Examen d'Analyse Fonctionnelle Master 1 Maths

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Université Alioune Diop
de Bambey - UFR SATIC Année universitaire 2018 2019
EC Analyse Fonctionnelle du Master 1 de Maths
Responsable Cours - TD :DrP.INDIAYE.
Examen : session 1
Exercice 1
1. Soient Gun sous espace vectoriel d’un R-espace vectoriel Eet g:G! Rune application
linéaire.
Enoncer le théorème de Hann Banach forme analytique et montrer que si gest continue
alors il existe f2E0tel que kfkE0=kgkG0.
2. Rappeler la définition du graphe puis enoncer le théorème du graphe fermé.
3. Enoncer le théorème de Banach Steinhauss.
4. Rappeler le théorème de l’application ouverte et le théorème de Banach puis faire la preuve
du théorème de Banach.
5. Soit Eun espace de Banach.
(a) Donner la définition de la topologie faible dans E.
(b) Soit f02E0.Rappelerlabasedevoisinagedef0pour la topologie (E0,E).
(c) Montrer que la topologie (E0,E)est séparée.
Exercice 2
Soient E=C1([0,1]; R)et F=C([0,1]; R)deux espaces tous muni de la norme k.k1.
Soit Tl’application définie de EàFpar :
T(f)=f0,pour tout f2E.
1. Montrer que Test linéaire et à graphe fermé.
2. Montrer que Tn’est pas continue
3. Expliquer en quoi ceci ne contredit pas le théorème du graphe fermé.
Exercice 3
Soient E, F, G trois espaces vectoriels normés. On suppose que Eou Fest complet.
1. Soit T:E⇥F! Gune application bilinéaire. Montrer que si Test séparément continue,
i.e.
8x2E, Tx:y2F7! T(x, y)2G, est continue
8y2F, Ty:x2E7! T(x, y)2G, est continue
alors Test continue.
1
2021-2022
(3 heures)

2. Montrer que l’hypothèse de complétude de Eou de Fest essentielle ici.
Exercice 4
Soit (xn)n2Nune suite d’éléments de lpoù 1p1.
1. On suppose que cette suite converge faiblement vers x2lppour la topologie (lp,l
q)où
1
p+1 q=1.Montrerque:
(a) (xn)n2Nest bornée dans lp.
(b) On note xn=(xn
1,x
n
2,...,x
n
i, ....)x=(x1,x
2,...,x i,...).Montrerquexn
itend vers
xipour tout iquand ntend vers l’infini.
2. On suppose à présent 1<p<1et on suppose que
(a) (xn)n2Nest bornée dans lp.
(b) xn
itend vers xiquand ntend vers l’infini pour tout iet on pose x=(x1,...,x
i,...).
Montrer que x2lpet que (xn)converge faiblement vers xpour (lp,l
q).
3. Pour n1,onposeen=(0, ...., 0,1
n,0,...).
Montrer que enconverge faiblement dans lppour (lp,l
q).
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