Q2
v
3. Donner les unités et les valeurs numériques de Aet B.
Tracer cette caractéristique sur la Figure 3puis déterminer graphiquement Hpompe.
4. Parmi les trois pompes pour lesquelles les caractéristiques sont données sur la Figure 3, laquelle est
adaptée au besoin de l’installation ?
5. Quelle sera la puissance fournie au fluide par la pompe centrifuge et en déduire la puissance absorbée par
l’arbre du moteur si le rendement de la pompe est de η= 62%.
𝐇𝐩𝐨𝐦𝐩𝐞
Figure 3– Caractéristiques des pompes disponibles.
Dr. Adolphe Kimbonguila M., Maître-Assistant A CAMES, UMNG/ENSP Question 5 continues on the next page. . .

TD N◦4 de Mécanique des fluides et hydraulique Semestre 2 - IEM1 -IGC1 Page 4 sur 7
Exercice 4** : Puissance d’une pompe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 minutes
Une pompe est un dispositif mécanique qui, par son mouvement de rotation, met en circulation un fluide qui
se comporte comme un fluide parfait dans un écoulement incompressible et stationnaire (Figure 4).
d2
𝟐
p2
h
Qv
Qv
p1
d1
𝟏
Figure 4– Pompe.
Le débit volume de cette pompe est Qv= 9000 l/min. La conduite d’aspiration horizontale a un diamètre d1
de 30 cm. Sur l’axe, il règne une pression p1de 20 cm de mercure au-dessous de la pression atmosphérique. Sa
conduite de refoulement, horizontale, a un diamètre d2de 20 cm ; sur l’axe, situé à 1,22 m plus haut que le
précédent, règne une pression p2de 7m d’eau supérieure à la pression atmosphérique
1. Quelle est l’énergie par unité de volumique que cette pompe doit fournir au fluide ?
En déduire alors la charge hydraulique que doit fournir cette pompe.
2. En déduire en kW la puissance nécessaire pour son fonctionnement.
3. En supposant que le rendement de la pompe soit de 80%, quelle puissance mécanique doit-on lui fournir ?
On exprimera le résultat en kW et on prendra g= 9,81 m.s−2.
Exercice 5* : Réservoir alimenté par deux canalisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 minutes
La Figure 5montre deux canalisations 1(diamètre d1= 140 mm) et 2 (diamètre d2= 80 mm) alimentant en
eau de masse volumique ρ= 1000 kg.m−3, un réservoir parallélépipédique de section S= 6 m2et de hauteur
H= 5 m. La vitesse du fluide en 1est v1= 0,62 m.s−1, celle en 2est v2= 0,50 m.s−1. L’eau, en écoulement
permanent et stationnaire dans les canalisations est considérée comme un fluide parfait et incompressible.
HEau,
ρ= 1000 kg.m−3h
S
0
z
1
2
Figure 5– Canalisations de réservoir parallélépipédique.
Dr. Adolphe Kimbonguila M., Maître-Assistant A CAMES, UMNG/ENSP Tournez la page s.v.p. . .

TD N◦4 de Mécanique des fluides et hydraulique Semestre 2 - IEM1 -IGC1 Page 5 sur 7
1. Déterminer la vitesse de montée vhde l’eau dans le réservoir parallélépipédique.
2. Quel est le temps de remplissage depuis h= 0 ?
Exercice 6** : Temps de vidange d’un réservoir sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 minutes
On étudie la vidange d’un réservoir sphérique de 5m de rayon, au travers d’un orifice circulaire Ade rayon
r0= 5 cm, situé à la base du réservoir que l’on ouvre à t= 0 (Figure 6).
0
zs
R
z S
A
r
C
𝑣
A
patm
Zs(t)
patm
Figure 6– Vidange d’un réservoir sphérique.
Initialement, le réservoir est rempli à moitié d’eau de masse volumique ρ= 1000 kg.m−3et, à une durée Tv
recherchée dans cet exercice, on supposera le réservoir complètement vide. La pression atmosphérique patm
règne au-dessus de la surface libre de l’eau grâce à une ouverture pratiquée au sommet S.
1. Etablir une relation géométrique entre R, ret Zs.
2. Établir l’équation différentielle en zs(t)du temps de vidange du réservoir, si zs(t)est la hauteur d’eau
dans le réservoir comptée à partir du point A, à l’instant t.
3. Exprimer littéralement, puis calculer en secondes, la durée Tvde vidange de ce réservoir sphérique.
Ecrire ensuite Tvsous la forme Tv=. . . h. . . min . . . secondes.
4. Expliquer brièvement mais de façon convainquante, pourquoi la durée réelle de vidange est-elle supérieure
à la durée théorique. Que peut-on en conclure sur les débits réel et théorique de vidange ?
Exercice 7*** : Dimension économique d’une installation hydraulique . . . . . . . . . . . . 60 minutes
On considère une canalisation horizontale, en tube d’acier de longueur L, de diamètre d= 25 mm, de rugosité
ε= 0,125 mm noté Rsur le diagramme de Moody (Figure 8). Dans ce tube circule de l’eau à une température
de 50°C dont les caractéristiques à cette température sont :
— Masse volumique ρ= 988 kg.m−3,
— Viscosité dynamique µ= 0,548 ×10−3Pa.s
Dr. Adolphe Kimbonguila M., Maître-Assistant A CAMES, UMNG/ENSP Tournez la page s.v.p. . .