Le modèle de Stackelberg : Théorie et équilibre oligopolistique

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3. Le modèle de Stackelberg
Le modèle de Stackelberg étudie les interactions stratégiques entre des firmes à taille
asymétrique dont les plus grandes cherchent à dominer les firmes de petite taille. Donc,
contrairement au modèle de Cournot qui suppose que les firmes oligopolistiques sont de taille
symétrique dont aucune n’a intérêt à dominer l’autre, et que toutes les firmes prennent leurs
décisions sur la base des anticipations, le modèle de Stackerbelrg suppose que les entreprises
constituant l’oligopole se distinguent en terme de leur position sur le marché. Il existe ainsi
des firmes dominantes qui font la loi du marché et des firmes dominées qui subissent aux
décisions du leader. Ce dernier (firme dominante) a l’initiative de déterminer sa quantité de
production qui maximise son profit et occupe les parts de marché les plus rentables, alors que
la firme dominée se comporte comme une firme suiveuse qui prend sa décision de production
après avoir constaté le niveau de production réalisé par la firme leader.
Les décisions des deux firmes seront ainsi séquentielles où la firme dominante choisit son
niveau de production avant la firme dominée. Les firmes dominantes disposent généralement
des capacités de production et de financement plus importantes ainsi qu’un marché plus
étendu que les petites firmes, leurs permettent d’être les leaders du marché.
Les firmes dominées, dépourvues des moyens pour faire face à la concurrence des leaders,
adaptent une stratégie de satellite qui orbite au tour des grandes firmes pour pouvoir survire et
maintenir leur position sur le marché. Elles acceptent ainsi d’occuper une position élémentaire
sur le marché et adoptent une stratégie de défense gagnante au lieu d’une stratégie offensive
perdante.
Considérons le cas d’un duopole formé par une firme dominante (leader) et une autre firme
suiveuse (dominée). Le comportement de la firme suiveuse consiste à maximiser son profit en
considérant que la production de la firme dominante est une donnée. Cette firme n’est pas
ainsi capable ni en terme de taille, ni en terme de compétitivité d’emmener le leader à
modifier son niveau d’output.
Si la firme 2 est une firme suiveuse et la firme 1 est dominante, la première maximise son
profit en tenant compte de la production de la firme dominante qu’elle va la considérer
comme une donnée et la seconde maximise son profit en tenant compte de la réaction de la
firme dominée :
Max 2= Y2 P(Y) – CT2(Y2) tel que Y1=
1Y
,
Avec P(Y) est la fonction de la demande inverse du marché, Y= Y1 + Y 2
2 est Max 
0)()(
)(
022
2
2
2
2  YCmYP
YYP
Y
Y
Rm2(Y2) = Cm2(Y2)
A partir de cette condition d’équilibre de la firme 2, on peut dégager sa fonction de réaction :
Y2 = F2(Y1).
Pour chaque niveau d’output observé de la firme 1, la firme 2 va déterminer son niveau
d’output optimal selon cette fonction de réaction.
L’entreprise dominante est au courant du fait que ses décisions influencent la production de la
firme dominée, dés lors, elle prend sa décision de production en maximisant ses profits mais
en tenant compte de la réaction de la firme suiveuse :
Max 1= Y1 P(Y) – CT1(Y1) tel que Y2 =F2(Y1).
Graphiquement, l’équilibre de Stackelberg est représenté par le point de tangence entre la
courbe de réaction de la firme 2 et la courbe d’isoprofit de la firme 1.
Cette courbe d’isoprofit illustre les combinaisons d’output Y1 et Y2 permettant à la firme 1
d’avoir un niveau donné de profit.
On suppose que la fonction de demande inverse s’exprime linéairement de la manière
suivante : P(Y) = α – β (Y1+Y2)

2
1= Y1 P(Y1+Y2) – CT1(Y1) = α Y1– β Y²1 – β Y1Y2 - Y1CM(Y1)
A partir de cette équation on peut dégager une relation entre Y2 et Y1 exprimée pour un
niveau donné de profit (1=
1
) : Y2 =
)( 1
1
1
1YCM
Y
Y
,
C’est l’expression de la courbe d’isoprofit de l’entreprise leader (firme 1).
Pour chaque niveau de profit 1, on peut tracer une courbe d’isoprofit qui se rapproche de
plus en plus vers l’origine pour des niveaux de profits de plus en plus élevés. Ceci peut être
expliqué par le faite que si on fixe le niveau d’output de la firme 1 à un niveau donné et on
fait baisser l’output de la firme 2, le profit de la firme 1 croit :
01
2
1  Y
Y
La firme 1 peut avoir un maximum de profit lorsque la production de la firme concurrente soit
nulle. Elle occupera dans ce cas une position de monopole.
La firme 1 cherche ainsi d’être sur la courbe d’isoprofit la plus proche de l’origine tout en
tenant compte de la réaction de la firme 2, c’est-à-dire, tout en situant sur la droite de réaction
de la firme 2. Ce point correspond au point de tangence entre la courbe d’isoprofit et celle de
la réaction de la firme 2.
Sur la figure ci dessous, nous désignons par les droites R1 et R2, les fonctions de réaction des
firmes 1 et 2 et par les courbes IS, les fonctions d’isoprofits de la firme 1 pour ses divers
niveaux de profits qu’elle peut enregistrer.
Si les deux firmes prennent simultanément leurs décisions de production, elles atteignent
l’équilibre au point A où les deux droites de réactions des deux firmes (R1 et R2) se coupent. Il
s’agit dans ce cas d’un équilibre de Cournot.
Si la firme 1 prend l’initiative de déterminer sa production en tant qu’une firme dominante et
sera suivie par la suite par la firme 2 en tant qu’une firme dominée, l’équilibre passe au point
B où la droite de réaction de la firme 2 sera tangente à la courbe d’isoprofit de la firme 1. Il
s’agit de l’équilibre de Stackelberg.
Remarquons que la situation d’équilibre de Stackelberg (point B) est plus avantageuse pour la
firme dominante qui augmente aussi bien sa production que son profit par rapport à une
situation d’équilibre de Cournot. La firme 1 produit Y1B > Y1A et se situe sur la courbe
d’isoprofit IS* inférieure à celle IS1.
Alors que la firme dominée se trouve désavantagée par rapport à une situation d’équilibre de
Cournot. Sa production décroit en passant de Y2A à Y2B (tel que Y2B < Y2A) ainsi que son
profit.

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4. Le modèle de Leader Ship en prix
Le modèle de Leader Ship en prix suppose une asymétrie entre les tailles des firmes
oligopolistiques où une ou un nombre réduit de firmes domine le marché via le contrôle des
prix. Les autres firmes suiveuses se contentent de suivre les décisions du leader et subissent le
prix du marché imposé par le leader. Mais, à la différence du modèle de Stackelberg, ce
modèle considère que les décisions des firmes portent sur les prix et non sur la quantité.
La firme suiveuse doit nécessairement appliquer le même prix prédéterminé par le dominant.
Cela découle de l’hypothèse que les firmes produisent un bien homogène et que toute firme
pratique un prix supérieur à celui appliqué par ses concurrents, risque de perdre tous ses
clients et de quitter le marché.
La firme suiveuse va déterminer la quantité à offrir sur le marché qui lui permet de
maximiser son profit en tenant compte du prix fixé par le leader. Le prix sera ainsi considéré
pour cette firme comme une donnée exogène qu’elle ne peut pas l’influencer. Elle se
comporte donc, comme une entreprise concurrentielle qui atteint son équilibre au niveau
d’égalité entre son coût marginal et le prix du marché fixé par le leader.
Le leader va fixer le prix qui maximise son profit tout en tenant compte de l’influence qu’il
exerce sur les comportements des firmes dominées.
En fixant un prix initial (P0), la firme dominante, peut savoir les quantités à offrir par les
firmes dominées. Elle peut calculer sa demande résiduelle, c’est-à-dire la demande qui reste
non satisfaite par les firmes suiveuses et qui va lui s’adresser. Dans ce cas, elle peut exercer
un pouvoir de monopole sur cette demande résiduelle.
On suppose le cas d’un duopole où la firme 1 est une firme dominante (leader) et la firme 2
est une firme dominée (follower).
La firme 2 maximise son profit en considérant le prix du marché comme donnée :
Max 2 = P Y2 – CT2(Y2) tel que P =
P
Max 2 
0
2
2
Y
 Rm2(Y2) = Cm2(Y2) = P
La fonction de l’offre de la firme 2 s’écrit :
Y2 = Cm2(P)-1 si P > min CVM
Y2 = 0 sinon
La demande résiduelle : Y1(P) = Y(P) – Y2(P) = Y(P) - Cm2(P)-1
La firme 1 maximise son profit en tenant compte de cette demande résiduelle.
Max 1 = P Y1 – CT1(Y1) tel que Y1= Y1(P) = Y(P) - Cm2(P)-1

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1 est max 
0
1
P
5. Le modèle de Bertrand
Le modèle de Bertrand est un modèle oligopolistique à stratégie concurrentielle, là où la
concurrence porte sur le prix. Cette concurrence s’exerce entre des firmes ayant des tailles
symétriques où aucune n’a intérêt à dominer l’autre.
Selon ce modèle, chaque firme cherche à maximiser son profit en anticipant le prix à fixer par
son concurrent.
Sachant que si la firme i fixe un prix supérieur à celui appliqué par son concurrent j, elle
risque de perdre ses clients et par conséquent toute la demande sera adressée au concurrent. Si
elle fixe un prix inférieur au prix de son concurrent, elle accaparera tout le marché.
Finalement, si elle fixe un prix égal à celui de son concurrent, la demande sera partagée
égalitairement entre les entreprises.
La demande si s’adresse à chaque entreprise peut s’écrire de la façon suivante :
Y(Pi) si Pi < Pj
Yi(Pi, Pj) = ½ Y(Pi) si Pi = Pj
0 si Pi > Pj
Pi et Pj sont respectivement les prix appliqués par les firmes i et j.
Plusieurs modèle de type Bertrand ont été développés et qui varient selon que les biens sont
homogène ou hétérogène ou selon les coûts qui soient identiques ou différents entre les
entreprise.
Le modèle de Bertrand le plus simple est fondé sur les hypothèses suivantes :
H1 : Les entreprises produisent un même bien de sorte que le seul prix qui détermine la
destination des consommateurs. Ces derniers s’adressent à l’entreprise qui vend au prix le
moins cher;
H2 : Les rendements d’échelle sont constants: Dans ce cas, le coût moyen est constant est
égal au coût marginal (CMi(Yi) = Cmi(Yi) = c)
H3 : Les entreprises ont des capacités de production suffisantes pour assurer n’importe
quel niveau de demande ;
On suppose un duopole qui mène une concurrence à la Bertrand
CT1(Y1) = c Y1 et CT2(Y2) = c Y2, sont respectivement les fonctions de coûts des firmes 1 et
2. Chaque firme cherche à rendre son profit maximal en anticipant le prix de son concurrent :
Max 1 = Y1 ( P1 - c) tel que P2 = P2a
Max 2 = Y2 ( P2 - c) tel que P1 = P1a
Notons tout d’abord qu’aucune firme n’a intérêt à appliquer un prix inférieur à son coût
marginal car d’une part, elle encoure une perte du fait que ce coût marginal est équivalent au
coût moyen (si Cm = CM et P < Cm   < 0), d’autre part, le coût de la dernière unité
vendue (Cm) est supérieur à la recette que procure cette unité (Rm). Dans ce cas, l’entreprise
n’a pas intérêt à produire cette unité et elle doit réduire sa production.
Supposons que les deux entreprises 1 et 2 appliquent initialement deux prix différents de leurs
coûts marginaux :
Soit P1 > P2 > c, dans ce cas, les consommateurs préféreront acheter le bien auprès de la firme
2 que la firme 1. La production de cette dernière sera nulle et ne réalise pas des profits. Alors
que la firme 2 occupe tout le marché et réalise des profits positifs.

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Pour faire face à cette situation, la firme 1 va ajuster son prix à la baisse de sorte qu’il sera
légèrement inférieur à celui appliqué par son concurrent, mais supérieur à son coût marginal
(P1 = P2-  > c).
Dans ce cas, la firme 1 va accaparer la totalité de la demande du marché et la firme 2 risque
de quitter le marché. Cette dernière va ainsi réagir contre l’action de baisse du prix appliqué
par la firme 1 en baissant aussi son prix à un niveau inférieur à celui pratiqué par son
concurrent à condition qu’il soit encore supérieur à son coût marginal (P’2 = P1- - ’ > c).
Ce processus de baisse tendancielle et simultanée des prix se continue jusqu’il atteint le coût
marginal des deux entreprises :
P*1 = P*2 =Cm1(Y1) =Cm2(Y2) = c.
L’équilibre de Bertrand est atteint donc, lorsque les deux firmes pratiquent le même prix qui
sera égal au coût marginal. Si les deux firmes pratiquent des prix différents, le consommateur
s’adresse à celle qui vend au prix le moins cher. Alors que si les deux firmes appliquent le
même prix mais qui est supérieur à leur coût marginal (P1 = P2 > c), chaque entreprise essaye
de réduire même marginalement son prix pour accaparer la demande totale du marché et
augmenter son profit.
Si une firme cherche à augmenter son prix, elle risque de perdre sa part de marché et être
menacée de quitter l’industrie. Et si elle baisse son prix, elle encoure des pertes et quittera le
marché.
Donc, pour Bertrand, un prix concurrentiel peut être atteint même en présence de deux firmes
seulement. Dans ce cas, les deux firmes partagent égalitairement les parts de marché de sorte
que chacune produit une quantité équivalente à ½ Y et réalise un profit nul.
Dans ce modèle de Bertrand avec des biens homogènes et des coûts marginaux constants et
identiques, les firmes oligopolistiques se comportent comme des firmes concurrentielles qui
égalisent leur prix à leur coût marginal.
Donc, contrairement à Cournot, Bertrand a montré qu’il n’existe pas une relation entre la
concentration de l’industrie et le pouvoir du marché. Même avec une structure de marché
concentrée (duopole), on peut avoir un pouvoir de marché nul (tant que le prix est égal au
coût marginal, l’indice de Lerner est nul).
Cependant, cet analyse de Bertrand et le résultat déduit, sont tributaires aux hypothèses
fondatrices de son modèle. La mise en cause de l’une de ces hypothèses va écarter le prix du
coût marginal et bouleverser ainsi la condition d’équilibre de Bertrand.
Si par exemple, les coûts marginaux des firmes sont différents, la concurrence à la Bertrand
mène à une situation de monopole. En fait si on suppose de c1 > c2 (coût marginal de la firme
1 est supérieur à celui de la firme 2). La firme 2 est plus compétitive de la firme 2. Elle peut
proposer un prix moins cher en enregistrant un profit positif tout en dissuadant son concurrent
du marché : C2 < P2 < C1
Si C2 < P2 2 >0
P2 < C11 < 0 ; P2 mène la firme 1 à la faillite. Cette dernière se trouve incapable de
proposer un prix même égal à P2.
Application :
Soit deux entreprises en situation de duopole ayant les fonctions de coûts suivantes :
CT1(Y1) = ¼ Y1² et CT2(Y1) = Y2²
Où Y1 et Y2 désignent respectivement les quantités produites par les deux entreprises 1 et 2.
Soit Y = 60 – P, l’équation de la fonction de la demande globale.